Obtenga cada uno de los siguientes grupos de Galois. ¿Cuáles de las siguientes extension de cuerpos son extensiones normales? Si la extensión no es normal, encuentre una extensión normal \({\mathbb Q}\) en la que esté contenida.
entonces \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Un generador para \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) es \(\sigma\text{,}\) deonde \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) para \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)
4.
Obtenga los grupos de Galois de cada uno de los siguientes polinomios en \({\mathbb Q}[x]\text{;}\) determine la solubilidad por radicales de cada uno de los polinomios.
Sea \(E\) el cuerpo de descomposición de un polinomio cúbico en \(F[x]\text{.}\) Muestre que \([E:F]\) es menor o igual a \(6\) y es divisible por \(3\text{.}\) Como \(G(E/F)\) es un subgrupo de \(S_3\) cuyo orden es divisible por \(3\text{,}\) concluya que este grupo debe ser isomorfo a \({\mathbb Z}_3\) o a \(S_3\text{.}\)
8.
Sean \(F \subset K \subset E\) cuerpos. Si \(E\) es una extensión normal de \(F\text{,}\) muestre que \(E\) también es una extensión normal de \(K\text{.}\)
9.
Sea \(G\) el grupo de Galois de un polinomio de grado \(n\text{.}\) Demuestre que \(|G|\) divide a \(n!\text{.}\)
Sea \(F \subset E\text{.}\) Si \(f(x)\) es soluble sobre \(F\text{,}\) muestre que \(f(x)\) también es soluble sobre \(E\text{.}\)
11.
Construya un polinomio \(f(x)\) en \({\mathbb Q}[x]\) de grado \(7\) que no sea soluble por radicales.
12.
Sea \(p\) un número primo. Demuestre que existe un polinomio \(f(x) \in{\mathbb Q}[x]\) de grado \(p\) con grupo de Galois isomorfo a \(S_p\text{.}\) Concluya que para todo primo \(p\) con \(p \geq 5\) existe un polinomio de grado \(p\) que no es soluble por radicales.
13.
Sea \(p\) un número primo y sea \({\mathbb Z}_p(t)\) el cuerpo de funciones racionales sobre \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Demuestre que \(f(x) = x^p - t\) es un polinomio irreducible en \({\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}\) Muestre que \(f(x)\) no es separable.
14.
Sea \(E\) una extensión de cuerpos de \(F\text{.}\) Supongamos que \(K\) y \(L\) son dos cuerpos intermedios. Si existe un elemento \(\sigma \in G(E/F)\) tal que \(\sigma(K) = L\text{,}\) entonces \(K\) y \(L\) se llaman cuerpos conjugados. Demuestre que \(K\) y \(L\) son conjugados si y solo si \(G(E/K)\) y \(G(E/L)\) son subgrupos conjugados de \(G(E/F)\text{.}\)
15.
Sea \(\sigma \in \aut( {\mathbb R} )\text{.}\) Si \(a\) es un número real positivo, muestre que \(\sigma( a) > 0\text{.}\)
16.
Sea \(K\) el cuerpo de descomposición de \(x^3 + x^2 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Demuestre o refute que \(K\) es una extensión por radicales.
Sea \(F\) un cuerpo tal que \(\chr(F)\neq 2\text{.}\) Demuestre que el cuerpo de descomposición de \(f(x) = a x^2 + b x + c\) es \(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) donde \(\alpha = b^2 - 4ac\text{.}\)
18.
Demuestre o refute: Dos subgrupos diferentes de un grupo de Galois tienen cuerpos fijos diferentes.
19.
Sea \(K\) el cuerpo de descomposición de un polinomio sobre \(F\text{.}\) Si \(E\) es una extensión de cuerpos de \(F\) contenida en \(K\) y \([E:F] = 2\text{,}\) entonces \(E\) es el cuerpo de descomposición de algún polinomio en \(F[x]\text{.}\)
es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) para cada primo \(p\text{.}\) Sea \(\omega\) un cero de \(\Phi_p(x)\text{,}\) y consideremos el cuerpo \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)
Muestre que \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}\) son raíces distintas de \(\Phi_p(x)\text{,}\) y concluya que son todas las raíces de \(\Phi_p(x)\text{.}\)
Muestre que \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es abeliano de orden \(p - 1\text{.}\)
Muestre que el cuerpo fijo de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es \({\mathbb Q}\text{.}\)
Claramente \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) son distintas pues \(\omega \neq 1\) ni 0. Para mostrar que \(\omega^i\) es un cero de \(\Phi_p\text{,}\) calcule \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)
Los conjugados de \(\omega\) son \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Defina una función \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) como
donde \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \(\phi_i\) es un isomorfismo de cuerpos. Muestre que \(\phi_2\) genera \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)
Muestre que \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \omega )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) y considere cuáles combinaciones lineales de \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) quedan fijas por todos los elementos de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)
21.
Sea \(F\) un cuerpo finito o un cuerpo de característica cero. Sea \(E\) una extensión normal finita de \(F\) con grupo de Galois \(G(E/F)\text{.}\) Demuestre que \(F \subset K \subset L \subset E\) si y solo si \(\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}\)
22.
Sea \(F\) un cuerpo de característica cero y sea \(f(x) \in F[x]\) un polinomio separable de grado \(n\text{.}\) Si \(E\) es el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{,}\) sean \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) las raíces de \(f(x)\) en \(E\text{.}\) Sea \(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Definimos el discriminante de \(f(x)\) como \(\Delta^2\text{.}\)
Si \(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) muestre que \(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)
Si \(f(x) = x^3 + p x + q\text{,}\) muestre que \(\Delta^2 = - 4p^3 - 27q^2\text{.}\)
Demuestre que \(\Delta^2\) está en \(F\text{.}\)
Si \(\sigma \in G(E/F)\) es una transposición de dos raíces de \(f(x)\text{,}\) muestre que \(\sigma( \Delta ) = -\Delta\text{.}\)
Si \(\sigma \in G(E/F)\) es una permutación par de las raíces de \(f(x)\text{,}\) muestre que \(\sigma( \Delta ) = \Delta\text{.}\)
Demuestre que \(G(E/F)\) es isomorfo a un subgrupo de \(A_n\) si y solo si \(\Delta \in F\text{.}\)
Determine el grupo de Galois de \(x^3 + 2 x - 4\) y \(x^3 + x -3\text{.}\)
