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Capítulo 13 La Estructura de Grupos

Un objetivo de la teoría de grupos es el de clasificar todos los grupos módulo isomorfismo; es decir, dado un grupo particular, queremos ser capaces de identificarlo con un grupo conocido por medio de un isomorfismo. Por ejemplo, ya demostramos que cualquier grupo cíclico finito de orden \(n\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_n\text{;}\) luego, “conocemos” todos los grupos cíclicos finitos. Probablemente no es razonable suponer que jamás vayamos a conocer todos los grupos; sin embargo, podemos clasificar ciertos tipos de grupos o distinguir entre grupos en casos especiales.

En este capítulo caracterizaremos todos los grupos abelianos finitos. También investigaremos grupos con sucesiones de subgrupos. Si un grupo contiene una sucesión de subgrupos, digamos

\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}, \end{equation*}

donde cada \(H_i\) es normal en \(H_{i+1}\) y cada uno de los grupos cociente \(H_{i+1}/H_i\) es abeliano, entonces \(G\) es un grupo soluble. Además de permitirnos distinguir entre ciertas clases de grupos, los grupos solubles resultan tener un rol central en el estudio de las soluciones de ecuaciones polinomiales.