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Sección 16.3 Homomorfismos de Anillos e Ideales

En el estudio de grupos, un homomorfismoes una función que preserva la operación del grupo. Similarmente, un homomorfismo entre anillos preserva las operaciones de adición y multiplicación en el anillo. Más específicamente, si \(R\) y \(S\) son anillos, entonces un homomorfismo de anillos es una función \(\phi : R \rightarrow S\) que satisface

\begin{align*} \phi( a + b ) & = \phi( a ) + \phi(b)\\ \phi( a b ) & = \phi( a ) \phi(b) \end{align*}

para todo \(a, b \in R\text{.}\) Si \(\phi : R \rightarrow S\) es biyectiva, entonces \(\phi\) se llama isomorfismo de anillos.

El conjunto de los elementos que un homomorfismo de anillo envía en \(0\) juega un papel fundamental en la teoría de anillos. Para cualquier homomorfismo \(\phi : R \rightarrow S\text{,}\) definimos el núcleo de un homomorfismo de anillos como el conjunto

\begin{equation*} \ker \phi = \{ r \in R : \phi( r ) = 0 \}. \end{equation*}

Para cualquier entero \(n\) podemos definir un homomorfismo de anillos \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}_n\) como \(a \mapsto a \pmod{n}\text{.}\) En efecto es un homomorfismo de anillos, pues

\begin{align*} \phi( a + b ) & = (a + b) \pmod{n}\\ & = a \pmod{n} + b \pmod{n}\\ & = \phi( a ) + \phi(b) \end{align*}

y

\begin{align*} \phi( a b ) & = ab \pmod{n}\\ & = a \pmod{n}\cdot b \pmod{n}\\ & = \phi( a ) \phi(b). \end{align*}

El núcleo del homomorfismo \(\phi\) es \(n {\mathbb Z}\text{.}\)

Sea \(C[a, b]\) el anillo de funciones reales continuas definidas en un intervalo \([a,b]\) como en el Ejemplo 16.1.5. Para un \(\alpha \in [a, b]\) fijo, podemos definir un homomorfismo de anillos \(\phi_{\alpha} : C[a, b] \rightarrow {\mathbb R}\) como \(\phi_{\alpha} (f ) = f( \alpha)\text{.}\) Este es un homomorfismo de anillos pues

\begin{gather*} \phi_{\alpha}( f + g ) = (f + g)( \alpha) = f(\alpha) + g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) + \phi_{\alpha}(g )\\ \phi_{\alpha}( f g ) = (f g)( \alpha) = f(\alpha) g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) \phi_{\alpha}(g ). \end{gather*}

Homomorfismos de anillos del tipo \(\phi_{\alpha}\) se llaman isomorfismos de evaluación.

En la siguiente proposición examinaremos algunas propiedades fundamentales de los homomorfismos de anillos. La demostración de la proposición la dejamos como ejercicio.

En teoría de grupos vimos que los subgrupos normales tienen un rol especial. Estos subgrupos tienen buenas características que los hacen más interesantes de estudiar que los subgrupos arbitrarios. En teoría de anillos los objetos que corresponden a los subgrupos normales son una clase especial de subanillos llamados ideales. Un ideal en un anillo \(R\) es un subanillo \(I\) de \(R\) tal que si \(a\) está en \(I\) y \(r\) está en \(R\text{,}\) entonces tanto \(ar\) como \(ra\) están en \(I\text{;}\) es decir, \(rI \subset I\) y \(Ir \subset I\) para todo \(r \in R\text{.}\)

Todo anillo \(R\) tiene al menos dos ideales, \(\{ 0 \}\) y \(R\text{.}\) Estos ideales se llaman ideales triviales.

Sea \(R\) un anillo con identidad y supongamos que \(I\) es un ideal en \(R\) tal que \(1\) está en \(I\text{.}\) Como para cualquier \(r \in R\text{,}\) \(r1 = r \in I\) por la definición de ideal, \(I = R\text{.}\)

Si \(a\) es cualquier elemento en un anillo conmutativo \(R\) con identidad, entonces el conjunto

\begin{equation*} \langle a \rangle = \{ ar : r \in R \} \end{equation*}

es un ideal en \(R\text{.}\) De hecho, \(\langle a \rangle\) es no vacío pues tanto \(0 = a0\) como \(a = a1\) están en \(\langle a \rangle\text{.}\) La suma de dos elementos en \(\langle a \rangle\) está nuevamente en \(\langle a \rangle\) pues \(ar + ar' = a(r + r')\text{.}\) El inverso aditivo de \(ar\) es \(-ar = a (-r) \in \langle a \rangle\text{.}\) Finalmente, si multiplicamos un elemento \(ar \in \langle a \rangle\) por un elemento arbitrario \(s \in R\text{,}\) tenemos \(s(ar) = a(sr)\text{.}\) Por lo tanto, \(\langle a \rangle\) satisface la definición de un ideal.

Si \(R\) es un anillo conmutativo con identidad, entonces un ideal de la forma \(\langle a \rangle = \{ ar : r \in R \}\) se llama ideal principal.

El ideal cero \(\{ 0 \}\) es un ideal principal pues \(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\text{.}\) Si \(I\) es un ideal distinto de cero en \({\mathbb Z}\text{,}\) entonces \(I\) debe contener algún entero positivo \(m\text{.}\) Existe entonces un menor entero positivo \(n\) en \(I\) por el Principio del Buen Orden. Sea ahora \(a\) un elemento en \(I\text{.}\) Usando el algoritmo de división, sabemos que existee enteros \(q\) y \(r\) tales que

\begin{equation*} a = nq + r \end{equation*}

donde \(0 \leq r \lt n\text{.}\) Esta ecuación nos dice que \(r = a - nq \in I\text{,}\) pero \(r\) debe ser \(0\) pues \(n\) es el menor entero positivo en \(I\text{.}\) Por lo tanto, \(a = nq\) e \(I = \langle n \rangle\text{.}\)

El conjunto \(n {\mathbb Z}\) es un ideal en el anillo de los enteros. Si \(na\) está en \(n{\mathbb Z}\) y \(b\) está en \({\mathbb Z}\text{,}\) entonces \(nab\) está en \(n {\mathbb Z}\) como se pedía. De hecho, por el Teorema 16.3.6, estos son los únicos ideales de \({\mathbb Z}\text{.}\)

Sabemos de teoría de grupos que \(\ker \phi\) es un subgrupo aditivo de \(R\text{.}\) Supongamos que \(r \in R\) y \(a \in \ker \phi\text{.}\) Entonces debemos demostrar que \(ar\) y \(ra\) están en \(\ker \phi\text{.}\) Pero,

\begin{equation*} \phi(ar) = \phi(a) \phi(r) = 0 \phi(r) = 0 \end{equation*}

y

\begin{equation*} \phi(ra) = \phi(r) \phi(a) = \phi(r)0 = 0. \end{equation*}
Nota 16.3.9.

En nuestra definición de ideal hemos pedido que \(rI \subset I\) y \(Ir \subset I\) para todo \(r \in R\text{.}\) Tales ideales a veces son denominados ideales biláteros. Podemos también considerar ideales por un lado; es decir, debemos pedir que se cumpla \(rI \subset I\) o \(Ir \subset I\) para todo \(r \in R\) pero no ambos. Tales ideales se llaman ideales izquierdos e ideales derechos, respectivamente. Por supuesto que en un anillos conmutativo todo ideal es bilátero. En este texto nos concentraremos en los ideales biláteros.

Ya sabemos que \(R/I\) es un grupo abeliano con la adición. Sean \(r+I\) y \(s +I\) en \(R/I\text{.}\) Debemos mostrar que el producto \((r + I)(s + I) = rs + I\) es independiente de la elección de representantes de las clases laterales; es decir, si \(r' \in r+I\) y \(s' \in s+I\text{,}\) entonces \(r's'\) debe estar en \(rs+I\text{.}\) Como \(r' \in r+I\text{,}\) debe existir un elemento \(a\) en \(I\) tal que \(r' = r + a\text{.}\) Similarmente, existe \(b \in I\) tal que \(s' = s + b\text{.}\) Note que

\begin{equation*} r' s' = (r+a)(s+b) = rs + as + rb + ab \end{equation*}

y \(as + rb + ab \in I\) pues \(I\) es un ideal; por lo tanto, \(r' s' \in rs + I\text{.}\) Dejaremos como ejercicio la verificación de la asociatividad del producto y de las reglas de distributividad.

El anillo \(R/I\) en el Teorema 16.3.10 se llama anillo cociente. Así como con los homomorfismos de grupos y los subgrupos normales, hay una relación entre los homomorfismos de anillos y los ideales.

En efecto, \(\phi : R \rightarrow R/I\) es un homomorfismo epiyectivo de grupo abelianos. Falta demostrar que \(\phi\) funciona correctamente con la multiplicación en el anillo. Sean \(r\) y \(s\) en \(R\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \phi(r) \phi(s) = (r + I)(s+I) = rs + I = \phi(rs), \end{equation*}

lo que completa la demostración del teorema.

La función \(\phi : R \rightarrow R/I\) se llama homomorfismo natural o canónico. En teoría de anillo tenemos teoremas de isomorfía relacionando los ideales y los homomorfismos de anillos similares a los teoremas de isomorfía de grupos que relacionan subgrupos normales y homomorfismos en el Capítulo 11. Demostraremos solo el Primer Teorema de Isomorfía para anillos en este capítulo y dejaremos las demostraciones de los otros dos como ejericios. Todas las demostraciones son similares a las demostraciones de los teoremas de isomorfía para grupos.

Sea \(K = \ker \psi\text{.}\) Por el Primer Teorema de Isomorfía para grupos, existe un homomorfismo de grupos bien definido \(\eta: R/K \rightarrow \psi(R)\) definido por \(\eta(r + K) = \psi(r)\) para los grupos abelianos aditivos \(R\) y \(R/K\text{.}\) Para mostrar que este es un homomorfismo de anillos, solo debemos mostrar que \(\eta( (r + K)(s + K) ) = \eta(r + K) \eta( s + K)\text{;}\) pero

\begin{align*} \eta( (r + K)( s +K )) & = \eta(r s +K )\\ & = \psi(r s)\\ & = \psi(r) \psi(s)\\ & = \eta( r + K ) \eta( s + K ). \end{align*}