Si \(F\) es un cuerpo, muestre que \(F[x]\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde los vectores en \(F[x]\) son polinomios. La suma de vectores es la suma de polinomios, y la multiplicación por escalar está definida por \(\alpha p(x)\) para \(\alpha \in F\text{.}\)
2.
Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) es un espacio vectorial.
3.
Sea \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) el cuerpo de los elementos de la forma \(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) donde \(a, b, c, d\) están en \({\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) es un espacio vectorial de dimensión \(4\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Encuentre una base para \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)
\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) tiene base \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)
4.
Demuestre que los números complejos forman un espacio vectorial de dimensión \(2\) sobre \({\mathbb R}\text{.}\)
5.
Demuestre que el conjunto \(P_n\) de todos los polinomios de grado menor a \(n\) forma un subespacio del espacio vectorial \(F[x]\text{.}\) Encuentre una base para \(P_n\) y calcule la dimensión de \(P_n\text{.}\)
El conjunto \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) es una base para \(P_n\text{.}\)
6.
Sea \(F\) un cuerpo y denote al conjunto de las \(n\)-tuplas de elementos de \(F\) por \(F^n\text{.}\) Dados los vectores \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) y \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) en \(F^n\) y \(\alpha\) en \(F\text{,}\) defina la adición de vectores como
Demuestre que \(F^n\) es un espacio vectorial de dimensión \(n\) bajo estas operaciones.
7.
Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de \({\mathbb R}^3\text{?}\) En caso de que el conjunto sea un subespacio, encuentre una base y calcule la dimensión.
(a) Subespacio de dimensión \(2\) con base \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\text{;}\) (d) no es un subespacio
8.
Muestre que el conjunto de todas las posibles soluciones \((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) de las ecuaciones
\begin{align*}
Ax + B y + C z & = 0\\
D x + E y + C z & = 0
\end{align*}
forma un subespacio de \({\mathbb R}^3\text{.}\)
9.
Sea \(W\) el subconjunto de las funciones continuas definidas en \([0, 1]\) tales que \(f(0) = 0\text{.}\) Demuestre que \(W\) es un subespacio de \(C[0, 1]\text{.}\)
10.
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(F\text{.}\) Demuestre que \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) para todo \(\alpha \in F\) y todo \(v \in V\text{.}\)
Como \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) se concluye que \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)
11.
Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.
Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)
Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) genera \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)
Si \(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\) con \(k \lt n\text{,}\) entonces existen vectores \(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tales que
Sea \(V\) un espacio vectorial. Muestre que \(\{ {\mathbf 0} \}\) es un subespacio de \(V\) de dimensión cero.
14.
Si un espacio vectorial \(V\) es generado por \(n\) vectores, cualquier conjunto de \(m\) vectores en \(V\text{,}\) con \(m \gt n\text{,}\) es linealmente dependiente.
15.Transformaciones Lineales.
Sean \(V\) y \(W\) espacio s vectoriales sobre un cuerpo \(F\text{,}\) de dimensiones \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente. Si \(T: V \rightarrow W\) es una función que satisface
\begin{align*}
T( u+ v ) & = T(u ) + T(v)\\
T( \alpha v ) & = \alpha T(v)
\end{align*}
para todo \(\alpha \in F\) y para todo \(u, v \in V\text{,}\) entonces \(T\) es una transformación lineal de \(V\) en \(W\text{.}\)
Demuestre que el núcleo de \(T\text{,}\)\(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) es un subespacio de \(V\text{.}\) El núcleo de \(T\) también se llama espacio nulo de \(T\text{.}\)
Demuestre que el rango o imagen de \(T\text{,}\)\(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}\) es un subespacio de \(W\text{.}\)
Muestre que \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si \(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)
Sea \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) una base para el espacio nulo de \(T\text{.}\) Podemos extender esta base a una base \(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) de \(V\text{.}\) ¿Por qué? Demuestre que \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) es una base para el rango de \(T\text{.}\) Concluya que el rango de \(T\) tiene dimensión \(m-k\text{.}\)
Supongamos que \(\dim V = \dim W\text{.}\) Muestre que una transformación lineal \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si es epiyectiva.
Luego, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) y \(\ker(T)\) es un subespacio de \(V\text{.}\)
(c) \(T(u) = T(v)\) es equivalente a \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) lo que se cumple si y solo si \(u-v = 0\text{,}\) es decir \(u = v\text{.}\)
16.
Sean \(V\) y \(W\) espacio vectoriales de dimensión finita \(n\) sobre un cuerpo \(F\text{.}\) Supongamos que \(T: V \rightarrow W\) es un isomorfismo de espacios vectoriales. Si \(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) es una pase de \(V\text{,}\) muestre que \(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) es una base de \(W\text{.}\) Concluya que cualquier espacio vectorial sobre \(F\) de dimensión \(n\) es isomorfo a \(F^n\text{.}\)
17.Sumas Directas.
Sean \(U\) y \(V\) subespacios de un espacio vectorial \(W\text{.}\) La suma de \(U\) y \(V\text{,}\) denotada por \(U + V\text{,}\) está definida como el conjunto de todos los vectores de la forma \(u + v\text{,}\) con \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)
Demuestre que \(U + V\) y \(U \cap V\) son subespacios de \(W\text{.}\)
Si \(U + V = W\) y \(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) entonces se dice que \(W\) es la suma directa. En este caso, escribimos \(W = U \oplus V\text{.}\) Muestre que cada \(w \in W\) se puede escribir de forma única como \(w = u + v\text{,}\) donde \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)
Sea \(U\) un subespacio de dimensión \(k\) de un espacio vectorial \(W\) de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre que existe un subespacio \(V\) de dimensión \(n-k\) tal que \(W = U \oplus V\text{.}\) ¿Es único el subespacio \(V\text{?}\)
Si \(U\) y \(V\) sin subespacios arbitrarios de un espacio vectorial \(W\text{,}\) muestre que
\begin{equation*}
\dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V)\text{.}
\end{equation*}
(a) Sean \(u, u' \in U\) y sean \(v, v' \in V\text{.}\) Entonces
\begin{align*}
(u + v) + (u' + v') & = (u + u') + (v + v') \in U + V\\
\alpha(u + v) & = \alpha u + \alpha v \in U + V\text{.}
\end{align*}
18.Espacios Duales.
Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo \(F\text{.}\)
Muestre que el conjunto de todas las transformaciones lineales de \(V\) en \(W\text{,}\) denotado por \(\Hom(V, W)\text{,}\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde definimos la adición de vectores como sigue:
donde \(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\)\(\alpha \in F\text{,}\) y \(v \in V\text{.}\)
Sea \(V\) un \(F\)-espacio vectorial. Se define el espacio dual de \(V\) como \(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Los elementos en el dual de un espacio \(V\) se llaman funcionales lineales. Sea \(v_1, \ldots, v_n\) una base ordenada para \(V\text{.}\) Si \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) es cualquier vector en \(V\text{,}\) definimos un funcional lineal \(\phi_i : V \rightarrow F\) como \(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Muestre que los \(\phi_i\) forman una base de \(V^*\text{.}\) Esta base se denomina base dual de \(v_1, \ldots, v_n\) (o simplemente la base dual si el contexto deja claro el significado).
Considere la base \(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) de \({\mathbb R}^2\text{.}\) ¿Cuál es la base dual de \(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)
Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\) sobre un cuerpo \(F\) y sea \(V^{* *}\) el espacio dual de \(V^*\text{.}\) Muestre que cada elemento \(v \in V\) define un elemento \(\lambda_v\) en \(V^{**}\) y que la función \(v \mapsto \lambda_v\) es un isomorfismo de \(V\) con \(V^{**}\text{.}\)
