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Sección 1.2 Conjuntos y Relaciones de Equivalencia

Subsección 1.2.1 Teoría de Conjuntos

Un conjunto es una colección bien-definida de objetos; es decir, está definida de manera que para un objeto \(x\) cualquiera, podamos determinar si \(x\) pertenece o no al conjunto. Los objetos que pertenecen al conjunto se llaman elementos o miembros. Denotaremos los conjuntos por letras mayúsculas, tales como \(A\) o \(X\text{;}\) si \(a\) es un elemento del conjunto \(A\text{,}\) escribimos \(a \in A\text{.}\)

Un conjunto usualmente se define ya sea listando todos los elementos que contiene entre un par de llaves o indicando la propiedad que determina si un objeto \(x\) pertenece o no al conjunto. Podemos escribir

\begin{equation*} X = \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \} \end{equation*}

para un conjunto que contiene los elementos \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) o

\begin{equation*} X = \{ x :x \text{ satisface }{\mathcal P}\} \end{equation*}

si cada \(x\) en \(X\) satisface cierta propiedad \({\mathcal P}\text{.}\) Por ejemplo, si \(E\) es el conjunto de enteros pares positivos, podemos describir \(E\) escribiendo ya sea

\begin{equation*} E = \{2, 4, 6, \ldots \} \quad \text{o} \quad E = \{ x : x \text{ es un entero par y } x \gt 0 \}. \end{equation*}

Escribimos \(2 \in E\) cuando queremos decir que 2 está en el conjunto \(E\text{,}\) y \(-3 \notin E\) para decir que \(-3\) no está en el conjunto \(E\text{.}\)

Algunos de los conjuntos más importantes que consideraremos son los siguientes:

\begin{gather*} {\mathbb N} = \{n: n \text{ es un número natural}\} = \{1, 2, 3, \ldots \};\\ {\mathbb Z} = \{n : n \text{ es un entero} \} = \{\ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots \};\\ {\mathbb Q} = \{r : r \text{ es un número racional}\} = \{p/q : p, q \in {\mathbb Z} \text{ con } q \neq 0\};\\ {\mathbb R} = \{ x : x \text{ es un número real} \};\\ {\mathbb C} = \{z : z \text{ es un número complejo}\}. \end{gather*}

Podemos encontrar varias relaciones entre conjuntos y realizar operaciones entre ellos. Un conjunto \(A\) es un subconjunto de \(B\text{,}\) denotado \(A \subset B\) o \(B \supset A\text{,}\) si todo elemento de \(A\) también es un elemento de \(B\text{.}\) Por ejemplo,

\begin{equation*} \{4,5,8\} \subset \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \end{equation*}

y

\begin{equation*} {\mathbb N} \subset {\mathbb Z} \subset {\mathbb Q} \subset {\mathbb R} \subset {\mathbb C}. \end{equation*}

Trivialmente, todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Un conjunto \(B\) es un subconjunto propio de un conjunto \(A\) si \(B \subset A\) pero \(B \neq A\text{.}\) Si \(A\) no es un subconjunto de \(B\text{,}\) escribimos \(A \notsubset B\text{;}\) por ejemplo, \(\{4, 7, 9\} \notsubset \{2, 4, 5, 8, 9 \}\text{.}\) Dos conjuntos son iguales, escrito \(A = B\text{,}\) si contienen los mismos elementos. Esto es equivalente a que \(A \subset B\) y \(B \subset A\text{.}\)

Es conveniente tener un conjunto sin elementos. Este conjunto se llama conjunto vacío y se denota por \(\emptyset\text{.}\) Notemos que el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.

Para construir conjuntos nuevos a partir de otros conjuntos, podemos realizar ciertas operaciones: la unión \(A \cup B\) de dos conjuntos \(A\) y \(B\) se define como

\begin{equation*} A \cup B = \{x : x \in A \text{ o } x \in B \}; \end{equation*}

la intersección de \(A\) y \(B\) se define como

\begin{equation*} A \cap B = \{x : x \in A \text{ y } x \in B \}. \end{equation*}

Si \(A = \{1, 3, 5\}\) y \(B = \{ 1, 2, 3, 9 \}\text{,}\) entonces

\begin{equation*} A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 9 \} \quad \text{y} \quad A \cap B = \{ 1, 3 \}. \end{equation*}

Podemos considerar la unión y la intersección de más de dos conjuntos. En este caso escribimos

\begin{equation*} \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cup \ldots \cup A_n \end{equation*}

y

\begin{equation*} \bigcap_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cap \ldots \cap A_n \end{equation*}

para la unión e intersección, respectivamente de los conjuntos \(A_1, \ldots, A_n\text{.}\) También se pueden definir la unión y la intersección de una colección infinita (o arbitraria) de conjuntos. Si \(\mathcal S=\{A_i:i\in \mathcal I\}\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \bigcup \mathcal S=\bigcup_{i \in \mathcal I} A_{i} = \{x:x\in A_i\text{ para algún } A_i\in\mathcal S\} \end{equation*}

y

\begin{equation*} \bigcap \mathcal S=\bigcap_{i \in \mathcal I} A_{i} = \{x:x\in A_i\text{ para todo } A_i\in\mathcal S\} \end{equation*}

para la unión e intersección, respectivamente, de los conjuntos en \(\mathcal S\) indexados por \(\mathcal I\text{.}\)

Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, se dice que son disjuntos; por ejemplo, si \(P\) es el conjunto de los enteros pares e \(I\) es el conjunto de los enteros impares, entonces \(P\) e \(I\) son disjuntos. Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos precisamente cuando \(A \cap B = \emptyset\text{.}\)

En ocasiones trabajaremos con un conjunto fijo \(U\text{,}\) llamado conjunto universal. Para cualquier conjunto \(A \subset U\text{,}\) podemos definir el complemento de \(A\text{,}\) denotado por \(A'\text{,}\) como el conjunto

\begin{equation*} A' = \{ x : x \in U \text{ y } x \notin A \}. \end{equation*}

Definimos la diferencia de dos conjuntos \(A\) y \(B\) como

\begin{equation*} A \setminus B = A \cap B' = \{ x : x \in A \text{ y } x \notin B \}. \end{equation*}

Sea \({\mathbb R}\) el conjunto universal y supongamos que

\begin{equation*} A = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \leq 3 \} \quad \text{y} \quad B = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \lt 4 \}. \end{equation*}

Entonces

\begin{align*} A \cap B & = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \leq 3 \}\\ A \cup B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 4 \}\\ A \setminus B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 2 \}\\ A' & = \{ x \in {\mathbb R} : x \leq 0 \text{ o } x \gt 3 \}. \end{align*}

Demostraremos (1) y (3) y dejaremos las demostraciones de los demás resultados como ejercicios.

(1) Observe que

\begin{align*} A \cup A & = \{ x : x \in A \text{ o } x \in A \}\\ & = \{ x : x \in A \}\\ & = A \end{align*}

y

\begin{align*} A \cap A & = \{ x : x \in A \text{ y } x \in A \}\\ & = \{ x : x \in A \}\\ & = A. \end{align*}

Además, \(A \setminus A = A \cap A' = \emptyset\text{.}\)

(3) Para conjuntos \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(C\text{,}\)

\begin{align*} A \cup (B \cup C) & = A \cup \{ x : x \in B \text{ o } x \in C \}\\ & = \{ x : x \in A \text{ o } x \in B, \text{ o } x \in C \}\\ & = \{ x : x \in A \text{ o } x \in B \} \cup C\\ & = (A \cup B) \cup C. \end{align*}

Un argumento similar demuestra que \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\text{.}\)

(1) Si \(A \cup B = \emptyset\text{,}\) entonces el teorema es inmediato pues tanto \(A\) como \(B\) son el conjunto vacío. De otra manera, debemos mostrar que \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\) y \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\text{.}\) Sea \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Entonces \(x \notin A \cup B\text{.}\) Así \(x\) no está en \(A\) ni en \(B\text{,}\) por la definición de la unión de conjuntos. Por la definición del complemento, \(x \in A'\) y \(x \in B'\text{.}\) Por lo tanto, \(x \in A' \cap B'\) y tenemos \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\text{.}\)

Para mostrar la inclusión inversa, supongamos que \(x \in A' \cap B'\text{.}\) Entonces \(x \in A'\) y \(x \in B'\text{,}\) y así \(x \notin A\) y \(x \notin B\text{.}\) Luego \(x \notin A \cup B\) y así \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Por lo tanto, \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\) y así \((A \cup B)' = A' \cap B'\text{.}\)

La demostración de (2) la dejamos como ejercicio.

Otras relaciones entre conjuntos son por ejemplo,

\begin{equation*} ( A \setminus B) \cap (B \setminus A) = \emptyset. \end{equation*}

Para ver que esta es verdadera, observe que

\begin{align*} ( A \setminus B) \cap (B \setminus A) & = ( A \cap B') \cap (B \cap A')\\ & = A \cap A' \cap B \cap B'\\ & = \emptyset. \end{align*}

Subsección 1.2.2 Producto Cartesiano y Funciones

Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\text{,}\) podemos definir un nuevo conjunto \(A \times B\text{,}\) llamado producto Cartesiano de \(A\) y \(B\text{,}\) como conjunto de pares ordenados. Esto es,

\begin{equation*} A \times B = \{ (a,b) : a \in A \text{ y } b \in B \}. \end{equation*}

Si \(A = \{ x, y \}\text{,}\) \(B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}\) y \(C = \emptyset\text{,}\) entonces \(A \times B\) es el conjunto

\begin{equation*} \{ (x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3) \} \end{equation*}

y

\begin{equation*} A \times C = \emptyset. \end{equation*}

Definimos el producto Cartesiano de \(n\) conjuntos como

\begin{equation*} A_1 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1, \ldots, a_n): a_i \in A_i \text{ para } i = 1, \ldots, n \}. \end{equation*}

Si \(A = A_1 = A_2 = \cdots = A_n\text{,}\) escribiremos \(A^n\) para \(A \times \cdots \times A\) (donde \(A\) se escribiría \(n\) veces). Por ejemplo, el conjunto \({\mathbb R}^3\) consiste de todas las 3-tuplas de números reales.

Subconjuntos de \(A \times B\) se llaman relaciones. Definiremos un mapeo o función \(f \subset A \times B\) de un conjunto \(A\) en un conjunto \(B\) como el tipo especial de relación donde \((a, b) \in f\) si para todo elemento \(a \in A\) existe un único elemento \(b \in B\text{.}\) Otra forma de decir esto es que para cada elemento en \(A\text{,}\) \(f\) asigna un único elemento en \(B\text{.}\) Usualmente escribimos \(f:A \rightarrow B\) o \(A \stackrel{f}{\rightarrow} B\text{.}\) En lugar de escribir pares ordenados \((a,b) \in A \times B\text{,}\) escribimos \(f(a) = b\) o \(f : a \mapsto b\text{.}\) El conjunto \(A\) se llama dominio de \(f\) y

\begin{equation*} f(A) = \{ f(a) : a \in A \} \subset B \end{equation*}

se llama rango o imagen de \(f\text{.}\) Podemos pensar los elementos del dominio de una función como valores de entrada y los elementos del rango de la función como valores de salida.

Figura 1.2.6. Funciones y Relaciones

Supongamos \(A = \{1, 2, 3 \}\) y \(B = \{a, b, c \}\text{.}\) En la Figura 1.2.6 definimos las relaciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(B\text{.}\) La relación \(f\) es una función, pero \(g\) no lo es pues a \(1 \in A\) no se le asigna una única imagen en \(B\text{;}\) es decir, \(g(1) = a\) y \(g(1) = b\text{.}\)

Dada una función \(f : A \rightarrow B\text{,}\) a veces es posible hacer una lista describiendo lo que le hace la función a cada elemento específico del dominio. Pero no todas las funciones pueden ser descritas de esta manera. Por ejemplo, la función \(f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}\) que envía a cada número real en su cubo es una función que debe ser descrita escribiendo \(f(x) = x^3\) o \(f:x \mapsto x^3\text{.}\)

Considere la relación \(f : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) dada por \(f(p/q) = p\text{.}\) Sabemos que \(1/2 = 2/4\text{,}\) pero es \(f(1/2) = 1\) o 2? Esta relación no puede ser una función pues no está bien-definida. Una relación está bien-definida si a cada elemento en el dominio se le asigna un único elemento en el rango.

Si \(f:A \rightarrow B\) es una función y la imagen de \(f\) es \(B\text{,}\) es decir, \(f(A) = B\text{,}\) entonces \(f\) se dice sobre o sobreyectiva. En otras palabras, si para cada \(b \in B\) existe \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\text{,}\) entonces \(f\) es sobre. Una función es 1-1 o inyectiva si \(a_1 \neq a_2\) implica \(f(a_1) \neq f(a_2)\text{.}\) Equivalentemente, una función es 1-1 si \(f(a_1) = f(a_2)\) implica \(a_1 = a_2\text{.}\) Una función que es 1-1 y sobre se llama biyectiva.

Sea \(f:{\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}\) definida como \(f(n) = n/1\text{.}\) Entonces \(f\) es 1-1 pero no sobre. Defina \(g : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) como \(g(p/q) = p\) donde \(p/q\) es un número racional en su forma reducida con denominador positivo. La función \(g\) es sobre pero no 1-1.

Dadas dos funciones, podemos construir una nueva función usando el rango de la primera función como el dominio de la segunda. Sean \(f : A \rightarrow B\) y \(g : B \rightarrow C\) funciones. Definimos una nueva función, la composición de \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(C\text{,}\) como \((g \circ f)(x) = g(f(x))\text{.}\)

Figura 1.2.9. Composición de funciones

Considere las funciones \(f: A \rightarrow B\) y \(g: B \rightarrow C\) que están definidas en la Figura 1.2.9 (arriba). La composición de estas funciones, \(g \circ f: A \rightarrow C\text{,}\) está definida en la Figura 1.2.9 (abajo).

Sean \(f(x) = x^2\) y \(g(x) = 2x + 5\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 \end{equation*}

y

\begin{equation*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 + 5. \end{equation*}

En general, el orden importa; es decir, en la mayoría de los casos \(f \circ g \neq g \circ f\text{.}\)

A veces se cumple que \(f \circ g= g \circ f\text{.}\) Sean \(f(x) = x^3\) y \(g(x) = \sqrt[3]{x}\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} (f \circ g )(x) = f(g(x)) = f( \sqrt[3]{x}\, ) = (\sqrt[3]{x}\, )^3 = x \end{equation*}

y

\begin{equation*} (g \circ f )(x) = g(f(x)) = g( x^3) = \sqrt[3]{ x^3} = x. \end{equation*}

Dada una matriz de \(2 \times 2\)

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \end{equation*}

podemos definir una función \(T_A : {\mathbb R}^2 \rightarrow {\mathbb R}^2\) como

\begin{equation*} T_A (x,y) = (ax + by, cx +dy) \end{equation*}

para \((x,y)\) en \({\mathbb R}^2\text{.}\) Esto en realidad es multiplicación de matrices; es decir,

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx +dy \end{pmatrix}. \end{equation*}

Funciones de \({\mathbb R}^n\) en \({\mathbb R}^m\) dadas por matrices se llaman funciones lineales o transformaciones lineales.

Supongamos que \(S = \{ 1,2,3 \}\text{.}\) Definamos una función \(\pi :S\rightarrow S\) como

\begin{equation*} \pi( 1 ) = 2, \qquad \pi( 2 ) = 1, \qquad \pi( 3 ) = 3. \end{equation*}

Esta es una función biyectiva. Una forma alternativa de escribir \(\pi\) es

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Para cualquier conjunto \(S\text{,}\) una función biyectiva \(\pi : S \rightarrow S\) se llama permutación de \(S\text{.}\)

Demostraremos (1) y (3). La parte (2) se deja como ejercicio. La parte (4) es consecuencia directa de (2) y (3).

(1) Debemos mostrar que

\begin{equation*} h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f. \end{equation*}

Para \(a \in A\) tenemos

\begin{align*} (h \circ (g \circ f))(a) & = h((g \circ f)(a))\\ & = h(g(f(a))) \\ & = (h \circ g)(f(a))\\ & = ((h \circ g) \circ f)(a). \end{align*}

(3) Supongamos que \(f\) y \(g\) son ambas sobreyectivas. Dado \(c \in C\text{,}\) debemos mostrar que existe \(a \in A\) tall que \((g \circ f)(a) = g(f(a)) = c\text{.}\) Pero, como \(g\) es sobre, existe \(b \in B\) tal que \(g(b) = c\text{.}\) Similarmente, existe \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\text{.}\) Por ende,

\begin{equation*} (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. \end{equation*}

Si \(S\) es cualquier conjunto, usaremos \(id_S\) o \(id\) para denotar a la función identidad de \(S\) en sí mismo. Definimos esta función como \(id(s) = s\) para todo \(s \in S\text{.}\) Una función \(g: B \rightarrow A\) es una función inversa de \(f: A \rightarrow B\) si \(g \circ f = id_A\) y \(f \circ g = id_B\text{;}\) en otras palabras, la función inversa de una función simplemente “deshace” lo que hace la función. Una función se dice invertible si tiene una inversa. Usualmente escribimos \(f^{-1}\) para la inversa de \(f\text{.}\)

La función \(f(x) = x^3\) tiene inversa \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}\) por el Ejemplo 1.2.12.

El logaritmo natural y la función exponencial, \(f(x) = \ln x\) y \(f^{-1}(x) = e^x\text{,}\) son inversas, la una de la otra, con tal de que seamos cuidadosos en la elección de los dominios. Observe que

\begin{equation*} f(f^{-1}(x)) = f(e^x) = \ln e^x = x \end{equation*}

y

\begin{equation*} f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(\ln x) = e^{\ln x} = x \end{equation*}

siempre que la composición tenga sentido.

Supongamos que

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Entonces \(A\) define una función de \({\mathbb R}^2\) en \({\mathbb R}^2\) como

\begin{equation*} T_A (x,y) = (3x + y, 5x + 2y). \end{equation*}

Podemos encontrar la función inversa de \(T_A\) simplemente invirtiendo la matriz \(A\text{;}\) es decir, \(T_A^{-1} = T_{A^{-1}}\text{.}\) En este ejemplo,

\begin{equation*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}; \end{equation*}

luego, la función inversa está dada por

\begin{equation*} T_A^{-1} (x,y) = (2x - y, -5x + 3y). \end{equation*}

Es fácil verificar que

\begin{equation*} T^{-1}_A \circ T_A (x,y) = T_A \circ T_A^{-1} (x,y) = (x,y). \end{equation*}

No toda función tiene inversa. Si consideramos la función

\begin{equation*} T_B (x,y) = (3x , 0 ) \end{equation*}

dada por la matriz

\begin{equation*} B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

una función inversa tendría que ser de la forma

\begin{equation*} T_B^{-1} (x,y) = (ax + by, cx +dy) \end{equation*}

y

\begin{equation*} (x,y) = T \circ T_B^{-1} (x,y) = (3ax + 3by, 0) \end{equation*}

para todo \(x\) e \(y\text{.}\) Claramente esto es imposible pues \(y\) podría no ser 0.

Dada la permutación

\begin{equation*} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

en \(S = \{ 1,2,3 \}\text{,}\) es fácil ver que la permutación definida por

\begin{equation*} \pi^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

es la inversa de \(\pi\text{.}\) De hecho, toda función biyectiva posee una inversa, como veremos en el próximo teorema.

Supongamos primero que \(f:A \rightarrow B\) es invertible con inversa \(g: B \rightarrow A\text{.}\) Entonces \(g \circ f = id_A\) es la función identidad; es decir, \(g(f(a)) = a\text{.}\) Si \(a_1, a_2 \in A\) con \(f(a_1) = f(a_2)\text{,}\) entonces \(a_1 = g(f(a_1)) = g(f(a_2)) = a_2\text{.}\) Así, \(f\) es 1-1. Ahora supongamos que \(b \in B\text{.}\) Para mostrar que \(f\) es sobre, es necesario encontrar \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\text{,}\) pero \(f(g(b)) = b\) con \(g(b) \in A\text{.}\) Sea \(a = g(b)\text{.}\)

Recíprocamente, sea \(f\) una función biyectiva y sea \(b \in B\text{.}\) Como \(f\) es sobre, existe \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\text{.}\) Como \(f\) es 1-1, \(a\) es único. Defina \(g\) como \(g(b) = a\text{.}\) Hemos construído la inversa de \(f\text{.}\)

Subsección 1.2.3 Relaciones de Equivalencia y Particiones

Una noción fundamental en matemáticas es la de igualdad. Podemos generalizar la igualdad por medio de las relaciones de equivalencia y las clases de equivalencia. Una relación de equivalencia en un conjunto \(X\) es una relación \(R \subset X \times X\) tal que

  • \((x, x) \in R\) para todo \(x \in X\) (propiedad refleja);

  • \((x, y) \in R\) implica \((y, x) \in R\) (propiedad simétrica);

  • \((x, y)\) y \((y, z) \in R\) implica \((x, z) \in R\) (propiedad transitiva).

Dada una relación de equivalencia \(R\) en un conjunto \(X\text{,}\) usualmente escribiremos \(x \sim y\) en lugar de \((x, y) \in R\text{.}\) Si la relación de equivalencia ya tiene asociada una notación como \(=\text{,}\) \(\equiv\text{,}\) o \(\cong\text{,}\) usaremos esa notación.

Sean \(p\text{,}\) \(q\text{,}\) \(r\text{,}\) y \(s\) enteros, con \(q\) y \(s\) distintos de cero. Definimos \(p/q \sim r/s\) si \(ps = qr\text{.}\) Claramente \(\sim\) es refleja y simétrica. Para mostrar que también es transitiva, supongamos que \(p/q \sim r/s\) y \(r/s \sim t/u\text{,}\) con \(q\text{,}\) \(s\text{,}\) y \(u\) todos distintos de cero. Entonces \(ps = qr\) y \(ru = st\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} psu = qru = qst. \end{equation*}

Como \(s \neq 0\text{,}\) \(pu = qt\text{.}\) Así, \(p/q \sim t/u\text{.}\)

Supongamos que \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables en \({\mathbb R}\text{.}\) Podemos definir una relación de equivalencia en el conjunto de tales funciones definiendo \(f(x) \sim g(x)\) si \(f'(x) = g'(x)\text{.}\) Es claro que esta relación es refleja y simétrica. Para demostrar la transitividad, supongamos que \(f(x) \sim g(x)\) y \(g(x) \sim h(x)\text{.}\) De cálculo sabemos que \(f(x) - g(x) = c_1\) y \(g(x)- h(x) = c_2\text{,}\) donde \(c_1\) y \(c_2\) son ambos constantes. Luego,

\begin{equation*} f(x) - h(x) = ( f(x) - g(x)) + ( g(x)- h(x)) = c_1 - c_2 \end{equation*}

y \(f'(x) - h'(x) = 0\text{.}\) Por lo tanto, \(f(x) \sim h(x)\text{.}\)

Para \((x_1, y_1 )\) y \((x_2, y_2)\) en \({\mathbb R}^2\text{,}\) definamos \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Entonces \(\sim\) es una relación de equivalencia en \({\mathbb R}^2\text{.}\)

Sean \(A\) y \(B\) matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes reales. Podemos definir una relación de equivalencia en el conjunto de la matrices de \(2 \times 2\text{,}\) diciendo que \(A \sim B\) si existe una matriz invertible \(P\) tal que \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Por ejemplo, si

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -18 & 33 \\ -11 & 20 \end{pmatrix}, \end{equation*}

entonces \(A \sim B\) pues \(PAP^{-1} = B\) para

\begin{equation*} P = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Sea \(I\) la matriz identidad de \(2 \times 2\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Entonces \(IAI^{-1} = IAI = A\text{;}\) por lo tanto, la relación es refleja. Para demostrar simetría, supongamos que \(A \sim B\text{.}\) Entonces existe una matriz invertible \(P\) tal que \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Así

\begin{equation*} A = P^{-1} B P = P^{-1} B (P^{-1})^{-1}. \end{equation*}

Finalmente, supongamos que \(A \sim B\) y \(B \sim C\text{.}\) Entonces existen matrices \(P\) y \(Q\) tales que \(PAP^{-1} = B\) y \(QBQ^{-1} = C\text{.}\) Como

\begin{equation*} C = QBQ^{-1} = QPAP^{-1} Q^{-1} = (QP)A(QP)^{-1}, \end{equation*}

la relación es transitiva. Dos matrices equivalente de esta forma se dicen similares.

Una partición \({\mathcal P}\) de un conjunto \(X\) es una colección de conjuntos no vacíos \(X_1, X_2, \ldots\) tales que \(X_i \cap X_j = \emptyset\) para \(i \neq j\) y \(\bigcup_k X_k = X\text{.}\) Sea \(\sim\) una relación de equivalencia en un conjunto \(X\) y sea \(x \in X\text{.}\) Entonces \([x] = \{ y \in X : y \sim x \}\) se llama clase de equivalencia de \(x\text{.}\) Veremos que una relación de equivalencia da lugar a una partición vía clases de equivalencia. Además, si tenemos una partición de un conjunto, entonces existe una relación de equivalencia subyacente, como demuestra el teorema siguiente.

Supongamos que existe una relación de equivalencia \(\sim\) en el conjunto \(X\text{.}\) Para cualquier \(x \in X\text{,}\) la propiedad refleja muestra que \(x \in [x]\) de manera que \([x]\) no es vacío. Claramente \(X = \bigcup_{x \in X} [x]\text{.}\) Sean \(x, y \in X\text{.}\) Debemos probar que ya sea \([x] = [y]\) o \([x] \cap [y] = \emptyset\text{.}\) Supongamos que la intersección de \([x]\) y \([y]\) no es vacía y que \(z \in [x] \cap [y]\text{.}\) Entonces \(z \sim x\) y \(z \sim y\text{.}\) Por simetría o por transitividad \(x \sim y\text{;}\) luego, \([x] \subset [y]\text{.}\) Similarmente, \([y] \subset [x]\) y así \([x] = [y]\text{.}\) Por lo tanto, dos clases de equivalencia pueden ser disjuntas o exactamente la misma.

Recíprocamente, supongamos que \({\mathcal P} = \{X_i\}\) es una partición de un conjunto \(X\text{.}\) Definamos que dos elementos son equivalentes si y solo si están en el mismo conjunto de la partición. Claramente, la relación es refleja. Si \(x\) está en el mismo conjunto que \(y\text{,}\) entonces \(y\) está en el mismo conjunto que \(x\text{,}\) así \(x \sim y\) implica \(y \sim x\text{.}\) Finalmente, si \(x\) está en el mismo conjunto que \(y\) e \(y\) está en el mismo conjunto que \(z\text{,}\) entonces \(x\) debe estar en el mismo conjunto que \(z\text{,}\) por lo que tenemos transitividad.

Examinemos algunas de las particiones dadas por las clases de equivalencia de los últimos ejemplos.

En la relación de equivalencia del Ejemplo 1.2.21, dos pares de enteros, \((p,q)\) y \((r,s)\text{,}\) están en la misma clase de equivalencia cuando se reducen a la misma fracción reducida.

En la relación de equivalencia en el Ejemplo 1.2.22, dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) están en la misma clase cuando difieren por una constante.

Hemos definido una clase de equivalencia en \({\mathbb R}^2\) por \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Dos pares de números reales están en la misma clase cuando representan puntos en una misma circunferencia centrada en el origen.

Sean \(r\) y \(s\) dos enteros y supongamos que \(n \in {\mathbb N}\text{.}\) Diremos que \(r\) es congruente a \(s\) módulo \(n\text{,}\) o \(r\) es congruente a \(s\) mód \(n\text{,}\) si \(r - s\) es divisible por \(n\text{;}\) es decir, \(r - s = nk\) para algún \(k \in {\mathbb Z}\text{.}\) En este caso escribimos \(r \equiv s \pmod{n}\text{.}\) Por ejemplo, \(41 \equiv 17 \pmod{ 8}\) pues \(41 - 17=24\) es divisible por 8. Afirmamos que congruencia módulo \(n\) es una relación de equivalencia en \({\mathbb Z}\text{.}\) Ciertamente cualquier entero \(r\) es equivalente a sí mismo pues \(r - r = 0\) es divisible por \(n\text{.}\) Mostraremos ahora que la relación es simétrica. Si \(r \equiv s \pmod{ n}\text{,}\) entonces \(r - s = -(s -r)\) es divisible por \(n\text{.}\) Así \(s - r\) es divisible por \(n\) y \(s \equiv r \pmod{ n}\text{.}\) Ahora supongamos que \(r \equiv s \pmod{ n}\) y \(s \equiv t \pmod{ n}\text{.}\) Entonces existen enteros \(k\) y \(l\) tales que \(r -s = kn\) y \(s - t = ln\text{.}\) Para mostrar la transitividad, es necesario probar que \(r - t\) es divisible por \(n\text{.}\) Pero,

\begin{equation*} r - t = r - s + s - t = kn + ln = (k + l)n, \end{equation*}

y así \(r - t\) es divisible por \(n\text{.}\)

Si consideramos la relación de equivalencia establecida por los enteros módulo 3, entonces

\begin{align*} {[0]} & = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \},\\ {[1]} & = \{ \ldots, -2, 1, 4, 7, \ldots \},\\ {[2]} & = \{ \ldots, -1, 2, 5, 8, \ldots \}. \end{align*}

Note que \([0] \cup [1] \cup [2] = {\mathbb Z}\) y también que los conjuntos son disjuntos. Los conjuntos \([0]\text{,}\) \([1]\text{,}\) y \([2]\) forman una partición de los enteros.

Los enteros módulo \(n\) son ejemplos importantes en el estudio del álgebra abstracta y serán muy útiles en el estudio de diversas estructuras algebraicas tales como grupos y anillos. En nuestra discusión de los enteros módulo \(n\) hemos asumido un resultado conocido como algoritmo de división, que será enunciado y demostrado en el Capítulo 2.