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Sección 16.4 Ideales Maximales e Ideales Primos

En esta sección particular estamos especialmente interesados en ciertos ideales de anillos conmutativos. Estos ideales nos entregan anillos cociente especiales. Más específicamente, queremos caracterizar aquellos ideales \(I\) de un anillo conmutativo \(R\) tales que \(R/I\) es un dominio integral o un cuerpo.

Un ideal propio \(M\) de un anillo \(R\) es un ideal maximal de \(R\) es el ideal \(M\) no es subconjunto propio de ningún ideal de \(R\) excepto \(R\) mismo. Es decir, \(M\) es un ideal maximal si para cualquier ideal \(I\) que contenga propiamente a \(M\text{,}\) \(I = R\text{.}\) El siguiente teorema caracteriza completamente los ideales maximales para anillos conmutativos con identidad en términos de los anillos cociente respectivos.

Sea \(M\) un ideal maximal en \(R\text{.}\) Como \(R\) es un anillo conmutativo, \(R/M\) también es un anillo conmutativo. Claramente, \(1 + M\) actúa como identidad para \(R/M\text{.}\) Debemos mostrar también que cada elemento distinto de cero en \(R/M\) tiene un inverso. Si \(a + M\) es un elemento distinto de cero en \(R/M\text{,}\) entonces \(a \notin M\text{.}\) Definamos \(I\) como el conjunto \(\{ ra + m : r \in R \text{ y } m \in M \}\text{.}\) Mostraremos que \(I\) es un ideal en \(R\text{.}\) El conjunto \(I\) es no vacío pues \(0a+0=0\) está en \(I\text{.}\) Si \(r_1 a + m_1\) y \(r_2 a + m_2\) son dos elementos en \(I\text{,}\) entonces

\begin{equation*} (r_1 a + m_1) - ( r_2 a + m_2) = (r_1 - r_2)a + (m_1 - m_2) \end{equation*}

está en \(I\text{.}\) Además, para cualquier \(r \in R\) se cumple que \(rI \subset I\text{;}\) luego, \(I\) es cerrado bajo multiplicación por elementos del anillo y cumple las condiciones necesarias para ser un ideal. Por lo tanto, por la Proposición 16.1.10 y la definición de ideal, \(I\) es un ideal que contiene propiamente a \(M\text{.}\) Como \(M\) es un ideal maximal, \(I=R\text{;}\) concluimos que, por la definición de \(I\) deben existir \(m\) en \(M\) y \(b\) en \(R\) tales que \(1=ab+m\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} 1 + M = ab + M = ba + M = (a+M)(b+M). \end{equation*}

Recíprocamente, supongamos que \(M\) es un ideal y que \(R/M\) es un cuerpo. Como \(R/M\) es un cuerpo, debe contener al menos dos elementos: \(0 + M = M\) y \(1 + M\text{.}\) Luego, \(M\) es un ideal propio de \(R\text{.}\) Sea \(I\) cualquier ideal que contenga propiamente a \(M\text{.}\) Debemos mostrar que \(I = R\text{.}\) Sea \(a\) en \(I\) pero no en \(M\text{.}\) Como \(a+ M\) es un elemento distinto de cero en un cuerpo, existe \(b +M\) en \(R/M\) tal que \((a+M)(b+M) = ab + M = 1+M\text{.}\) Concluimos que existe un elemento \(m \in M\) tal que \(ab + m = 1\) y \(1\) está en \(I\text{.}\) Por lo tanto, \(r1 =r \in I\) para todo \(r \in R\text{.}\) Concluimos que \(I = R\text{.}\)

Sea \(p{\mathbb Z}\) un ideal en \({\mathbb Z}\text{,}\) con \(p\) un número primo. Entonces \(p{\mathbb Z}\) es un ideal maximal pues \({\mathbb Z}/ p {\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_p\) es un cuerpo.

Un ideal propio \(P\) en un anillo conmutativo \(R\) se llama ideal primo si cada vez que \(ab \in P\text{,}\) tenemos que \(a \in P\) o \(b \in P\text{.}\) 1 Es posible definir ideales primos en anillos no conmutativos. Vea [1] o [3].

Es fácil verificar que el conjunto \(P = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) es un ideal en \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Este ideal es primo. De hecho es un ideal maximal.

Primero supongamos que \(P\) es un ideal en \(R\) y que \(R/P\) es un dominio integral. Supongamos que \(ab \in P\text{.}\) Si \(a + P\) y \(b + P\) son dos elementos de \(R/P\) tales que \((a + P)(b + P) = 0 + P = P\text{,}\) entonces \(a + P = P\) o \(b + P = P\text{.}\) Esto quiere decir que \(a\) está en \(P\) o \(b\) está en \(P\text{,}\) lo que muestra que \(P\) debe ser primo.

Recíprocamente, supongamos que \(P\) es primo y

\begin{equation*} (a + P)(b + P) = ab + P = 0 + P = P. \end{equation*}

Entonces \(ab \in P\text{.}\) Si \(a \notin P\text{,}\) entonces \(b\) debe estar en \(P\) por la definición de ideal primo; luego, \(b + P = 0 + P\) y \(R/P\) es un dominio integral.

Todo ideal en \({\mathbb Z}\) es de la forma \(n {\mathbb Z}\text{.}\) El anillo cociente \({\mathbb Z} / n{\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_n\) es un dominio integral si y solo si \(n\) es primo. Es en realidad un cuerpo en tal caso. Luego, los ideales primos distintos de cero en \({\mathbb Z}\) son los ideal \(p{\mathbb Z}\text{,}\) donde \(p\) es primo. Este ejemplo realmente justifica el uso de la palabra “primo” en nuestra definición de ideales primos.

Como todo cuerpo es un dominio integral, tenemos el siguiente corolario.

Subsección 16.4.1 Nota Histórica

Amalie Emmy Noether, matemática destacada del siglo XX, nació en Erlangen, Alemania en 1882. Era la hija de Max Noether (1844–1921), un distinguido matemático en la Universidad de Erlangen. Junto a Paul Gordon (1837–1912), el padre de Emmy Noether influyó fuertemente en su educación temprana. Entró a la Universidad de Erlangen a los 18 años de edad. Si bien mujeres ya habían sido admitidas a las universidades en Inglaterra, Francia e Italia por décadas, había gran resistencia a su presencia en la universidades alemanas. Noether era una de las dos únicas mujeres entre los 986 estudiantes de la universidad. Después de obtener su doctorado bajo la dirección de Gordon en 1907, continuó haciendo investigación en Erlangen, dictando cátedras ocasionales cuando su padre estaba enfermo.

Noether fue a estudiar a Göttingen en 1916. David Hilbert y Felix Klein intentaro sin éxito conseguirle un puesto en Göttingen. Algunos de los profesores objetaban la presencia de catedráticas profesoras, diciendo, “¿qué pensarán nuestros soldados cuando vuelvan a la universidad y tengan que aprender bajo una mujer?” Hilbert, exasperado por la pregunta, respondió, “Meine Herren, no veo que el sexo de un candidato sea un argumento contra su contratación como Privatdozent. Después de todo, el senado no es una casa de baños.” Al final de la Primera Guerra Mundial, las actitudes cambiaron y las condiciones para las mujeres mejoraron significativamente. Después que pasó su examen de habilitación en 1919, le fue otorgado un título y le comenzaron a pagar una pequeña cantidad por sus clases.

En 1922, Noether fue contratada como Privatdozent en Göttingen. Durante los siguientes 11 años usó métodos axiomáticos para desarrollar una teoría abstracta de anillos e ideales. Si bien no era buena dando cátedra, Noether era una profesora inspiradora. Uno de sus muchos alumnos fue B. L. van der Waerden, autor del primer texto que trató de álgebra abstracta desde un punto de vista moderno. Algunos de los otros matemáticos influenciados por Noether o que trabajaron con ella fueron Alexandroff, Artin, Brauer, Courant, Hasse, Hopf, Pontryagin, von Neumann, y Weyl. Uno de los momentos cúlmines de su carrera fue una invitación a dar una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich en 1932. A pesar de todo el reconocimiento que recibió de sus colegas, las habilidades de Noether nunca fueron debidamente reconocidas durante su vida. Nunca fue promovida a profesora titular por la burocracia académica prusiana.

En 1933, a Noether, que era judía, le fue prohibida la participación de todas las actividades académicas en Alemania. Emigró a los Esstados Unidos, tomó una posición en el Bryn Mawr College, y se hizo miembro del Institute for Advanced Study en Princeton. Noether murió repentinamente el 14 de Abril de 1935. Después de su muerte fue eulogiada científicos tan notables como Albert Einstein.