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Sección 20.1 Definiciones y Ejemplos

Un espacio vectorial \(V\) sobre un cuerpo \(F\) es un grupo abeliano con un producto escalar \(\alpha \cdot v\) o \(\alpha v\) definido para todo \(\alpha \in F\) y para todo \(v \in V\) que satisface los siguientes axiomas.

  • \(\alpha(\beta v) =(\alpha \beta)v\text{;}\)

  • \((\alpha + \beta)v =\alpha v + \beta v\text{;}\)

  • \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\text{;}\)

  • \(1v=v\text{;}\)

donde \(\alpha, \beta \in F\) y \(u, v \in V\text{.}\)

Los elementos de \(V\) se llaman vectores; los elementos de \(F\) se llaman escalares. Es importante notar que en la mayoría de los casos no es posible multiplicar dos vectores. En general solo es posible multiplicar un vector por un escalar. Para diferenciar entre el escalar cero y el vector cero, los escribiremos como 0 y \({\mathbf 0}\text{,}\) respectivamente.

Examinemos varios ejemplos de espacios vectoriales. Algunos resultarán muy familiares, otros le pueden parecer menos conocidos.

Las \(n\)-tuplas de números reales, denotadas por \({\mathbb R}^n\text{,}\) forman un espacio vectorial sobre \({\mathbb R}\text{.}\) Dados los vectores \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) y \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) en \({\mathbb R}^n\) y \(\alpha\) en \({\mathbb R}\text{,}\) podemos definir la suma de vectores como

\begin{equation*} u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \end{equation*}

y el producto escalar como

\begin{equation*} \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n). \end{equation*}

Si \(F\) es un cuerpo, entonces \(F[x]\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{.}\) Los vectores en \(F[x]\) son polinomios y la suma de vectores es la suma de polinomios. Si \(\alpha \in F\) y \(p(x) \in F[x]\text{,}\) entonces la multiplicación por escalar está definida como \(\alpha p(x)\text{.}\)

El conjunto de todas las funciones continuas con valores reales definidas en un intervalo cerrado \([a,b]\) es un espacio vectorial sobre \({\mathbb R}\text{.}\) Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son continuas en \([a, b]\text{,}\) entonces \((f+g)(x)\) se define como \(f(x) + g(x)\text{.}\) La multiplicación escalar se define como \((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\) para \(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Por ejemplo, si \(f(x) = \sin x\) y \(g(x)= x^2\text{,}\) entonces \((2f + 5g)(x) =2 \sin x + 5 x^2\text{.}\)

Sea \(V = {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q } \}\text{.}\) Entonces \(V\) es un espacio vectorial sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Si \(u = a + b \sqrt{2}\) y \(v = c + d \sqrt{2}\text{,}\) entonces \(u + v = (a + c) + (b + d ) \sqrt{2}\) está nuevamente en \(V\text{.}\) Además, para \(\alpha \in {\mathbb Q}\text{,}\) \(\alpha v\) está en \(V\text{.}\) Dejaremos como ejercicio la verificación de que se cumplen los axiomas de espacio vectorial en \(V\text{.}\)

Para demostrar (1), observe que

\begin{equation*} 0 v = (0 + 0)v = 0v + 0v; \end{equation*}

en consecuencia, \({\mathbf 0} + 0 v = 0v + 0v\text{.}\) Como \(V\) es un grupo abeliano, \({\mathbf 0} = 0v\text{.}\)

La demostración de (2) es casi idéntica a la demostración de (1). Para (3), estamos listos si \(\alpha = 0\text{.}\) Supongamos que \(\alpha \neq 0\text{.}\) Multiplicando ambos lados de \(\alpha v = {\mathbf 0}\) por \(1/ \alpha\text{,}\) tenemos \(v = {\mathbf 0}\text{.}\)

Para demostrar (4), observemos que

\begin{equation*} v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1-1)v = 0v = {\mathbf 0}, \end{equation*}

y así \(-v = (-1)v\text{.}\) Dejamos la demostración de (5) como ejercicio.