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Sección 1.1 Una Breve Nota sobre Demostraciones

La matemática abstracta es diferente de otras ciencias. En las ciencias de laboratorio como química y física, los científicos hacen experimentos para descubrir nuevos principios y verificar teorías. Si bien las matemáticas están frecuentemente motivadas por experimentos físicos o simulaciones computacionales, se hacen rigurosas mediante el uso de argumentos lógicos. Al estudiar matemáticas abstractas, usamos lo que se llama el método axiomático; es decir, tomamos una colección de objetos \(\mathcal S\) y suponemos ciertas reglas sobre su estructura. Estas reglas se llaman axiomas. Usando los axiomas para \(\mathcal S\text{,}\) queremos deducir otra información sobre \(\mathcal S\) usando argumentos lógicos. Requerimos que nuestros axiomas sean consistentes; es decir, no debiesen contradecirse entre ellos. También exigimos que no haya demasiados axiomas. Si un sistema de axiomas es demasiado restrictivo, habrá muy pocos ejemplos de la estructura matemática.

Un enunciado en lógica o matemáticas es una afirmación o frase, en lenguaje natural o usando simbología matemática, que es verdadera o falsa. Considere los siguientes ejemplos:

  • \(3 + 56 - 13 + 8/2 \text{.}\)

  • Todos los gatos son negros.

  • \(2 + 3 = 5\text{.}\)

  • \(2x = 6\) si y solo si \(x = 4\text{.}\)

  • Si \(ax^2 + bx + c = 0\) y \(a \neq 0\text{,}\) entonces

    \begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}
  • \(x^3 - 4x^2 + 5 x - 6\text{.}\)

Todos salvo el primero y el último son enunciados, y deben ser verdaderos o falsos.

Una demostración matemática no es más ni menos que un argumento convincente de la veracidad de un enunciado. Un tal argumento debiese contener suficiente detalle para convencer a la audiencia; por ejemplo podemos ver que el enunciado “\(2x = 6\) si y solo si \(x = 4\)” es falso evaluando \(2 \cdot 4\) y notando que \(6 \neq 8\text{,}\) un argumento que satisfacerá a cualquiera. Por supuesto, las audiencias son muy diversas: demostraciones pueden estar dirigidas a otro estudiante, a un profesor, o al lector de un escrito. Si se presenta más detalle del necesario en una demostración, ésta puede ser muy larga o incluso confusa. Si se omiten demasiados detalles, el argumento puede no ser convincente. Es importante tener en cuenta la audiencia al escribir la demostración. Estudiantes de secundaria requerirán mucho más detalles que estudiantes de post-grado. Una buena regla de oro en un curso introductorio de álgebra abstracta es que la demostración debiese ser escrita pensando en los compañeros de uno, sean estos otros estudiantes o sean lectores del texto.

Examinemos distintos tipos de enunciados. Un enunciado puede ser tan simple como “\(10/5 = 2\text{;}\)” pero, los matemáticos usualmente están interesados en enunciados más complejas tales como “Si \(p\text{,}\) entonces \(q\text{,}\)” donde \(p\) y \(q\) son a su vez enunciados. Si cierto enunciado es conocido o suponemos que es cierto, queremos saber lo que podemos decir sobre otros enunciados. Acá \(p\) se llama hipótesis y \(q\) se conoce como conclusión. Considere el siguiente enunciado: Si \(ax^2 + bx + c = 0\) y \(a \neq 0\text{,}\) entonces

\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}

La hipótesis es que \(ax^2 + bx + c = 0\) y \(a \neq 0\text{;}\) la conclusión es

\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}

Note que el enunciado no dice nada sobre si la hipótesis es verdadera o no. Pero, si el enunciado completo es verdadero y podemos mostrar que \(ax^2 + bx + c = 0\) con \(a \neq 0\) es verdadero, entonces la conclusión debe ser verdadera. Una demostración de este enunciado puede ser simplemente una serie de ecuaciones:

\begin{align*} ax^2 + bx + c & = 0\\ x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a}\\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 & = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}\\ \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 & = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\\ x + \frac{b}{2a} & = \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac}}{2a}\\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{align*}

Si podemos demostrar la veracidad del enunciado, entonces el enunciado se llama proposición. Una proposición de mayor importancia se llama Teorema. A veces, en lugar de demostrar un teorema o proposición de una sola vez, descomponemos la demostración en módulos; es decir, demostramos varias proposiciones auxiliares, que se llaman Lemas, y usamos los resultados de estas proposiciones para demostrar el resultado principal. Si podemos demostrar una proposición o teorema, frecuentemente podremos obtener resultados relacionados con muy poco esfuerzo adicional, estos se llaman Corolarios.

Subsección 1.1.1 Algunas Advertencias y Sugerencias

Existen diversas estrategias para demostrar proposiciones. Además de usar diferentes métodos de demostración, los estudiantes suelen cometer errores comunes cuando recién comienzan a demostrar teoremas. Para ayudar a los estudiantes primerizos de matemáticas abstractas, listamos acá algunas de las dificultades que pueden encontrar y algunas de las estrategias a su disposición. Es una buena idea volver a mirar esta lista como recordatorio. (Otras técnicas de demostración aparecerán a lo largo de este capítulo y en el resto del texto.)

  • Un teorema no puede ser demostrado con un ejemplo; pero, el método estándar para demostrar que una proposición no es verdadera, es dar un contraejemplo.

  • Los cuantificadores son importantes. Palabras y frases como único, para todos, para cada, y para algún tienen significados diferentes.

  • Nunca suponga una hipótesis que no se da explícitamente en un teorema. No puede dar cosas por sabidas.

  • Supongamos que quiere mostrar que un objeto existe y es único. Primero muestre que el objeto realmente existe. Para demostrar que es único, supongamos que hay dos tales objetos, digamos \(r\) y \(s\text{,}\) y después demuestre que \(r = s\text{.}\)

  • A veces es más fácil demostrar el contrapositivo de una proposición. Demostrar la proposición “Si \(p\text{,}\) entonces \(q\)” es exactamente lo mismo que demostrar la proposición “Si no \(q\text{,}\) entonces no \(p\text{.}\)”

  • Si bien usualmente es mejor encontrar una demostración directa de un teorema, esto puede ser difícil. Podría ser más fácil suponer que el teorema que está tratando de demostrar es falso, y esperar que a lo largo de su argumento se vea obligado a deducir un enunciado que no pueda ser verdadero.

Recuerde que uno de los objetivos principales de las matemáticas superiores es demostrar teoremas. Los teoremas son herramientas que permiten nuevas y productivas aplicaciones de las matemáticas. Usamos ejemplos para ilustrar teoremas existentes y para incentivar el desarrollo de la intuición sobre la razón de la posible veracidad de nuevos teoremas. Aplicaciones, ejemplos y demostraciones están fuertemente interconectados—mucho más de lo que puede parecer en primera instancia.