Lema 12.2.2.
Una isometría \(f\) que fija el origen en \({\mathbb R}^2\) es una transformación lineal. En particular, \(f\) está dada por un elemento en \(O(2)\text{.}\)
Sección 12.2 Simetría
Una isometría o movimiento rígido en \({\mathbb R}^n\) es una función \(f\) de \({\mathbb R}^n\) en \({\mathbb R}^n\) que preserva distancias. Esto quiere decir que \(f\) debe satisfacer
\begin{equation*}
\| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \| =\|{\mathbf x} - {\mathbf y} \|
\end{equation*}
para todo \({\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\mathbb R}^n\text{.}\) No es difícil mostrar que \(f\) debe ser inyectiva. Por el Teorema 12.1.8, cualquier elemento en \(O(n)\) es una isometría en \({\mathbb R}^n\text{;}\) pero, \(O(n)\) no incluye todas las posibles isometrías en \({\mathbb R}^n\text{.}\) La traslación por un vector \({\mathbf x}\text{,}\) \(T_{\mathbf y}({\mathbf x}) = {\mathbf x} + {\mathbf y}\) también es una isometría (Figura 12.1.11); pero, \(T\) no puede estar en \(O(n)\) pues no es una función lineal.
Estamos fundamentalmente interesados en las isometrías en \({\mathbb R}^2\text{.}\) De hecho, las únicas isometrías en \({\mathbb R}^2\) son rotaciones en torno al origen, reflexiones respecto a rectas, traslaciones y combinaciones de estas. Por ejemplo, una reflexión deslizante es una traslación seguida de una reflexión (Figura 12.2.1). En \({\mathbb R}^n\) todas las isometrías están dadas de la misma forma. La demostrción se generaliza fácilmente.
Demostración.
Sea \(f\) una isometría en \({\mathbb R}^2\) que fija el origen. Mostraremos primero que \(f\) preserva el producto interno. Como \(f(0) = 0\text{,}\) \(\| f({\mathbf x})\| = \| {\mathbf x} \|\text{;}\) por lo tanto,
\begin{align*}
\| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| {\mathbf y} \|^2 & = \| f({\mathbf x}) \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \langle f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}), f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \rangle\\
& = \| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \| {\mathbf x} - {\mathbf y} \|^2\\
& = \langle {\mathbf x} - {\mathbf y}, {\mathbf x} - {\mathbf y} \rangle\\
& = \| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \| {\mathbf y} \|^2\text{.}
\end{align*}
Así,
\begin{equation*}
\langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}
\end{equation*}
Sean \({\mathbf e}_1\) y \({\mathbf e_2}\) \((1, 0)^\transpose\) y \((0, 1)^\transpose\text{,}\) respectivamente. Si
\begin{equation*}
{\mathbf x} = (x_1, x_2) = x_1 {\mathbf e}_1 + x_2 {\mathbf e}_2\text{,}
\end{equation*}
entonces
\begin{equation*}
f({\mathbf x}) = \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_1) \rangle f({\mathbf e}_1) + \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_2) \rangle f({\mathbf e}_2) = x_1 f({\mathbf e}_1)+x_2 f({\mathbf e}_2)\text{.}
\end{equation*}
La linealidad de \(f\) se deduce fácilmente.
Para una isometría arbitraria, \(f\text{,}\) \(T_{\mathbf x} f\) fijará el origen para algún vector \({\mathbf x}\) en \({\mathbb R}^2\text{;}\) luego, \(T_{\mathbf x} f({\mathbf y}) = A {\mathbf y}\) para alguna matriz \(A \in O(2)\text{.}\) Así, \(f({\mathbf y}) = A {\mathbf y} + {\mathbf x}\text{.}\) Dadas las isometrías
\begin{align*}
f({\mathbf y}) & = A {\mathbf y} + {\mathbf x}_1\\
g({\mathbf y}) & = B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
s composición es
\begin{equation*}
f(g({\mathbf y})) = f(B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2) = AB {\mathbf y} + A{\mathbf x}_2 + {\mathbf x}_1\text{.}
\end{equation*}
Este último cálculo nos permite identificar el grupo de isometrías en \({\mathbb R}^2\) con \(E(2)\text{.}\)
Teorema 12.2.3.
El grupo de isometrías en \({\mathbb R}^2\) es el grupo Euclideano, \(E(2)\text{.}\)
Un grupo de simetría en \({\mathbb R}^n\) es un subgrupo del grupo de isometrías en \({\mathbb R}^n\) que fija un conjunto de puntos \(X \subset {\mathbb R}^n\text{.}\) Es importante darse cuenta que el grupo de simetría de \(X\) depende tanto de \({\mathbb R}^n\) como de \(X\text{.}\) Por ejemplo, el grupo de simetría del origen en \({\mathbb R}^1\) es \({\mathbb Z}_2\text{,}\) pero el grupo de simetría del origen en \({\mathbb R}^2\) es \(O(2)\text{.}\)
Teorema 12.2.4.
Los únicos grupos de simetría finitos en \({\mathbb R}^2\) son \({\mathbb Z}_n\) y \(D_n\text{.}\)
Demostración.
Simplemente necesitamos encontrar todos los subgrupos finitos \(G\) de \(E(2)\text{.}\) Cualquier grupo de simetría finito \(G\) en \({\mathbb R}^2\) debe fijar el origen y debe ser un subgrupo finito de \(O(2)\text{,}\) ya que las traslaciones y las reflexiones con deslizamiento tienen un orden infinito. Por Ejemplo 12.1.10, los elementos en \(O(2)\) son rotaciones de la forma
\begin{equation*}
R_{\theta}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}
o reflexiones de la forma
\begin{equation*}
T_{\phi}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi \\
\sin \phi & - \cos \phi
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Notemos que \(\det(R_{\theta})=1\text{,}\) \(\det(T_{\phi})=-1\text{,}\) y \(T_{\phi}^2=I\text{.}\) Podemos dividir la demostración en dos casos. En el primer caso, todos los elementos de \(G\) tienen determinante uno. En el segundo caso, existe al menos un elemento en \(G\) con determinante \(-1\text{.}\)
Caso 1.
El determinante de cada elemento en \(G\) es uno. En este caso cada elemento en \(G\) debe ser una rotación. Como \(G\) es finito, hay un ángulo más pequeño, digamos \(\theta_0\text{,}\) tal que el elemento correspondiente \(R_{\theta_0}\) es la rotación más pequeña en la dirección positiva. Afirmamos que \(R_{\theta_0}\) genera \(G\text{.}\) Si no, entonces para algún entero positivo \(n\) hay un ángulo \(\theta_1\) entre \(n \theta_0\) y \((n+1) \ theta_0\text{.}\) Si es así, entonces \((n+1) \theta_0 - \theta_1\) corresponde a una rotación menor que \(\theta_0\text{,}\) lo que contradice la minimalidad de \(\theta_0\text{.}\)
Caso 2.
El grupo \(G\) contiene una reflexión \(T\text{.}\) El núcleo del homomorfismo \(\phi : G \rightarrow \{-1, 1\}\) dado por \(A \mapsto \det(A)\) consta de elementos cuyo determinante es 1 . Por lo tanto, \(|G/ \ker \phi|=2\text{.}\) Sabemos que el núcleo es cíclico en el primer caso y es un subgrupo de \(G\) de, digamos, orden \(n\text{.}\) Por lo tanto, \(|G| = 2n\text{.}\) Los elementos de \(G\) son
\begin{equation*}
R_{\theta}, \ldots, R_{\theta}^{n-1}, TR_{\theta}, \ldots, TR_{\theta}^{n-1}\text{.}
\end{equation*}
Estos elementos satisfacen la relación
\begin{equation*}
TR_{\theta}T = R_{\theta}^{-1}\text{.}
\end{equation*}
En consecuencia, \(G\) debe ser isomorfo a \(D_n\) en este caso.
Subsección 12.2.1 Los Grupos Cristalográficos del Plano
Supongamos que queremos deseamos estudiar los patrones de empapelamiento del plano o los cristales en tres dimensiones. Los patrones de empapelamiento son simplemente patrones que se repiten en el plano (Figura 12.2.5). Los análogos de estos patrones en \({\mathbb R}^3\) son cristales, que podemos entender como patrones repetidos de moléculas en tres dimensiones (Figura 12.2.6). El equivalente matemático de un empapelamiento o patrón cristalográfico se llama reticulado.
Examinemos los patrones en el plano con un poco más de detalle. Supongamos que \({\mathbf x}\) e \({\mathbf y}\) son vectores linealmente independientes en \({\mathbb R}^2\text{;}\) es decir, uno de ellos no puede ser un múltiplo escalar del otro. El reticulado de \({\mathbf x}\) e \({\mathbf y}\) es el conjunto de todas las combinaciones lineales \(m {\mathbf x} + n {\mathbf y}\text{,}\) donde \(m\) y \(n\) son enteros. Los vectores \({\mathbf x}\) e \({\mathbf y}\) se dice que son una base para el reticulado.
Note que un reticulado puede tener diferentes bases. Por ejemplo, los vectores \((1,1)^\transpose\) y \((2,0)^\transpose\) forman el mismo reticulado que los vectores \((-1, 1)^\transpose\) y \((-1, -1)^\transpose\) (Figura 12.2.7). Pero, cualquier reticulado está completamente determinado por una base. Dadas dos bases para el mismo reticulado, digamos \(\{ {\mathbf x}_1, {\mathbf x}_2 \}\) y \(\{ {\mathbf y}_1, {\mathbf y}_2 \}\text{,}\) podemos escribir
\begin{align*}
{\mathbf y}_1 & = \alpha_1 {\mathbf x}_1 + \alpha_2 {\mathbf x}_2\\
{\mathbf y}_2 & = \beta_1 {\mathbf x}_1 + \beta_2 {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
donde \(\alpha_1\text{,}\) \(\alpha_2\text{,}\) \(\beta_1\text{,}\) y \(\beta_2\) son enteros. La matriz correspondiente a esta transformación es
\begin{equation*}
U
=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 \\
\beta_1 & \beta_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Si queremos expresar \({\mathbf x}_1\) y \({\mathbf x}_2\) en términos de \({\mathbf y}_1\) e \({\mathbf y}_2\text{,}\) solo debemos calcular \(U^{-1}\text{;}\) es decir,
\begin{equation*}
U^{-1}
\begin{pmatrix}
{\mathbf y}_1 \\ {\mathbf y}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\mathbf x}_1 \\ {\mathbf x}_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Como \(U\) tiene coeficientes enteros, \(U^{-1}\) también debe tener coeficientes enteros; luego los determinantes de \(U\) y \(U^{-1}\) deben ser enteros. Como \(U U^{-1} = I\text{,}\)
\begin{equation*}
\det(U U^{-1}) =\det(U) \det( U^{-1}) = 1;
\end{equation*}
de manera que, \(\det(U) = \pm 1\text{.}\) Una matriz con determinante \(\pm 1\) y coeficientes enteros se llama unimodular. Por ejemplo, la matriz
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
es unimodular. Debería ser claro que hay una longitud mínima para los vectores en un reticulado.
Podemos clasificar los reticulados estudiando sus grupos de simetría. El grupo de simetría de un reticulado es el subgrupo de \(E(2)\) que envía el reticulado en sí mismo. Consideramos que dos reticulados en \({\mathbb R}^2\) son equivalentes si tienen el mismo grupo de simetría. De forma similar, la clasificación de cristales en \({\mathbb R}^3\) se obtiene asociando un grupo de simetría, llamado grupo espacial, con cada tipo de cristal. Dos reticulados se consideran diferentes si sus grupos espaciales no son iguales. La pregunta natural que surge ahora es cuántos grupos espaciales existen.
Un grupo espacial está compuesto de dos partes: un subgrupo de traslación y uno puntual. Un subgrupo de traslación es un subgrupo abeliano infinito del grupo espacial formado por las simetrias traslacionales del cristal; el grupo puntual es un grupo finito que consiste de rotaciones y reflexiones del cristal en torno a un punto. Más específicamente, un grupo espacial es un subgrupo \(G \subset E(2)\) cuyas traslaciones son un conjunto de la forma \(\{ (I, t) : t \in L \}\text{,}\) donde \(L\) es un reticulado. Los grupos espaciales son, por supuesto, infinitos. Usando argumentos geométricos, podemos demostrar el siguiente teorema (ver [5] o [6]).
Teorema 12.2.8.
Todo grupo de traslación en \({\mathbb R}^2\) es isomorfo a \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)
El grupo puntual de \(G\) es \(G_0 = \{A : (A,b) \in G \text{ para algún } b \}\text{.}\) En particular, \(G_0\) es un subgrupo de \(O(2)\text{.}\) Supongamos que \({\mathbf x}\) es un vector en un reticulado \(L\) con grupo espacial \(G\text{,}\) grupo de traslación \(H\text{,}\) y grupo puntual \(G_0\text{.}\) Para cualquier elemento \((A, {\mathbf y})\) en \(G\text{,}\)
\begin{align*}
(A, {\mathbf y}) (I, {\mathbf x}) (A, {\mathbf y})^{-1} & = (A,A {\mathbf x} + {\mathbf y}) (A^{-1},-A^{-1} {\mathbf y})\\
& = (A A^{-1},-A A^{-1} {\mathbf y} + A {\mathbf x} + {\mathbf y})\\
& = (I, A {\mathbf x});
\end{align*}
luego, \((I, A {\mathbf x})\) está en el grupo de traslación de \(G\text{.}\) Más específicamente, \(A {\mathbf x}\) debe estar en el reticulado \(L\text{.}\) Es importante notar que \(G_0\) no es usualmente un subgrupo del grupo espacial \(G\text{;}\) pero, si \(T\) es el grupo de traslación de \(G\text{,}\) entonces \(G/T \cong G_0\text{.}\) La demostración del siguiente teorema se puede encontrar en [2], [5], o [6].
Teorema 12.2.9.
El grupo puntual en un grupo cristalográfico plano es isomorfo a \({\mathbb Z}_n\) o a \(D_n\text{,}\) donde \(n = 1, 2, 3, 4, 6\text{.}\)
Para contestar la pregunta de cómo los grupos puntuales y los grupos de trslación pueden ser combinados, debemos mirar los distintos tipos de reticulados. Los reticulados pueden ser clasificados por la estructura de una celda del reticulado. Las posibles formas de celda son paralelógramo, rectangular, cuadrada, rómbica y hexagonal (Figura 12.2.10). Los grupos cristalográficos planos pueden ahora ser clasificados de acuerdo a los tipos de reflexiones que ocurren en cada grupo: estas son reflexiones ordinarias, reflexiones deslizantes, ambas o ninguna.
| Notación y | Reflexiones o | ||
| Grupos Espaciales | Grupo Puntual | Tipo de Reticulado | Reflexiones Deslizantes? |
| p1 | \({\mathbb Z}_1\) | paralelógramo | ninguna |
| p2 | \({\mathbb Z}_2\) | paralelógramo | ninguna |
| p3 | \({\mathbb Z}_3\) | hexagonal | ninguna |
| p4 | \({\mathbb Z}_4\) | cuadrada | ninguna |
| p6 | \({\mathbb Z}_6\) | hexagonal | ninguna |
| pm | \(D_1\) | rectangular | reflexiones |
| pg | \(D_1\) | rectangular | reflexiones deslizantes |
| cm | \(D_1\) | rómbica | ambas |
| pmm | \(D_2\) | rectangular | reflexiones |
| pmg | \(D_2\) | rectangular | reflexiones deslizantes |
| pgg | \(D_2\) | rectangular | ambas |
| c2mm | \(D_2\) | rómbica | ambas |
| p3m1, p31m | \(D_3\) | hexagonal | ambas |
| p4m, p4g | \(D_4\) | cuadrada | ambas |
| p6m | \(D_6\) | hexagonal | ambas |
Teorema 12.2.12.
Hay exactamente 17 grupos critalográficos planos.
Los 17 grupos critalográficos planos están listados en la Cuadro 12.2.11. Los grupos p3m1 y p31m pueden ser distinguidos según si todos sus centros triples están en los ejes de reflexión: los de p3m1 deben estar, mientras los de p31m puede que no. Similarmente, los centros cuuádruples de p4m deben estar en los ejes de reflexión mientras los de p4g no necesariamente (Figura 12.2.13). La demostración completa de este teorema se puede encontar en varias de las referencias la final de este capítulo, incluyendo [5], [6], [10], y [11].
Sage.
No hemos visto cómo utilizar Sage de manera rentable con el material de este capítulo.
Subsección 12.2.2 Nota Histórica
Los grupos de simetría han intrigado a matemáticos por mucho tiempo. Leonardo da Vinci fue probablemente la primera persona en conocer todos los grupos puntuales. En el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900, David Hilbert dio una ahora famosa charla indicando los 23 problemas para guiar las matemáticas en el siglo XX. El problema 18 de Hilbert preguntaba si los grupos critalograficos en dimensión \(n\) serían siempre un número finito. En 1910, L. Bieberbach demostró que los grupos cristalográficos son un número finito en cada dimensión. Descubrir cuántos de estos grupos existen en cada dimensión es harina de otro costal. En \({\mathbb R}^3\) hay 230 grupos espaciales diferentes; en \({\mathbb R}^4\) hay 4783. Nadie ha sido capaz de calcular el número de grupos espaciales para \({\mathbb R}^5\) y más allá. Es interesante notar que los grupos cristalográficos fueron encontrados matemáticamente para \({\mathbb R}^3\) antes de que los 230 diferentes tipos de cristales hubieran sido descubiertos en la naturaleza.
