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Sección 15.4 Un Proyecto

El principal objetivo de la teoría de grupos finitos es el de clasificar todos los posibles grupos finitos salvo isomorfismo. Este problema es muy difícil, incluso si solo intentamos clasificar todos los grupos de orden menor o igual a \(60\text{.}\) Pero podemos descomponer el problema en varios problemas intermedios. Este es un proyecto desafiante que requiere un buen manejo de la teoría de grupos que hemos visto hasta acá. Incluso si no lo completa, le enseñará bastante sobre grupos finitos. Puede usar la Tabla 15.4.1 como guía.

Orde Número Orden Número Orden Número Orden Número
1 ? 16 14 31 1 46 2
2 ? 17 1 32 51 47 1
3 ? 18 ? 33 1 48 52
4 ? 19 ? 34 ? 49 ?
5 ? 20 5 35 1 50 5
6 ? 21 ? 36 14 51 ?
7 ? 22 2 37 1 52 ?
8 ? 23 1 38 ? 53 ?
9 ? 24 ? 39 2 54 15
10 ? 25 2 40 14 55 2
11 ? 26 2 41 1 56 ?
12 5 27 5 42 ? 57 2
13 ? 28 ? 43 1 58 ?
14 ? 29 1 44 4 59 1
15 1 30 4 45 ? 60 13
Cuadro 15.4.1. Número de grupos \(G\) diferentes, con \(|G| \leq 60\)
1.

Encuentre todos los grupos \(G\) simples ( \(|G| \leq 60\)). No use el Teorema del Orden Impar salvo que esté preparado para demostrarlo.

2.

Encuente el número de grupos \(G\) diferentes, donde el orden de \(G\) es \(n\) para \(n = 1, \ldots, 60\text{.}\)

3.

Encuentre explícitamente los grupos (salvo isomorfismo) para cada \(n\text{.}\)