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Sección 15.1 Los Teoremas de Sylow

Usaremos lo que hemos aprendido sobre acciones de grupo para demostrar los Teoremas de Sylow. Recordemos por un momento los que significa que \(G\) actúe en sí mismo por conjugación y cómo las clases de conjugación se distribuyen en el grupo de acuerdo a la ecuación de clase, discutida en el Capítulo 14. Un grupo \(G\) actúa en sí mismo por conjugación de manera que \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Sean \(x_1, \ldots, x_k\) representantes de cada una de las distintas clases de conjugación de \(G\) que contienen más de un elemento. Entonces la ecuación de clase se escribe como

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)], \end{equation*}

donde \(Z(G) = \{g \in G : gx = xg \text{ para todo } x \in G\}\) es el centro de \(G\) y \(C(x_i) = \{ g \in G : g x_i = x_i g \}\) es el subgrupo centralizador de \(x_i\text{.}\)

Comenzaremos nuestra investigación de los Teoremas de Sylow examinando los subgrupos de orden \(p\text{,}\) donde \(p\) es un primo. Un grupo \(G\) es un \(p\)-grupo si todo elemento en \(G\) tiene orden potencia de \(p\text{,}\) donde \(p\) en un número primo. Un subgrupo de un grupo \(G\) es un \(p\)-subgrupo si es un \(p\)-grupo.

Procederemos por inducción sobre el orden de \(G\text{.}\) Si \(|G|=p\text{,}\) entonces un generador de \(G\) es el elemento requerido. Supongamos ahora que todo subgrupo de orden \(k\text{,}\) donde \(p \leq k \lt n\) y \(p\) divide a \(k\text{,}\) tiene un elemento de orden \(p\text{.}\) Supongamos que \(|G|= n\) y que \(p \mid n\) y consideremos la ecuación de clase de \(G\text{:}\)

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]. \end{equation*}

Tenemos dos casos que considerar.

Caso 1. El orden de alguno de los subgrupos centralizadores, \(C(x_i)\text{,}\) es divisible por \(p\) para algún \(i\text{,}\) \(i = 1, \ldots, k\). En este caso, por la hipótesis de inducción, estamos listos. Como \(C(x_i)\) es un subgrupo propio de \(G\) y \(p\) divide a \(|C(x_i)|\text{,}\) \(C(x_i)\) contiene un elemento de orden \(p\text{.}\) Por lo tanto, \(G\) contiene un elemento de orden \(p\text{.}\)

Caso 2. Ninguno de los centralizadores tiene orden divisible por \(p\). Entonces \(p\) divide a \([G:C(x_i)]\text{,}\) el orden de cada clase de conjugación en la ecuación de clase; luego, \(p\) divide el orden del centro de \(G\text{,}\) \(Z(G)\text{.}\) Como \(Z(G)\) es abeliano, tiene un subgrupo de orden \(p\) por el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Por lo tanto, el centro de \(G\) contiene un elemento de orden \(p\text{.}\)

Consideremos el grupo \(A_5\text{.}\) Sabemos que \(|A_5| = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) Por el Teorema de Cauchy, sabemos que \(A_5\) tiene subgrupos de órdenes \(2\text{,}\) \(3\) y \(5\text{.}\) Los Teoremas de Sylow nos darán aún más información sobre los posibles subgrupos de \(A_5\text{.}\)

Podemos ahora enunciar y demostrar el Primer Teorema de Sylow. La demostración es muy similar a la del Teorema de Cauchy.

Procederemos por inducción sobre el orden de \(G\) una vez más. Si \(|G| = p\text{,}\) entonces estamos listos. Ahora supongamos que el orden de \(G\) es \(n\) con \(n \gt p\) y que el teorema es verdadero para todos los grupos de orden menor a \(n\text{,}\) donde \(p\) divide a \(n\text{.}\) Usaremos la ecuación de clase una vez más:

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]. \end{equation*}

Supongamos primero que \(p\) no divide a \([G:C(x_i)]\) para algún \(i\text{.}\) Entonces \(p^r \mid |C(x_i)|\text{,}\) pues \(p^r\) divide a \(|G| = |C(x_i)| \cdot [G:C(x_i)]\text{.}\) Podemos aplicar la hipótesis de inducción a \(C(x_i)\text{.}\)

Por lo tanto, podemos suponer que \(p\) divide a \([G:C(x_i)]\) para todos los \(i\text{.}\) Como \(p\) divide a \(|G|\text{,}\) la ecuación de clase dice que \(p\) divide a \(|Z(G)|\text{;}\) luego, por el teorema de Cauchy, \(Z(G)\) tiene un elemento de orden \(p\text{,}\) digamos \(g\text{.}\) Sea \(N\) el grupo generado por \(g\text{.}\) Claramente, \(N\) es un subgrupo normal de \(Z(G)\) pues \(Z(G)\) es abeliano; por lo tanto, \(N\) es normal en \(G\) pues todo elemento en \(Z(G)\) conmuta con todo elemento en \(G\text{.}\) Ahora consideremos el grupo cociente \(G/N\) de orden \(|G|/p\text{.}\) Por la hipótesis de indicción, \(G/N\) contiene un subgrupo \(H\) de orden \(p^{r- 1}\text{.}\) La preimagen de \(H\) bajo el homomorfismo canónico \(\phi : G \rightarrow G/N\) es un subgrupo de orden \(p^r\) en \(G\text{.}\)

Un \(p\)-subgrupo de Sylow \(P\) de un grupo \(G\) es un \(p\)-subgrupo maximal de \(G\text{.}\) Para demostrar los otros dos Teoremas de Sylow, debemos considerar subgrupos conjugados en lugar de elementos conjugados en un grupo. Dado un grupo \(G\text{,}\) sea \({\mathcal S}\) la colección de todos los subgrupos de \(G\text{.}\) Para cualquier subgrupo \(H\text{,}\) \({\mathcal S}\) es un \(H\)-conjunto, donde \(H\) actúa en \({\mathcal S}\) por conjugación. Es decir, tenemos una acción

\begin{equation*} H \times {\mathcal S} \rightarrow {\mathcal S} \end{equation*}

definida por

\begin{equation*} h \cdot K \mapsto hKh^{-1} \end{equation*}

para \(K\) en \({\mathcal S}\text{.}\)

El conjunto

\begin{equation*} N(H) = \{ g \in G : g H g^{-1} = H\} \end{equation*}

es un subgrupo de \(G\) llamado normalizador de \(H\) en \(G\text{.}\) Notemos que \(H\) es un subgrupo normal de \(N(H)\text{.}\) De hecho, \(N(H)\) es el mayor subgrupo de \(G\) en el que \(H\) es normal.

Ciertamente \(x \in N(P)\text{,}\) y el subgrupo cíclico, \(\langle xP \rangle \subset N(P)/P\text{,}\) tiene orden potencia de \(p\text{.}\) Por el Teorema de Correspondencia existe un subgrupo \(H\) de \(N(P)\) que contiene a \(P\) tal que \(H/P = \langle xP \rangle\text{.}\) Como \(|H| = |P| \cdot |\langle xP \rangle|\text{,}\) el orden de \(H\) debe ser una potencia de \(p\text{.}\) Pero, \(P\) es un \(p\)-subgrupo de Sylow contenido en \(H\text{.}\) Como el orden de \(P\) es la mayor potencia de \(p\) que divide a \(|G|\text{,}\) \(H=P\text{.}\) Por lo tanto, \(H/P\) es el subgrupo trivial y \(xP = P\text{,}\) es decir \(x \in P\text{.}\)

Definimos una biyección entre las clases de conjugación de \(N(K) \cap H\) por \(h^{-1}Kh \mapsto (N(K) \cap H)h\text{.}\) Para mostrar que esta función es una biyección, sean \(h_1, h_2 \in H\) y supongamos que \((N(K) \cap H)h_1 = (N(K) \cap H)h_2\text{.}\) Entonces \(h_2 h_1^{-1} \in N(K)\text{.}\) Por lo tanto, \(K = h_2 h_1^{-1} K h_1 h_2^{-1}\) o \(h_1^{-1} K h_1 = h_2^{-1} K h_2\text{,}\) y la función es inyectiva. Es fácil ver que es sobreyectiva; por lo tanto tenemos una biyección entre los \(H\)-conjugados de \(K\) y las clases laterales derechas de \(N(K) \cap H\) en \(H\text{.}\)

Sea \(P\) un \(p\)-subgrupo de Sylow de \(G\) y supongamos que \(|G|=p^r m\) con \(|P|=p^r\text{.}\) Sea

\begin{equation*} {\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \} \end{equation*}

el conjunto de los distintos conjugados de \(P\) en \(G\text{.}\) Por el Lema 15.1.6, \(k = [G: N(P)]\text{.}\) Notemos que

\begin{equation*} |G|= p^r m = |N(P)| \cdot [G: N(P)]= |N(P)| \cdot k. \end{equation*}

Como \(p^r\) divide a \(|N(P)|\text{,}\) \(p\) no divide a \(k\text{.}\)

Dado cualquier otro \(p\)-subgrupo de Sylow \(Q\text{,}\) debemos mostrar que \(Q \in {\mathcal S}\text{.}\) Consideremos las \(Q\)-clases de conjugación de cada \(P_i\text{.}\) Claramente, estas clases de conjugación forman una partición de \({\mathcal S}\text{.}\) El tamaño de la parte que contiene a \(P_i\) es \([Q :N(P_i) \cap Q]\) por el Lema 15.1.6, y el Teorema de Lagrange nos dice que \(|Q| = [Q :N(P_i) \cap Q] |N(P_i) \cap Q|\text{.}\) Así, \([Q :N(P_i) \cap Q]\) divide a \(|Q|= p^r\text{.}\) Luego, el número de conjugados en cada clase de equivalencia de la partición es una potencia de \(p\text{.}\) Pero, como \(p\) no divide a \(k\text{,}\) una de estas clases de equivalencia solo contiene un único \(p\)-subgrupo de Sylow, digamos \(P_j\text{.}\) En este caso, \(x^{-1} P_j x = P_j\) para todo \(x \in Q\text{.}\) Por el Lema 15.1.5, \(P_j = Q\text{.}\)

Sea \(P\) un \(p\)-subgrupo de Sylow actuando en el conjunto de los \(p\)-subgrupos de Sylow,

\begin{equation*} {\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}, \end{equation*}

por conjugación. De la demostración del Segundo Teorema de Sylow, el único \(P\)-conjugado de \(P\) es él mismo y el orden de las otras \(P\)-clases de conjugación es una potencia de \(p\text{.}\) Cada \(P\)-clase de conjuugación contribuye con una potencia positiva de \(p\) al valor de \(|{\mathcal S}|\) excepto la clase de \(\{ P \}\text{.}\) Como \(|{\mathcal S}|\) es la suma de potencias positivas de \(p\) y 1, tenemos \(|{\mathcal S}| \equiv 1 \pmod{p}\text{.}\)

Ahora consideremos la acción de \(G\) en \({\mathcal S}\) por conjugación. Como todos los \(p\)-subgrupos de Sylow son conjugados, solo puede haber una órbita bajo esta acción. Para \(P \in {\mathcal S}\text{,}\)

\begin{equation*} |{\mathcal S}| = |\text{órbita de }P| = [G : N(P)] \end{equation*}

por el Lema 15.1.6. Pero \([G : N(P)]\) es un divisor de \(|G|\text{;}\) luego, el número de \(p\)-subgrupos de Sylow de un grupo finito divide al orden del grupo.

Subsección 15.1.1 Nota Histórica

Peter Ludvig Mejdell Sylow nació en 1832 en Christiania, Noruega (actualmente Oslo). Después de asistir a la Universidad de Christiania, Sylow hizo clases de colegio. En 1862 obtuvo un contrato temporal en la Universidad de Christiania. Si bien su estancia en la Universidad fue relativamente breve, tuvo influencia en estudiantes como Sophus Lie (1842–1899). A Sylow intentó obtener una cátedra permanente en 1869, pero no tuvo éxito. In 1872, publicó un artículo de 10 páginas presentando los teoremas que hoy llevan su nombre. Tiempo después Lie y Sylow colaboraron en una nueva edición de los trabajos de Abel. En 1898, finalmente se creó una cátedra para Sylow en la Universidad de Christiania gracias a los esfuerzos de su estudiante y colega Lie. Sylow falleció en 1918.