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Sección 17.1 Anillos de Polinomios

En todo este capítulo supondremos que \(R\) es un anillo conmutativo con uno. Una expresión de la forma

\begin{equation*} f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n, \end{equation*}

donde \(a_i \in R\) y \(a_n \neq 0\text{,}\) se llama polinomio sobre \(R\) con indeterminada \(x\text{.}\) Los elementos \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) se llaman coeficientes de \(f\text{.}\) El coeficiente \(a_n\) se llama coeficiente líder. Un polinomio se llama mónico si su coeficiente líder es 1. Si \(n\) es el mayor entero no negativo para el que \(a_n \neq 0\text{,}\) decimos que el grado de \(f\) es \(n\) y escribimos \(\deg f(x) = n\text{.}\) Si no existe tal \(n\)—es decir, si \(f=0\) es el polinomio cero—entonces el grado de \(f\) se define como \(-\infty\text{.}\) Denotaremos por \(R[x]\) al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un anillo \(R\text{.}\) Dos polinomios son iguales exactamente cuando sus coeficientes correspondientes son iguales; es decir, si

\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m, \end{align*}

entonces \(p(x) = q(x)\) si y solo si \(a_i = b_i\) para todo \(i \geq 0\text{.}\)

Para mostrar que el conjunto de todos los polinomios forma un anillo, debemos primero definir adición y multiplicación. Definimos la suma de dos polinomios como sigue. Sean

\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m. \end{align*}

Entonces la suma de \(p(x)\) y \(q(x)\) es

\begin{equation*} p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k, \end{equation*}

donde \(c_i = a_i + b_i\) para cada \(i\text{.}\) Definimos el producto de \(p(x)\) y \(q(x)\) como

\begin{equation*} p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}, \end{equation*}

donde

\begin{equation*} c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \end{equation*}

para cada \(i\text{.}\) Notemos que en cada caso algunos de los coeficientes pueden ser cero.

Supongamos que

\begin{equation*} p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \end{equation*}

y

\begin{equation*} q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \end{equation*}

son polinomios en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Si el coeficiente de algún término en un polinomio es cero, entonces simplemente omitiremos ese término. En este caso escribiremos \(p(x) = 3 + 2 x^3\) y \(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) La suma de estos dos polinomios es

\begin{equation*} p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4. \end{equation*}

El producto,

\begin{equation*} p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7, \end{equation*}

puede ser calculado ya sea determinando los \(c_i\) en la definición o simplemente multiplicando los polinomios de la misma forma en que lo hemos hecho siempre.

Sean

\begin{equation*} p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{y} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \end{equation*}

polinomios en \({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\) La suma de \(p(x)\) y \(q(x)\) es \(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) El producto de los dos polinomios es el polinomio cero. Este ejemplo nos muestra que no podemos esperar que \(R[x]\) sea un dominio integral si \(R\) no es un dominio integral.

Nuestra primera tarea es mostrar que \(R[x]\) es un grupo abeliano con la operación de suma de polinomios. El polinomio cero, \(f(x) = 0\text{,}\) es el neutro aditivo. Dado un polinomio \(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) el inverso aditivo de \(p(x)\) es \(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) La conmutatividad y la asociatividad son consecuencia inmediata de la definición de la suma de polinomios y del hecho que la adición en \(R\) es tanto conmutativa como asociativa.

Para mostrar que la multiplicación de polinomios es asociativa, sean

\begin{align*} p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\ q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\ r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i. \end{align*}

Entonces

\begin{align*} [p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\ & = p(x) [ q(x) r(x) ] \end{align*}

La conmutatividad y la distributividad se demuestran de forma similar. Dejaremos estas demostraciones como ejercicios.

Supongamos que tenemos dos polinomios distintos de cero

\begin{equation*} p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}

y

\begin{equation*} q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \end{equation*}

con \(a_m \neq 0\) y \(b_n \neq 0\text{.}\) Los grados de \(p(x)\) y \(q(x)\) son \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente. El término líder de \(p(x) q(x)\) es \(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) que no puede ser cero pues \(R\) es un dominio integral; Vemos que el grado de \(p(x) q(x)\) es \(m + n\text{,}\) y \(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Como \(p(x) \neq 0\) y \(q(x) \neq 0\) implica que \(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) concluimos que \(R[x]\) también es un dominio integral.

También queremos considerar polinomios en dos o más variables, tales como \(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\) Sea \(R\) un anillo y supongamos que tenemos dos variables \(x\) e \(y\text{.}\) Ciertamente podemos formar el anillo \((R[x])[y]\text{.}\) Es directo, aunque quizás tedioso, demostrar que \((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) Identificaremos estos dos anillos por medio de este isomorfismo y simplemente escribiremos \(R[x,y]\text{.}\) El anillo \(R[x, y]\) se llama anillo de polinomios en dos variables \(x\) e \(y\) con coeficientes en \(R\text{.}\) Podemos definir similarmente el anillo de polinomios en \(n\) variables con coeficientes en \(R\text{.}\) Denotaremos este anillo por \(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)

Sean \(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) y \(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Es fácil mostrar que \(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Para mostrar que la multiplicación es preservada por la función \(\phi_{\alpha}\text{,}\) observemos que

\begin{align*} \phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\ & = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\ & = \phi_{\alpha} (p(x) q(x)). \end{align*}

La función \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) se llama homomorfismo de evaluación en \(\alpha\text{.}\)