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Sección 17.3 Polinomios Irreducibles

Un polinomio no constante \(f(x) \in F[x]\) es irreducible sobre un cuerpo \(F\) si \(f(x)\) no puede ser expresado como producto de dos polinomios \(g(x)\) y \(h(x)\) en \(F[x]\text{,}\) donde los grados de \(g(x)\) y \(h(x)\) son ambos menores que el grado de \(f(x)\text{.}\) Los polinomios irreducibles funcionan como los “números primos” de los anillos de polinomios.

El polinomio \(x^2 - 2 \in {\mathbb Q}[x]\) es irreducible pues no puede ser factorizado sobre los números racionales. Similarmente, \(x^2 + 1\) es irreducible sobre los números reales.

El polinomio \(p(x) = x^3 + x^2 + 2\) es irreducible sobre \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Supongamos que este polinomio fuera reducible sobre \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Por el algoritmo de división tendría que haber un factor de la forma \(x - a\text{,}\) donde \(a\) es algún elemento en \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Es decir, tendríamos que tener \(p(a) = 0\text{.}\) Pero,

\begin{align*} p(0) & = 2\\ p(1) & = 1\\ p(2) & = 2. \end{align*}

Por lo tanto, \(p(x)\) no tiene ceros en \({\mathbb Z}_3\) y es irreducible.

Supongamos que

\begin{equation*} p(x) = \frac{b_0}{c_0} + \frac{b_1}{c_1} x + \cdots + \frac{b_n}{c_n} x^n, \end{equation*}

donde los \(b_i\) y los \(c_i\) son enteros. Podemos reescribir \(p(x)\) como

\begin{equation*} p(x) = \frac{1}{c_0 \cdots c_n} (d_0 + d_1 x + \cdots + d_n x^n), \end{equation*}

donde \(d_0, \ldots, d_n\) son enteros. Sea \(d\) el máximo común divisor de \(d_0, \ldots, d_n\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} p(x) = \frac{d}{c_0 \cdots c_n} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n), \end{equation*}

donde \(d_i = d a_i\) y los \(a_i\) son relativamente primos. Simplificando \(d /(c_0 \cdots c_n)\text{,}\) podemos escribir

\begin{equation*} p(x) = \frac{r}{s}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n), \end{equation*}

con \(\gcd(r,s) = 1\text{.}\)

Por el Lema 17.3.3, podemos suponer que

\begin{align*} \alpha(x) & = \frac{c_1}{d_1} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m ) = \frac{c_1}{d_1} \alpha_1(x)\\ \beta(x) & = \frac{c_2}{d_2} (b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n) = \frac{c_2}{d_2} \beta_1(x), \end{align*}

donde los \(a_i\) son relativamente primos y los \(b_i\) son relativamente primos. En consecuencia,

\begin{equation*} p(x) = \alpha(x) \beta(x) = \frac{c_1 c_2}{d_1 d_2} \alpha_1(x) \beta_1(x) = \frac{c}{d} \alpha_1(x) \beta_1(x), \end{equation*}

donde \(c/d\) es el producto de \(c_1/d_1\) y \(c_2/d_2\) expresado de forma reducida. Luego, \(d p(x) = c \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{.}\)

Si \(d = 1\text{,}\) entonces \(c a_m b_n = 1\) pues \(p(x)\) es un polinomio mónico. Luego, ya sea \(c=1\) o \(c = -1\text{.}\) Si \(c=1\text{,}\) entonces ya sea \(a_m = b_n = 1\) o \(a_m = b_n = -1\text{.}\) En el primer caso \(p(x) = \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,}\) donde \(\alpha_1(x)\) y \(\beta_1(x)\) son polinomios mónicos con \(\deg \alpha(x) = \deg \alpha_1(x)\) y \(\deg \beta(x) = \deg \beta_1(x)\text{.}\) En el segundo caso \(a(x) = -\alpha_1(x)\) y \(b(x) = -\beta_1(x)\) son los polinomios mónicos correctos pues \(p(x) = (-\alpha_1(x))(- \beta_1(x)) = a(x) b(x)\text{.}\) El caso cuando \(c = -1\) se resuelve de forma similar.

Ahora supongamos que \(d \neq 1\text{.}\) Como \(\gcd(c, d) = 1\text{,}\) existe un primo \(p\) tal que \(p \mid d\) y \(p \notdivide c\text{.}\) Además, como los coeficientes de \(\alpha_1(x)\) son relativamente primos, existe un coeficiente \(a_i\) tal que \(p \notdivide a_i\text{.}\) Similarmente, existe un coeficiente \(b_j\) de \(\beta_1(x)\) tal que \(p \notdivide b_j\text{.}\) Sean \(\alpha_1'(x)\) y \(\beta_1'(x)\) los polinomios en \({\mathbb Z}_p[x]\) obtenidos de reducir los coeficientes de \(\alpha_1(x)\) y \(\beta_1(x)\) módulo \(p\text{.}\) Como \(p \mid d\text{,}\) \(\alpha_1'(x) \beta_1'(x) = 0\) en \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\) Pero esto es imposible, pues ni \(\alpha_1'(x)\) ni \(\beta_1'(x)\) es el polinomio cero y \({\mathbb Z}_p[x]\) es un dominio integral. Por lo tanto, \(d=1\) y el teorema está demostrado.

Supongamos que \(p(x)\) tiene un cero \(a \in {\mathbb Q}\text{.}\) Entonces \(p(x)\) debe tener un factor lineal \(x-a\text{.}\) Por el Lema de Gauss, \(p(x)\) tiene una factorización con un factor lineal en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Luego, para algún \(\alpha \in {\mathbb Z}\)

\begin{equation*} p(x) = (x - \alpha)( x^{n - 1} + \cdots - a_0 / \alpha ). \end{equation*}

Por lo tanto \(a_0 /\alpha \in {\mathbb Z}\) y \(\alpha \mid a_0\text{.}\)

Sea \(p(x) = x^4 - 2 x^3 + x + 1\text{.}\) Demostraremos que \(p(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Supongamos que \(p(x)\) es reducible. Entonces ya sea \(p(x)\) tiene un factor lineal, digamos \(p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{,}\) donde \(q(x)\) es un polinomio de grado tres, o \(p(x)\) tiene dos factores cuadráticos.

Si \(p(x)\) tiene un factor lineal en \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) entonces tiene un cero en \({\mathbb Z}\text{.}\) Por el Corolario 17.3.5, cualquier cero debe dividir a 1 y por lo tanto debe ser \(\pm 1\text{;}\) pero, \(p(1) = 1\) y \(p(-1)= 3\text{.}\) Así hemos descartado la posibilidad de que \(p(x)\) tenga un factor lineal.

Por lo tanto, si \(p(x)\) es reducible debe ser como producto de dos factores cuadráticos, digamos

\begin{align*} p(x) & = (x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d )\\ & = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd, \end{align*}

donde cada factor está en \({\mathbb Z}[x]\) por el Lema de Gauss. Luego,

\begin{align*} a + c & = - 2\\ ac + b + d & = 0\\ ad + bc & = 1\\ bd & = 1. \end{align*}

Como \(bd = 1\text{,}\) ya sea \(b = d = 1\) o \(b = d = -1\text{.}\) En cualquier caso \(b = d\) y así

\begin{equation*} ad + bc = b( a + c ) = 1. \end{equation*}

Como \(a + c = -2\text{,}\) sabemos que \(-2b = 1\text{.}\) Esto es imposible pues \(b\) es un entero. Por lo tanto, \(p(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

Por el Lema de Gauss, solo necesitamos demostrar que \(f(x)\) no se factoriza como producto de polinomios de grado menor en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Supongamos que

\begin{equation*} f(x) = (b_rx^r + \cdots + b_0)(c_s x^s + \cdots + c_0 ) \end{equation*}

es una factorización en \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) con \(b_r\) y \(c_s\) distintos de cero y \(r, s \lt n\text{.}\) Como \(p^2\) no divide a \(a_0 = b_0 c_0\text{,}\) ya sea \(b_0\) o \(c_0\) no es divisible por \(p\text{.}\) Supongamos que \(p \notdivide b_0\) y \(p \mid c_0\text{.}\) Como \(p \notdivide a_n\) y \(a_n = b_r c_s\text{,}\) ni \(b_r\) ni \(c_s\) es divisible por \(p\text{.}\) Sea \(m\) el menor valor de \(k\) tal que \(p \notdivide c_k\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} a_m = b_0 c_m + b_1 c_{m - 1} + \cdots + b_m c_0 \end{equation*}

no es divisible por \(p\text{,}\) como cada término del lado derecho de la ecuación es divisible por \(p\) excepto \(b_0 c_m\text{.}\) Por lo tanto, \(m = n\) pues \(a_i\) es divisible por \(p\) para \(m \lt n\text{.}\) Luego, \(f(x)\) no puede ser factorizado como producto de polinomios de grado menor y por lo tanto es irreducible.

El polinomio

\begin{equation*} f(x) = 16 x^5 - 9 x^4 + 3x^2 + 6 x - 21 \end{equation*}

es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) por el Criterio de Eisenstein con \(p = 3\text{.}\)

El Criterio de Eisenstein es más útil para construir polinomios irreducibles de cierto grado sobre \({\mathbb Q}\) que para determinar la irreducibilidad de un polinomio arbitrario en \({\mathbb Q}[x]\text{:}\) dado cualquier polinomio, no es muy probable que podamos aplicar el Criterio de Eisenstein. La importancia del Teorema 17.3.7 es que ahora tenemos una herramienta sencilla para generar polinomios irreducibles de cualquier grado.

Subsección 17.3.1 Ideales en \(F\lbrack x \rbrack\)

Sea \(F\) un cuerpo. Recuerde que un ideal principal en \(F[x]\) es un ideal \(\langle p(x) \rangle\) generado por algún polinomio \(p(x)\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} \langle p(x) \rangle = \{ p(x) q(x) : q(x) \in F[x] \}. \end{equation*}

El polinomio \(x^2\) en \(F[x]\) genera el ideal \(\langle x^2 \rangle\) que consiste de todos los polinomios que no tienen término constante ni de grado 1.

Sea \(I\) un ideal de \(F[x]\text{.}\) Si \(I\) es el ideal cero, no hay nada que demostrar. Supongamos que \(I\) es un ideal no trivial en \(F[x]\text{,}\) y sea \(p(x) \in I\) un elemento distinto de cero de grado minimal. Si \(\deg p(x)= 0\text{,}\) entonces \(p(x)\) es una constante no nula y 1 está en \(I\text{.}\) Como 1 genera todo \(F[x]\text{,}\) \(\langle 1 \rangle = I = F[x]\) y \(I\) es un ideal principal.

Ahora supongamos que \(\deg p(x) \geq 1\) y sea \(f(x)\) cualquier elemento en \(I\text{.}\) Por el algoritmo de división existen \(q(x)\) y \(r(x)\) en \(F[x]\) tales que \(f(x) = p(x) q(x) + r(x)\) y \(\deg r(x) \lt \deg p(x)\text{.}\) Como \(f(x), p(x) \in I\) e \(I\) es un ideal, \(r(x) = f(x) - p(x) q(x)\) también está en \(I\text{.}\) Pero, como escogimos \(p(x)\) de grado minimal, \(r(x)\) debe ser el polinomio cero. Como podemos escribir cualquier elemento \(f(x)\) en \(I\) como \(p(x) q(x)\) para algún \(q(x) \in F[x]\text{,}\) tenemos que \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\)

No todo ideal en el anillo \(F[x,y]\) es un ideal principal. Consideremos el ideal de \(F[x, y]\) generado por los polinomios \(x\) e \(y\text{.}\) Este es el ideal de \(F[x, y]\) que consiste de todos los polinomios que no tienen término constante. Como tanto \(x\) como \(y\) están en el ideal, ningún polinomio puede pos si solo generar todo el ideal.

Supongamos que \(p(x)\) genera un ideal maximal de \(F[x]\text{.}\) Entonces \(\langle p(x) \rangle\) es también un ideal primo de \(F[x]\text{.}\) Como un ideal maximal debe estar propiamente contenido en \(F[x]\text{,}\) \(p(x)\) no puede ser un polinoio constante. Supongamos que \(p(x)\) se factoriza en dos polinomios de grado menor, digamos \(p(x) = f(x) g(x)\text{.}\) Como \(\langle p(x) \rangle\) es un ideal primo uno de estos factores, digamos \(f(x)\text{,}\) está en \(\langle p(x) \rangle\) y por lo tanto es un múltiplo de \(p(x)\text{.}\) Pero esto implicaría que \(\langle p(x) \rangle \subset \langle f(x) \rangle\text{,}\) lo que es imposible pues \(\langle p(x) \rangle\) es maximal.

Recíprocamente, supongamos que \(p(x)\) es irreducible sobre \(F[x]\text{.}\) Sea \(I\) un ideal en \(F[x]\) que contenga \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Por el Teorema 17.3.10, \(I\) es un ideal principal; luego, \(I = \langle f(x) \rangle\) para algún \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Como \(p(x) \in I\text{,}\) debe ser que \(p(x) = f(x) g(x)\) para algún \(g(x) \in F[x]\text{.}\) Pero, \(p(x)\) es irreducible; luego, ya sea \(f(x)\) o \(g(x)\) es un polinomio constante. Si \(f(x)\) es constante, entonces \(I = F[x]\) y estamos listos. Si \(f(x)\) no es constante, entonces \(f(x)\) es un múltiplo constante de \(p(x)\) e \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Por lo tanto, no existen ideales propios de \(F[x]\) que contengan propiamente a \(\langle p(x)\rangle\text{.}\)

Sage.

Los anillos de polinomios son muy importantes para el álgebra computacional, y Sage permite calcular de manera fácil con polinomios, tanto sobre anillos como sobre cuerpos. Y es trivial verificar si un polinomio es irreducible.

Subsección 17.3.2 Nota Histórica

A lo largo de la historia, resolver ecuaciones polinomiales ha sido un problema desafiante. Los Babilonios sabían cómo resolver la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\text{.}\) Omar Khayyam (1048–1131) ideó métodos para resolver ecuaciones cúbicasmediante el uso de construcciones geométricas y secciones cónicas. La solución algebraica de la ecuación cúbica general \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) no fue descubierta hasta el siglo XVI. Un matemático italiano, Luca Pacioli (ca. 1445–1509), escribió en Summa de Arithmetica que la solución a la cúbica era imposible. Esto fue tomado como un desafío por el resto de la comunidad matemática.

Scipione del Ferro (1465–1526), de la Universidad de Bologna, resolvió la “cúbica reducida,”

\begin{equation*} ax^3 + cx + d = 0. \end{equation*}

Mantuvo en absoluto secreto esta solución. Esto puede parecer sorprendente hoy en día, cuando los matemáticos suelen estar muy interesados en publicar sus resultados, pero en durante el Renacimiento Italiano el secretismo era costumbre. Los cargos académicos no eran fáciles de mantener y dependían de ganar competencias públicas. Estos desafíos podían ser declarados en cualquier momento. En consecuencia cualquier nuevo descubrimiento de importancia era un arma valiosa en una competencia de ese tipo. Si un oponente presentaba una lista de problemas a resolver, del Ferro podía a su vez presentar una lista de cúbicas reducidas. Mantuvo el secreto de su descubrimiento durante toda su vida, comunicándoselo en el lecho de muerte a su estudiante Antonio Fior (ca. 1506–?).

Si bien Fior no era igual a su tutor, de inmediato lanzó un desafío a Niccolo Fontana (1499–1557). Fontana era conocido como Tartaglia (el Tartamudo). Cuando joven había recibido un golpe de espada por parte de un soldado francés durante un ataque a su aldea. Sobrevivió la feroz herida, pero mantuvo el defecto de la dicción por el resto de su vida. Tartaglia envió a Fior una lista de 30 problemas matemáticos variados; Fior respondió enviando a Tartaglia una lista de 30 cúbicas reducidas. Tartaglia ya sea podría resolver todos los problemas de la lista o fallar absolutamente. Luego de un gran esfuerzo Tartaglia finalmente tuvo éxito en resolver la cúbica reducida y venció a Fior, quien pasó al olvido.

En este momento otro matemático, Gerolamo Cardano (1501–1576), entra en el relato. Cardano le escribió a Tartaglia, rogándole que le diera la solución de la cúbica reducida. Tartaglia se rehusó a varias de sus súplicas, pero finalmente reveló la solución a Cardano después que este último jurara que no publicaría el secreto ni se lo transmitiría a nadie más. Usando lo que había aprendido de Tartaglia, Cardano finalmente resolvió la ecuación cúbica general

\begin{equation*} a x^3 + bx^2 +cx +d = 0. \end{equation*}

Cardano compartió el secreto con su pupilo, Ludovico Ferrari (1522–1565), quien resolvió la ecuación general de cuarto grado,

\begin{equation*} a x^4 + b x^3 + cx^2 + d x + e = 0. \end{equation*}

En 1543, Cardano y Ferrari examinaron los trabajos de del Ferro y descubrieron que él también había resuelto la cúbica reducida. Cardano sintió que esto le absolvía de su compromiso con Tartaglia, de manera que publicó las soluciones en Ars Magna (1545), dándole crédito a del Ferro por resolver el caso especial de la cúbica. Esto resultó en una amarga disputa entre Cardano y Tartaglia, quien publicó la historia del juramento un año después.