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Sección 10.2 La Simplicidad del Grupo Alternante

De especial interés resultan ser los grupos que no tienen subgrupos normales propios no triviales. Tales grupos se llaman grupos simples. Por supuesto, ya tenemos una clase completa de grupos simples, \({\mathbb Z}_p\text{,}\) donde \(p\) es primo. Estos grupos son trivialmente simples pues no tienen otro subgrupo propio que no sea solamente la identidad. Otros ejemplos de grupos simples no son tan fáciles de encontrar. Podemos, sin embargo, mostrar que el grupo alternante, \(A_n\text{,}\) es simple para \(n \geq 5\text{.}\) La demostración de este resultado requiere de varios lemas.

Para mostrar que los 3-ciclos generan \(A_n\text{,}\) solo necesitamos mostrar que cualquier par de transposiciones puede ser escrito como el producto de 3-ciclos. Como \((a b) = (b a)\text{,}\) todo par de transposiciones debe ser uno de los siguientes:

\begin{align*} (ab)(ab) & = \identity\\ (ab)(cd) & = (acb)(acd)\\ (ab)(ac) & = (acb). \end{align*}

Demostraremos primero que \(A_n\) es generado por 3-ciclos de la forma específica \((ijk)\text{,}\) donde \(i\) y \(j\) están fijos en \(\{ 1, 2, \ldots, n \}\) y hacemos variar \(k\text{.}\) Cada 3-ciclo es el producto de 3-ciclos de este tipo, pues

\begin{align*} (i a j) & = (i j a)^2 \\ (i a b) & = (i j b) (i j a)^2\\ (j a b) & = (i j b)^2 (i j a)\\ (a b c) & = (i j a)^2 (i j c) (i j b)^2 (i j a). \end{align*}

Ahora supongamos que \(N\) es un subgrupo normal no trivial de \(A_n\) para \(n \geq 3\) tal que \(N\) contiene un 3-ciclo de la forma \((i j a)\text{.}\) Usando la normalidad de \(N\text{,}\) vemos que

\begin{equation*} [(i j)(a k)](i j a)^2 [(i j)(a k)]^{-1} = (i j k) \end{equation*}

está en \(N\text{.}\) Luego, \(N\) debe contener todos los 3-ciclos \((i j k)\) para \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Por el Lema 10.2.1, estos 3-ciclos generan \(A_n\text{;}\) luego, \(N = A_n\text{.}\)

Sea \(\sigma\) un elemento arbitrario, distinto de la identidad,en un subgrupo normal \(N\text{.}\) Existen varias posibles estructuras de ciclos para \(\sigma\text{.}\)

  • \(\sigma\) es un 3-ciclo.

  • \(\sigma\) es el producto de ciclos disjuntos, \(\sigma = \tau(a_1 a_2 \cdots a_r) \in N\text{,}\) con \(r \gt 3\text{.}\)

  • \(\sigma\) es el producto de ciclos disjuntos, \(\sigma = \tau(a_1 a_2 a_3)(a_4 a_5 a_6)\text{.}\)

  • \(\sigma = \tau(a_1 a_2 a_3)\text{,}\) donde \(\tau\) es el producto de 2-ciclos disjuntos.

  • \(\sigma = \tau (a_1 a_2) (a_3 a_4)\text{,}\) donde \(\tau\) es el producto de un número par de 2-ciclos disjuntos.

Si \(\sigma\) es un 3-ciclo, entonces estamos listos. Si \(N\) contiene un producto de ciclos disjuntos, \(\sigma\text{,}\) y al menos uno de esos ciclos tiene largo mayor a 3, digamos \(\sigma = \tau(a_1 a_2 \cdots a_r)\text{,}\) entonces

\begin{equation*} (a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1} \end{equation*}

está en \(N\) pues \(N\) es normal; luego,

\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1} \end{equation*}

también está en \(N\text{.}\) Como

\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1} & = \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_3 a_2)\\ & = (a_1 a_2 \cdots a_r)^{-1}\tau^{-1}(a_1 a_2 a_3) \tau(a_1 a_2 \cdots a_r)(a_1 a_3 a_2)\\ & = (a_1 a_r a_{r-1} \cdots a_2 )(a_1 a_2 a_3) (a_1 a_2 \cdots a_r)(a_1 a_3 a_2)\\ & = (a_1 a_3 a_r), \end{align*}

\(N\) debe contener un 3-ciclo; luego, \(N = A_n\text{.}\)

Ahora supongamos que \(N\) contiene un producto disjunto de la forma

\begin{equation*} \sigma = \tau(a_1 a_2 a_3)(a_4 a_5 a_6). \end{equation*}

Entonces

\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_4)\sigma(a_1 a_2 a_4)^{-1} \in N \end{equation*}

pues

\begin{equation*} (a_1 a_2 a_4)\sigma(a_1 a_2 a_4)^{-1} \in N. \end{equation*}

Así

\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_4) \sigma(a_1 a_2 a_4)^{-1} & = [ \tau (a_1 a_2 a_3) (a_4 a_5 a_6) ]^{-1} (a_1 a_2 a_4) \tau (a_1 a_2 a_3) (a_4 a_5 a_6) (a_1 a_2 a_4)^{-1}\\ & = (a_4 a_6 a_5) (a_1 a_3 a_2) \tau^{-1}(a_1 a_2 a_4) \tau (a_1 a_2 a_3) (a_4 a_5 a_6) (a_1 a_4 a_2)\\ & = (a_4 a_6 a_5)(a_1 a_3 a_2) (a_1 a_2 a_4) (a_1 a_2 a_3) (a_4 a_5 a_6)(a_1 a_4 a_2)\\ & = (a_1 a_4 a_2 a_6 a_3). \end{align*}

Así \(N\) contiene un ciclo disjunto de largo mayor a 3, y podemos aplicar el caso anterior.

Supongamos que \(N\) es un producto disjunto de la forma \(\sigma = \tau(a_1 a_2 a_3)\text{,}\) donde \(\tau\) es el producto disjunto de 2-ciclos. Como \(\sigma \in N\text{,}\) \(\sigma^2 \in N\text{,}\) y

\begin{align*} \sigma^2 & = \tau(a_1 a_2 a_3)\tau(a_1 a_2 a_3)\\ & =(a_1 a_3 a_2). \end{align*}

Así \(N\) contiene un 3-ciclo.

El único caso que nos queda es un producto disjunto de la forma

\begin{equation*} \sigma = \tau (a_1 a_2) (a_3 a_4), \end{equation*}

donde \(\tau\) es el producto de un número par de 2-ciclos disjuntos. Pero

\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1} \end{equation*}

está en \(N\) pues \((a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1}\) está en \(N\text{;}\) de manera que

\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1 a_2 a_3)\sigma(a_1 a_2 a_3)^{-1} & = \tau^{-1} (a_1 a_2) (a_3 a_4) (a_1 a_2 a_3) \tau (a_1 a_2)(a_3 a_4)(a_1 a_2 a_3)^{-1}\\ & = (a_1 a_3)(a_2 a_4). \end{align*}

Como \(n \geq 5\text{,}\) podemos encontrar \(b \in \{1, 2, \ldots, n \}\) de manera que \(b \neq a_1, a_2, a_3, a_4\text{.}\) Sea \(\mu = (a_1 a_3 b)\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \mu^{-1} (a_1 a_3)(a_2 a_4) \mu (a_1 a_3)(a_2 a_4) \in N \end{equation*}

y

\begin{align*} \mu^{-1} (a_1 a_3)(a_2 a_4) \mu (a_1 a_3)(a_2 a_4) & = (a_1 b a_3)(a_1 a_3)(a_2 a_4) (a_1 a_3 b)(a_1 a_3)(a_2 a_4)\\ & = (a_1 a_3 b ). \end{align*}

Por lo tanto, \(N\) contiene un 3-ciclo. Esto completa la demostración del lema.

Sea \(N\) un subgrupo normal no trivial de \(A_n\text{.}\) Por el Lema 10.2.3, \(N\) contiene un 3-ciclo. Por el Lema 10.2.2, \(N = A_n\text{;}\) por lo tanto, \(A_n\) no contiene ningún subgrupo normal que sea propio y no trivial para \(n \geq 5\text{.}\)

Sage.

Sage puede determinar fácilmente si un subgrupo es normal o no. Si lo es, puede crear el grupo cociente. Pero la construcción entrega un nuevo grupo de permutaciones, ismomorfo al grupo cociente, de manera que su utilidad es limitada.

Subsección 10.2.1 Nota Histórica

Uno de los principales problemas de la teoría de grupos finitos ha sido el de clasificar todos los grupos finitos simples. Este problema tiene más de un siglo y recién fue resuelto en las últimas décadas del siglo XX. En cierto sentido, los grupos finitos simples son los bloques para construir todos los grupos finitos. Los primeros grupos simples no abelianos en ser descubiertos fueron los grupos alternantes. Galois fue el primero en demostrar que \(A_5\) era simple. Más tarde, matemáticos tales como C. Jordan y L. E. Dickson encontraron varias familias infinitas de grupos de matrices que eran simples. Otras familias de grupos simples fueron descubiertas en la década de 1950. Alrededor del 1900, William Burnside conjecturó que todos los grupos simples no abelianos debían tener orden par. En 1963, W. Feit y J. Thompson demostraron la conjetura de Burnside y publicaron sus resultados en el trabajo “Solvability of Groups of Odd Order,” que apareció en el Pacific Journal of Mathematics. Su demostración, de unas 250 páginas, dio impulso a un programa en los 1960s y los 1970s para clasificar todos los grupos finitos simples. Daniel Gorenstein fue el organizador de este notable esfuerzo. Uno de los últimos grupos simples fue el “Monster,” descubierto por R. Greiss. El Monster, un grupo de matrices de 196,833\(\times\)196,833, es uno de los 26 grupos simples esporádicos, o especiales. Estos grupos simples esporádicos son grupos que no calzan en ninguna familia infinita de grupos simples. Algunos de los grupos esporádicos juegan un rol importante en la física.