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Sección 4.2 Grupo multiplicativo de los números complejos

Los números complejos están definidos como

\begin{equation*} {\mathbb C} = \{ a + bi : a, b \in {\mathbb R} \}, \end{equation*}

con \(i^2 = -1\text{.}\) Si \(z = a + bi\text{,}\) entonces \(a\) es la parte real de \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\text{.}\)

Para sumar dos números complejos \(z=a+bi\) y \(w= c+di\text{,}\) debemos simplemente sumar las partes reales y las imaginarias respectivamente:

\begin{equation*} z + w=(a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. \end{equation*}

Recordando que \(i^2 = -1\text{,}\) podemos multiplicar los números complejos como si fueran polinomios. El producto de \(z\) y \(w\) es

\begin{equation*} (a + bi )(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = (ac -bd) +(ad + bc)i. \end{equation*}

Todo número complejo no nulo \(z = a +bi\) tiene un inverso multiplicativo; es decir, existe un \(z^{-1} \in {\mathbb C}^\ast\) tal que \(z z^{-1} = z^{-1} z = 1\text{.}\) Si \(z = a + bi\text{,}\) entonces

\begin{equation*} z^{-1} = \frac{a-bi}{ a^2 + b^2 }. \end{equation*}

El conjugado de un número complejo \(z = a + bi\) se define como \(\overline{z} = a- bi\text{.}\) El valor absoluto o módulo de \(z = a + bi\) es \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}\)

Sean \(z = 2 + 3i\) y \(w = 1-2i\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} z + w = (2 + 3i) + (1 - 2i) = 3 + i \end{equation*}

y

\begin{equation*} z w = (2 + 3i)(1 - 2i ) = 8 - i. \end{equation*}

Además,

\begin{align*} z^{-1} & = \frac{2}{13} - \frac{3}{13}i\\ |z| & = \sqrt{13}\\ \overline{z} & = 2-3i. \end{align*}
Figura 4.2.2. Coordenadas cartesianas de un número complejo

Existen varias formas de representar gráficamente a los números complejos. Podemos representar un número complejo \(z = a +bi\) como un par ordenado en el plano \(xy\) donde \(a\) es la coordenada \(x\) (o real) y \(b\) es la coordenada \(y\) (o imaginaria). Esta se llama representación rectangular o cartesiana . Las representaciones cartesianas de \(z_1 = 2 + 3i\text{,}\) \(z_2 = 1 - 2i\text{,}\) y \(z_3 = - 3 + 2i\) se ilustran en la Figura 4.2.2.

Figura 4.2.3. Coordenadas polares de un número complejo

Número complejos no nulos se pueden representar también con sus coordenadas polares. Para especificar un punto no cero en el plano, basta con dar un ángulo \(\theta\) desde el eje \(x\) positivo en dirección antihoraria y una distancia \(r\) desde el origen, como en la Figura 4.2.3. Podemos ver que

\begin{equation*} z = a + bi = r( \cos \theta + i \sin \theta). \end{equation*}

Luego,

\begin{equation*} r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{equation*}

y

\begin{align*} a & = r \cos \theta\\ b & = r \sin \theta. \end{align*}

A veces abreviaremos \(r( \cos \theta + i \sin \theta)\) como \(r \cis \theta\text{.}\) Para garantizar que la representación de \(z\) esté bien definida, también pediremos que \(0^{\circ} \leq \theta \lt 360^{\circ}\text{.}\) Si la medida está en radianes, entonces \(0 \leq \theta \lt2 \pi\text{.}\)

Supongamos que \(z = 2 \cis 60^{\circ}\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} a = 2 \cos 60^{\circ} = 1 \end{equation*}

y

\begin{equation*} b = 2 \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}. \end{equation*}

Luego, la representación cartesiana es \(z = 1+\sqrt{3}\, i\text{.}\)

Recíprocamente, si nos entregan la representación cartesiana de un número complejo, puede ser útil conocer su representación polar. Si \(z = 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i\text{,}\) entonces

\begin{equation*} r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 } = 6 \end{equation*}

y

\begin{equation*} \theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) = \arctan( - 1) = 315^{\circ}, \end{equation*}

así \(3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i=6 \cis 315^{\circ}\text{.}\)

La representación polar de un número complejo facilita el cálculo de productos y potencias de números complejos. La demostración de la siguiente proposición es directa y la dejamos como ejercicio.

Si \(z = 3 \cis( \pi / 3 )\) y \(w = 2 \cis(\pi / 6 )\text{,}\) entonces \(zw = 6 \cis( \pi / 2 ) = 6i\text{.}\)

Procederemos por inducción en \(n\text{.}\) Para \(n = 1\) el teorema es trivial. Supongamos que el teorema es verdadero para todo \(k\) tal que \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Entonces

\begin{align*} z^{n+1} & = z^n z\\ & = r^n( \cos n \theta + i \sin n \theta ) r( \cos \theta + i\sin \theta )\\ & = r^{n+1} [( \cos n \theta \cos \theta - \sin n \theta \sin \theta ) + i ( \sin n \theta \cos \theta + \cos n \theta \sin \theta)]\\ & = r^{n+1} [ \cos( n \theta + \theta) + i \sin( n \theta + \theta) ]\\ & = r^{n+1} [ \cos( n +1) \theta + i \sin( n+1) \theta ]. \end{align*}

Supongamos que \(z= 1+i\) y queremos calcular \(z^{10}\text{.}\) En lugar de calcular \((1 + i)^{10}\) directamente, es mucho más fácil pasar a coordenadas polares y calcular \(z^{10}\) usando el Teorema de DeMoivre:

\begin{align*} z^{10} & = (1+i)^{10}\\ & = \left( \sqrt{2} \cis \left( \frac{\pi }{4} \right) \right)^{10}\\ & = ( \sqrt{2}\, )^{10} \cis \left( \frac{5\pi }{2} \right)\\ & = 32 \cis \left( \frac{\pi }{2} \right)\\ & = 32i. \end{align*}

Subsección 4.2.1 El grupo de la circunferencia y las raíces de la unidad

El grupo multiplicativo de los números complejos, \({\mathbb C}^*\text{,}\) posee algunos subgrupos interesantes. Mientras \({\mathbb Q}^*\) y \({\mathbb R}^*\) no tienen subgrupos interesantes de orden finito, \({\mathbb C}^*\) tiene muchos. Consideremos primero el grupo de la circunferencia,

\begin{equation*} {\mathbb T} = \{ z \in {\mathbb C} : |z| = 1 \}. \end{equation*}

La siguiente proposición es consecuencia directa de la Proposición 4.2.5.

Si bien el grupo de la circunferencia tiene orden infinito, tiene muchos subgrupos finitos interesantes. Supongamos que \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Entonces \(H\) es un subgrupo del grupo de la circunferencia. También, \(1\text{,}\) \(-1\text{,}\) \(i\text{,}\) y \(-i\) son precisamente los números complejos que satisfacen la ecuación \(z^4 = 1\text{.}\) Los números comlejos que satisfacen la ecuación \(z^n=1\) se llaman raíces \(n\)-ésimas de la unidad.

Por el Teorema de DeMoivre,

\begin{equation*} z^n = \cis \left( n \frac{2 k \pi}{n } \right) = \cis( 2 k \pi ) = 1. \end{equation*}

Las \(z\)'s son distintas entre sí pues los números \(2 k \pi /n\) son todos distintos y mayores o iguales a 0 pero menores que \(2 \pi\text{.}\) El hecho de que estas sean todas las raíces de la ecuación \(z^n=1\) es consecuencia del Corolario 17.2.4, que dice que un polinomio de grado \(n\) puede tener a lo más \(n\) raíces. Dejaremos al lector la demostración de que las raíces \(n\)-ésimas de uno forman un subgrupo cíclico de \({\mathbb T}\text{.}\)

Un generador para el grupo de las raíces \(n\)-ésimas de uno se llama raíz \(n\)-ésima primitiva de la unidad.

Las raíces octavas de la unidad se pueden representar como ocho puntos equidistantes en el círculo unitario (Figura 4.2.12). Las raíces octavas primitivas de la unidad son

\begin{align*} \omega & = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i\\ \omega^3 & = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i\\ \omega^5 & = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i\\ \omega^7 & = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i. \end{align*}
Figura 4.2.12. Raíces octavas de la unidad