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Sección 20.2 Subespacios

Así como los grupos tienen subgrupo y los anillos tienen subanillos, los espacios vectoriales también tienen subestructuras. Sea \(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(F\text{,}\) y \(W\) un subconjunto de \(V\text{.}\) Entonces \(W\) es un subespacio de \(V\) si es cerrado bajo adición de vectores y bajo multiplicación escalar; es decir, si \(u, v \in W\) y \(\alpha \in F\text{,}\) siempre se tiene que \(u + v\) y \(\alpha v\) también están en \(W\text{.}\)

Sea \(W\) el subconjunto de \({\mathbb R}^3\) definido por \(W = \{ (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) : x_1, x_2 \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Afirmamos que \(W\) es un subespacio de \({\mathbb R}^3\text{.}\) Como

\begin{align*} \alpha (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) & = (\alpha x_1, \alpha(2 x_1 + x_2), \alpha( x_1 - x_2))\\ & = (\alpha x_1, 2(\alpha x_1) + \alpha x_2, \alpha x_1 -\alpha x_2), \end{align*}

\(W\) es cerrado bajo multiplicación por escalares. Para mostrar que \(W\) es cerrado bajo la adición de vectores, sean \(u = (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2)\) y \(v = (y_1, 2 y_1 + y_2, y_1 - y_2)\) vectores en \(W\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} u + v = (x_1 + y_1, 2( x_1 + y_1) +( x_2 + y_2), (x_1 + y_1) - (x_2+ y_2)). \end{equation*}

Sea \(W\) el subconjunto de los polinomios en \(F[x]\) sin términos de grado impar. Si \(p(x)\) y \(q(x)\) no tienen términos de grado impar, entonces tampoco los tendrá \(p(x) + q(x)\text{.}\) Además, \(\alpha p(x) \in W\) para \(\alpha \in F\) y \(p(x) \in W\text{.}\)

Sea \(V\) cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo \(F\) y supongamos que \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) son vectores en \(V\) y \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) son escalares en \(F\text{.}\) Cualquier vector \(w\) en \(V\) de la forma

\begin{equation*} w = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n \end{equation*}

se llama combinación lineal de los vectores \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) El conjunto generado por los vectores \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) es el conjunto de vectores obtenido a partir de todas las combinaciones lineales posibles de \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) Si \(W\) es el conjunto generado por \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{,}\) entonces decimos que \(W\) está generado por \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\)

Sean \(u\) y \(v\) en \(S\text{.}\) Podemos escribir cada uno de ellos como combinación lineal de los \(v_i\text{:}\)

\begin{align*} u & = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n\\ v & = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n. \end{align*}

Entonces

\begin{equation*} u + v =( \alpha_1 + \beta_1) v_1 + (\alpha_2+ \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n) v_n \end{equation*}

es una combinación lineal de los \(v_i\text{.}\) Para \(\alpha \in F\text{,}\)

\begin{equation*} \alpha u = (\alpha \alpha_1) v_1 + ( \alpha \alpha_2) v_2 + \cdots + (\alpha \alpha_n ) v_n \end{equation*}

está en el conjunto generado por \(S\text{.}\)