Teorema 21.3.1.
El conjunto de todos los números reales constructibles forma un subcuerpo \(F\) del cuerpo de los números reales.
Sección 21.3 Construcciones Geométricas
En la antigua Grecia, se propusieron tres problemas clásicos. Estos problemas son de naturaleza geométrica e involucran construcciones con regla y compás de lo que ahora constituye la geometría que se enseña en el colegio; es decir, solamente tenemos derecho a usar una regla y un compás para resolverlos. Los problemas pueden ser planteados como sigue.
- Dado un ángulo arbitrario, ¿puede éste ser trisecado usando solamente regla y compás?
- Dado un círculo arbitrario, ¿puede construirse un cuadrado de la misma área usando solamente regla y compás?
- Dado un cubo, ¿puede construirse la arista de otro cubo cuyo volumen sea el doble del original usando solamente regla y compás?
Después de aproblemar a los matemáticos durante más de dos mil años, finalmente se ha demostrado que cada una de estas construcciones es imposible. Usaremos la teoría de cuerpos para dar una demostración de que las soluciones no existen. Es bastante sorprendente que las soluciones largamente buscadas a estos tres problemas finalmente se encuentren en el álgebra abstracta.
En primer lugar, determinemos más específicamente lo que queremos decir con una regla y un compás, y examinemos además la naturaleza de estos problemas un poco más en profundidad. Para empezar, la regla permitida no tiene marcas. No podemos medir distancias arbitrarias con esta regla. Es solamente una herramienta para trazar la recta que pasa por dos puntos. La afirmación de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario significa que existe al menos un ángulo que no se puede trisecar con regla y compás. Ciertamente algunos ángulos particulares sí se pueden trisecar. Podemos construir un ángulo de \(30^\circ\text{;}\) por lo tanto, es posible trisecar un ángulo de \(90^\circ\text{.}\) Sin embargo, mostraremos que es imposible construir un ángulo de \(20^\circ\text{.}\) Por lo tanto, no podemos trisecar un ángulo de \(60^\circ\text{.}\)
Subsección 21.3.1 Números Constructibles
Un número real \(\alpha\) es constructible si podemos construir un segmento de longitud \(| \alpha |\) en un número finito de pasos a partir de un segmento de longitud uno usando regla y compás exclusivamente.
Demostración.
Sean \(\alpha\) y \(\beta\) números constructibles. Debemos mostrar que \(\alpha + \beta\text{,}\) \(\alpha - \beta\text{,}\) \(\alpha \beta\text{,}\) y \(\alpha / \beta\) (\(\beta \neq 0\)) también son números constructibles. Podemos suponer que tanto \(\alpha\) como \(\beta\) son positivos con \(\alpha \gt \beta\text{.}\) Es bastante claro como construir \(\alpha + \beta\) y \(\alpha - \beta\text{.}\) Para encontrar un segmento de longitud \(\alpha \beta\text{,}\) supondremos que \(\beta \gt 1\) y construiremos el triángulo de la Figura 21.3.2 de manera que los triángulos \(\triangle ABC\) y \(\triangle ADE\) sean semejantes. Como \(\alpha / 1 = x / \beta\text{,}\) el segmento \(x\) tiene longitud \(\alpha \beta\text{.}\) Una construcción similar se puede hacer si \(\beta \lt 1\text{.}\) Dejaremos como ejercicio mostrar que el mismo triángulo puede ser usado para construir \(\alpha / \beta\) si \(\beta \neq 0\text{.}\)
Lema 21.3.3.
Si \(\alpha\) es un número constructible, entonces \(\sqrt{\alpha}\) es un número constructible.
Demostración.
En la Figura 21.3.4 los triángulos \(\triangle ABD\text{,}\) \(\triangle BCD\text{,}\) y \(\triangle ABC\) son semejantes; luego, \(1 /x = x / \alpha\text{,}\) y \(x^2 = \alpha\text{.}\)
Por el Teorema 21.3.1, podemos localizar en el plano cualquier punto \(P =( p, q)\) que tenga coordenadas racionales \(p\) y \(q\text{.}\) Necesitamos saber qué otros puntos pueden ser construidos con regla y compás a partir de los puntos de coordenadas racionales.
Lema 21.3.5.
Sea \(F\) un subcuerpo de \({\mathbb R}\text{.}\)
- Si una recta contiene dos puntos con coordenadas en \(F\text{,}\) entonces satisface la ecuación \(a x + by + c = 0\text{,}\) con \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) y \(c\) en \(F\text{.}\)
- Si una circunferencia tiene su centro en un punto con coordenadas en \(F\) y su radio también está en \(F\text{,}\) entonces satisface la ecuación \(x^2 + y^2 + d x + e y + f = 0\text{,}\) con \(d\text{,}\) \(e\text{,}\) y \(f\) en \(F\text{.}\)
Demostración.
Sean \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) puntos en una recta con \(x_1, y_1,x_2,y_2\) en \(F\text{.}\) Si \(x_1 = x_2\text{,}\) entonces una ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es \(x - x_1 = 0\text{,}\) que tiene la forma \(a x + by + c = 0\text{.}\) Si \(x_1 \neq x_2\text{,}\) entonces una ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es
\begin{equation*}
y - y_1 = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right) (x - x_1)\text{,}
\end{equation*}
que también puede ser puesta en la forma buscada.
Para demostrar la segunda parte del lema, supongamos que \((x_1, y_1)\) es el centro de una circunferencia de radio \(r\text{.}\) Entonces una ecuación para la circunferencia es
\begin{equation*}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 - r^2 = 0\text{.}
\end{equation*}
Esta ecuación puede ser fácilmente puesta en la forma buscada.
Empezando por un cuerpo de números constructibles \(F\text{,}\) tenemos tres posibilidades para construir puntos adicionales en \({\mathbb R^2}\) usando regla y compás.
- Para encontrar puntos, posiblemente nuevos, en \({\mathbb R^2}\text{,}\) podemos tomar la intersección de dos rectas, cada una de las cuales pasa por dos puntos cuyas coordenadas están en \(F\text{.}\)
- La intersección de una recta que pasa por dos puntos cuyas coordenadas están en \(F\) y un círculo cuyo centro tiene sus coordenadas en \(F\) con radio de longitud en \(F\) nos podrá dar nuevos puntos en \({\mathbb R^2}\text{.}\)
- Podemos obtener nuevos puntos en \({\mathbb R^2}\) intersectando dos círculos cuyos centros tengan coordenadas en \(F\) y cuyos radios tengan longitudes en \(F\text{.}\)
El primer caso no entrega nuevos puntos en \({\mathbb R^2}\text{,}\) pues la solución de un sistema de dos ecuaciones de la forma \(a x + by + c = 0\) con coeficientes en \(F\) siempre estará en \(F\text{.}\) El tercer caso se puede reducir al segundo. Sean
\begin{gather*}
x^2 + y^2 + d_1 x +e_1 y + f_1 = 0\\
x^2 + y^2 + d_2 x +e_2 y + f_2 = 0
\end{gather*}
las ecuaciones de dos círculos, con \(d_i\text{,}\) \(e_i\text{,}\) y \(f_i\) en \(F\) para \(i = 1, 2\text{.}\) Estos círculos tienen la misma intersección que el círculo
\begin{equation*}
x^2 + y^2 + d_1 x +e_1 x + f_1 = 0
\end{equation*}
y la recta
\begin{equation*}
(d_1 - d_2) x + b(e_2 - e_1)y + (f_2 - f_1) = 0\text{.}
\end{equation*}
La última ecuación corresponde a la cuerda que pasa por los puntos de intersección de los dos círculos (cuando estos puntos existen). Por lo tanto, la intersección de dos círculos puede ser reducida al caso de la intersección de una recta con un círculo.
Considerando el caso de la intersección de una recta con un círculo, debemos determinar la naturaleza de las soluciones del sistema de ecuaciones
\begin{align*}
a x + by + c & = 0\\
x^2 + y^2 + d x + e y + f & = 0\text{.}
\end{align*}
Si eliminamos \(y\) de estas ecuaciones, obtenemos una ecuación de la forma \(Ax^2 + B x + C = 0\text{,}\) con \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(C\) en \(F\text{.}\) La coordenada \(x\) del punto de intersección está dada por
\begin{equation*}
x = \frac{- B \pm \sqrt{B^2 - 4 A C} }{2 A}
\end{equation*}
y está en \(F[ \sqrt{\alpha}\, ]\text{,}\) con \(\alpha = B^2 - 4 A C \gt 0\text{.}\) Hemos demostrado el siguiente lema.
Lema 21.3.6.
Sea \(F\) un cuerpo de números constructibles. Entonces los puntos determinados por la intersección de círculos y rectas en \(F\) están en el cuerpo \(F[ \sqrt{\alpha}\, ]\) para algún \(\alpha\) en \(F\text{.}\)
Teorema 21.3.7.
Un número real \(\alpha\) es un número constructible si y solo si hay una sucesión de cuerpos
\begin{equation*}
{\mathbb Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_k
\end{equation*}
tales que \(F_i = F_{i-1}( \sqrt{ \alpha_i}\, )\) con \(\alpha_i \in F_i\) y \(\alpha \in F_k\text{.}\) En particular, hay un entero \(k \gt 0\) tal que \([{\mathbb Q}(\alpha) : {\mathbb Q} ] = 2^k\text{.}\)
Demostración.
La existencia de los \(F_i\) y de los \(\alpha_i\) es una consecuencia directa del Lema 21.3.6 y el hecho de que
\begin{equation*}
[F_k: {\mathbb Q}] = [F_k : F_{k - 1}][F_{k - 1} : F_{k - 2}] \cdots [F_1: {\mathbb Q} ] = 2^k\text{.}
\end{equation*}
Corolario 21.3.8.
El cuerpo de todos los números constructibles es una extensión algebraica de \({\mathbb Q}\text{.}\)
Como podemos ver con el cuerpo de los número constructibles, no toda extensión algebraica de un cuerpo es una extensión finita.
Subsección 21.3.2 Duplicando el cubo y cuadrando el círculo
Estamos listos para investigar los problemas clásicos de duplicación del cubo y de la cuadratura del círculo. Podemos usar el cuerpo de los números constructibles para determinar exactamente cuándo una construcción geométrica particular es posible.
Duplicar el cubo es imposible.
Dada la arista de un cubo, es imposible construir la arista de un cubo del doble de su volumen usando únciamente regla y compás. Digamos que el cubo original tiene una arista de longitud 1 y, por lo tanto, su volumen es 1. Si pudiéramos construir un cubo de volumen 2, entonces la arista de este nuevo cubo tendría longitud \(\sqrt[3]{2}\text{.}\) Sin embargo, \(\sqrt[3]{2}\) es un cero del polinomio irreducible \(x^3 -2\) sobre \({\mathbb Q}\text{;}\) luego,
\begin{equation*}
[{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}\, ) : {\mathbb Q}] = 3
\end{equation*}
Esto es imposible, pues 3 no es una potencia entera de 2.
Cuadrando el círculo.
Supongamos que tenemos un círculo de radio 1. El área del círculo es \(\pi\text{;}\) por lo tanto, debemos ser capaces de construir un cuadrado de lado \(\sqrt{\pi}\text{.}\) Esto es imposible pues \(\pi\) y por lo tanto \(\sqrt{\pi}\) son ambos trascendentes. Por lo tanto no se puede construir un cuadrado de la misma área de un círculo usando regla y compás.
Subsección 21.3.3 Trisecando un Ángulo
Trisecar un ángulo arbitrario es imposible. Demostraremos que es imposible construir un ángulo de \(20^\circ\text{.}\) Por lo tanto, un ángulo de \(60^{\circ}\) no puede ser trisecado. Primero obtendremos la fórmula del coseno para el ángulo triple:
\begin{align*}
\cos 3 \theta & = \cos( 2 \theta + \theta )\\
& = \cos 2 \theta \cos \theta - \sin 2 \theta \sin \theta\\
& = ( 2 \cos^2 \theta - 1) \cos \theta - 2 \sin^2 \theta \cos \theta\\
& = ( 2 \cos^2 \theta - 1) \cos \theta - 2 (1- \cos^2 \theta) \cos \theta\\
& = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta.
\end{align*}
El ángulo \(\theta\) pude ser construido si y solo si \(\alpha = \cos \theta\) es constructible. Sea \(\theta = 20^{\circ}\text{.}\) Entonces \(\cos 3 \theta = \cos 60^\circ = 1/2\text{.}\) Por la fórmula del coseno del ángulo triple,
\begin{equation*}
4 \alpha^3 - 3 \alpha = \frac{1}{2}\text{.}
\end{equation*}
Por lo tanto, \(\alpha\) es una raíz de \(8 x^3 - 6 x -1\text{.}\) Este polinomio no tiene factores en \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) y por lo tanto es irreducible sobre \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Luego, \([{\mathbb Q}( \alpha ) : {\mathbb Q }] = 3\text{.}\) Concluimos que \(\alpha\) no es un número constructible.
Sage.
Las extensiones del cuerpo de los números racionales son objetos centrales en el estudio de teoría de números, de manera que con los orígenes de Sage en esta disciplina, no es ninguna sorpresa que los cuerpos y las extensiones de los racionales estén extensamente implementados. Sage también contiene una implementación del cuerpo de todos los números algebraicos, con representaciones exactas.
Subsección 21.3.4 Nota Histórica
La Teoría Algebraica de números usa las herramientas del álgebra para resolver ciertos problemas en teoría de números. La teoría algebraica de números moderna comenzó con Pierre de Fermat (1601–1665). Ciertamente es posible encontrar muchos enteros positivos que satisfagan la ecuación \(x^2 + y^2 = z^2\text{;}\) Fermat conjecturó que la ecuación \(x^n + y^n = z^n\) no tiene soluciones enteras positivas si \(n \geq 3\text{.}\) En su copia de la traducción latina del libro Arithmetica de Diofanto afirmó que había encontrado una demostración maravillosa de este teorema, pero que el margen del libro era muy angosto para conternerla. Basado en trabajos de otros matemáticos, fue Andrew Wiles quien finalmente pudo probar el Último Teorema de Fermat en los 90’. El logro de Wiles fue destacado en la primera plana del New York Times.
Intentos de demostrar el Último Teorema de Fermat han llevado a contribuciones importantes a la teoría algebraica de números de parte de matemáticos tan notables como Leonhard Euler (1707–1783). Avances significativos en la comprensión del Último Teorema de Fermat fueron hechos por Ernst Kummer (1810–1893). Leopold Kronecker, un alumno de Kummer (1823–1891), se convirtió en uno de los pricipales algebristas del siglo XIX. La teoría de ideales de Kronecker y su estudio de teoría algebraica de números contribuyó mucho a la comprensión de los cuerpos.
David Hilbert (1862–1943) y Hermann Minkowski (1864–1909) están entre los matemáticos que lideraron el área a comienzos del siglo XX. Hilbert y Minkowski trabajaban en la Universidad de Göttingen en Alemania. Göttingen fue uno de los más importantes centros de investigación en matemáticas durante los últimos dos siglos. El gran número de matemáticos excepcionales que estudiaron allí incluye a Gauss, Dirichlet, Riemann, Dedekind, Noether y Weyl.
André Weil contestó preguntas en teoría de números usando geometría algebraica, un área de las matemáticas que estudia geometría estudiando anillos conmutativos. Desde 1955 hasta 1970, Alexander Grothendieck dominó el área de la geometría algebraica. Pierre Deligne, un alumno de Grothendieck, resolvió varias de las conjeturas de Weil en teoría de números. Una de las más recientes contribuciones al álgebra y a la teoría de números es la demostración por parte de Gerd Falting de la conjetura de Mordell-Weil . Esta conjetura de Mordell y Weil esencialmente dice que ciertos polinomios \(p(x, y)\) en \({\mathbb Z}[x,y]\) tienen solamente un número finito de soluciones enteras.
