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Algebra Abstracta: Teoría y Aplicaciones

Thomas W. Judson

Ejercicios 14.5 Ejercicios

1.

Examples 14.1.1–14.1.5 en la primera sección del capítulo describen cada uno, una acción de un grupo \(G\) en un conjunto \(X\text{,}\) que dará lugar a una relación de equivalencia definida como \(G\)-equivalencia. Para cada ejemplo, calcule las clases de equivalencia de la relación de equivalencia, las clases de \(G\)-equivalencia.
Pista.
Ejemplo 14.1.1: \(0\text{,}\) \({\mathbb R}^2 \setminus \{ 0 \}\text{.}\) Ejemplo 14.1.2: \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

2.

Calcule todos los \(X_g\) y todos los \(G_x\) para cada uno de los siguientes grupos de permutaciones.
  1. \(X= \{1, 2, 3\}\text{,}\) \(G=S_3=\{(1), (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
  2. \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(G = \{(1), (1 \, 2), (3 \, 4 \, 5), (3 \, 5 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5), (1 \, 2)(3 \, 5 \, 4) \}\)
Pista.
(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 3)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(2 \, 3)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2 \, 3)} = X_{(1 \, 3 \, 2)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (2 \, 3) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (1 \, 3) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (1 \, 2)\}\text{.}\)

3.

Calcule la clases de \(G\)-equivalençia de \(X\) para cada uno de los \(G\)-conjuntos en el Ejercicio 14.5.2. Para cada \(x \in X\) verifique que \(|G|=|{\mathcal O}_x| \cdot |G_x|\text{.}\)
Pista.
(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

4.

Sea \(G\) el grupo aditivo de los números reales. Considere la acción de \(\theta \in G\) en el plano real \({\mathbb R}^2\) dada por la rotación antihoraria del plano en \(\theta\) radianes en torno al origen. Sea \(P\) un punto del plano distinto del origen.
  1. Muestre que \({\mathbb R}^2\) es un \(G\)-conjunto.
  2. Describa geométricamente la órbita que contiene a \(P\text{.}\)
  3. Encuentre el grupo \(G_P\text{.}\)

5.

Sea \(G = A_4\) y supongamos que \(G\) actúa en sí mismo por conjugación; es decir, \((g,h)~\mapsto~ghg^{-1}\text{.}\)
  1. Determine las clases de conjugación (órbitas) de cada elemento de \(G\text{.}\)
  2. Determine los subgrupos de isotropía para todos los elementos de \(G\text{.}\)

6.

Encuentre las clases de conjugación y las ecuaciones de clase para cada uno de los siguientes grupos.
  1. \(\displaystyle S_4\)
  2. \(\displaystyle D_5\)
  3. \(\displaystyle {\mathbb Z}_9\)
  4. \(\displaystyle Q_8\)
Pista.
Las clases de conjugación para \(S_4\) son
\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)} = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (1 \, 4), (2 \, 3), (2 \, 4), (3 \, 4) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)(3 \, 4)} = \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2 \, 3)} = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2 \, 3 \, 4)} = \{ (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2 \, 3), (1 \, 4 \, 3 \, 2) \}\text{.} \end{gather*}
La ecuación de clase es \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

7.

Escriba la ecuación de clase para \(S_5\) y para \(A_5\text{.}\)

8.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un cuadrado usando tres colores?
Pista.
\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

9.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un triángulo equilátero usando tres colores?

10.

Encuentre el número de formas en que se puede construir un dado de seis lados si cada lado está marcado de manera diferente con \(1, \ldots, 6\) puntos.

11.

¿De cuántas formas es posible colorear las caras de un cubo usando tres colores?
Pista.
El grupo de movimientos rígidos del cubo puede ser descrito por las permutaciones permisibles de sus seis caras y es isomorfo a \(S_4\text{.}\) Están la identidad, 6 permutaciones con la estructura \((abcd)\) que corresponden a cuartos de vuelta, 3 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)\) que corresponden a medias vueltas, 6 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)(ef)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a los centros de aristas opuestas, y 8 permutaciones con la estructura \((abc)(def)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a vértices opuestos.

12.

Considere \(12\) varillas metálicas de igual longitud unidas para formar el equeleto de un cubo. Las varillas pueden ser de plata o de cobre. ¿De cuántas formas se puede construir este cubo?

13.

¿De cuántas formas es posible colorear los ocho vértices de un cubo usando tres colores?

14.

Cada una de las caras de un tetraedro regular puede ser pintada roja o blanca. Salvo rotaciones, ¿de cuántas formas diferentes puede ser pintado el tetraedro?

15.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un hexágono regular usando dos colores?
Pista.
\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

16.

Una molécula de benceno está compuesta de 6 átomos de carbono y 6 átomos de hidrógeno, unidos en forma hexagonal como se muestra en la Figura 14.5.1.
  1. ¿Cuántos compuestos diferentes se pueden formar reemplazando uno o más de los átomos de hidrógeno por un átomo de cloro?
  2. Encuentre el número de compuestos químicos que se pueden formar reemplazando tres de los seis átomos de hidrógeno en un anillo de benceno ppor un radical \(CH_3\text{.}\)
Un hexágono con átomos de hidrógeno, H, unidos en cada vértice.
Figura 14.5.1. Un anillo de benceno

17.

¿Cuántas clases de equivalencia de funciones de conmutación existen si las variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) y \(x_3\) se pueden permutar usando cualquier elemento de \(S_3\text{?}\) ¿Si la variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) y \(x_4\) se pueden permutar usando cualquier elemento de \(S_4\text{?}\)
Pista.
\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

18.

¿Cuántas clases de equivalencia de funciones de conmutación existen si las variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) y \(x_4\) se pueden permutar usando cualquier elemento del subgrupo de \(S_4\) generado por la permutación \((x_1, x_2, x_3, x_4)\text{?}\)

19.

Una corbata a rayas tiene \(12\) bandas de color. Cada banda puede ser coloreada con un de cuatro posibles colores. ¿Cuántas corbatas con coloreados diferentes existen?

20.

Un grupo actúa fielmente en un \(G\)-conjunto \(X\) si la identidad es el único elemento de \(G\) que deja fijo todos los elementos de \(X\text{.}\) Muestre que \(G\) actúa fielmente en \(X\) si y solo si no existen dos elementos distintos de \(G\) que actúen de la misma forma en todos los elementos de \(X\text{.}\)

21.

Sea \(p\) un primo. Muestre que el número de grupos abelianos diferentes de orden \(p^n\) (salvo isomorfismo) es el mismo que el número de clases de conjugación en \(S_n\text{.}\)

22.

Sea \(a \in G\text{.}\) Muestre que para cualquier \(g \in G\text{,}\) \(gC(a) g^{-1} = C(gag^{-1})\text{.}\)
Pista.
Use el hecho de que \(x \in g C(a) g^{-1}\) si y solo si \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

23.

Sea \(G\) un grupo no-abeliano con \(|G| = p^n\) donde \(p\) es un número primo. Demuestre que \(|Z(G)| \lt p^{n - 1}\text{.}\)

24.

Sea \(G\) un grupo de orden \(p^n\) donde \(p\) es primo y \(X\) es un \(G\)-conjunto finito. Si \(X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ para todo }g \in G \}\) es el conjunto de los elementos en \(X\) fijos por la acción del grupo, entonces demuestre que \(|X| \equiv |X_G| \pmod{ p}\text{.}\)

25.

Si \(G\) es un grupo de orden \(p^n\text{,}\) donde \(p\) es primo y \(n \geq 2\text{,}\) muestre que \(G\) tiene un subgrupo propio de orden \(p\text{.}\) Si \(n \geq 3\text{,}\) ¿es cierto que \(G\) tendrá un subgrupo propio de orden \(p^2\text{?}\)
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