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Sección 11.1 Homomofismos de Grupos

Un homomorfismo entre los grupos \((G, \cdot)\) y \((H, \circ)\) es una función \(\phi :G \rightarrow H\) tal que

\begin{equation*} \phi( g_1 \cdot g_2 ) = \phi( g_1 ) \circ \phi( g_2 )\qquad \forall g_1, g_2 \in G \end{equation*}

La imagen de \(\phi\) en \(H\) se llama imagen homomorfa de \(\phi\text{.}\)

Dos grupos están relacionados de la forma más fuerte posible si son isomorfos; sin embargo nua relación más débil puede también existir entre dos grupos. Por ejemplo, el grupo simétrico \(S_n\) y el grupo \({\mathbb Z}_2\) están relacionados por el hecho de que \(S_n\) puede ser dividido en permutaciones pares e impares que exhiben una estructura de grupos similar a la de \({\mathbb Z}_2\text{,}\) como se muestra en la siguiente tabla de multiplicación.

\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \text{even} & \text{even} & \text{odd} \\ \text{odd} & \text{odd} & \text{even} \end{array} \end{equation*}

Podemos usar homomorfismos para estudiar relaciones como la que acabamos de describir.

Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\text{.}\) Defina una función \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) como \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Entonces \(\phi\) es un homomorfismo de grupos, pues

\begin{equation*} \phi( m + n ) = g^{ m + n} = g^m g^n = \phi( m ) \phi( n ). \end{equation*}

Este homomorfismo envía a \({\mathbb Z}\) en el subgrupo cíclico de \(G\) generado por \(g\text{.}\)

Sea \(G = GL_2( {\mathbb R })\text{.}\) Si

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation*}

está en \(G\text{,}\) entonces el determinante es distinto de cero; es decir, \(\det(A) = ad - bc \neq 0\text{.}\) Además, para dos elementos \(A\) y \(B\) en \(G\text{,}\) \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\text{.}\) Usando el determinante, podemos definir un homomorfismo \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) como \(A \mapsto \det(A)\text{.}\)

Recuerde que el grupo de la circunferencia \({ \mathbb T}\) consiste de todos los números complejos \(z\) tales que \(|z|=1\text{.}\) Podemos definir un homomorfismo \(\phi\) del grupo aditivo de los números reales \({\mathbb R}\) a \({\mathbb T}\) por \(\phi : \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta\text{.}\) De hecho,

\begin{align*} \phi( \alpha + \beta ) & = \cos( \alpha + \beta ) + i \sin( \alpha + \beta )\\ & = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta )\\ & = (\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta)\\ & = \phi( \alpha ) \phi( \beta ). \end{align*}

Geométricamente, simplemente estamos enrollando la recta real sobre la circunferencia.

La siguiente proposición lista algunas propiedades básicas de los homomorfismos de grupos.

(1) Supongamos que \(e\) y \(e'\) son las identidades de \(G_1\) y \(G_2\text{,}\) respectivamente; entonces

\begin{equation*} e' \phi(e) = \phi(e) = \phi(e e) = \phi(e) \phi(e). \end{equation*}

Por cancelación, \(\phi(e) = e'\text{.}\)

(2) Es consecuencia del hecho que

\begin{equation*} \phi( g^{-1}) \phi(g) = \phi(g^{-1} g) = \phi(e) = e'. \end{equation*}

(3) El conjunto \(\phi(H_1)\) es no vacío pues la identidad de \(G_2\) está en \(\phi(H_1)\text{.}\) Si \(x\) e \(y\) en \(\phi(H_1)\text{,}\) entonces existen elementos \(a, b \in H_1\) tales que \(\phi(a) = x\) y \(\phi(b)=y\text{.}\) Como

\begin{equation*} xy^{-1} = \phi(a)[ \phi(b)]^{-1} = \phi(a b^{-1} ) \in \phi(H_1), \end{equation*}

\(\phi(H_1)\) es un subgrupo de \(G_2\) por la Proposición 3.3.8.

(4) Sea \(H_2\) un subgrupo de \(G_2\) y defina \(H_1\) como \(\phi^{-1}(H_2)\text{;}\) es decir, \(H_1\) es el conjunto de todos los \(g \in G_1\) tales que \(\phi(g) \in H_2\text{.}\) La identidad está en \(H_1\) pues \(\phi(e) = e'\text{.}\) Si \(a\) y \(b\) están en \(H_1\text{,}\) entonces \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}\) está en \(H_2\) pues \(H_2\) es un subgrupo de \(G_2\text{.}\) Por lo tanto, \(ab^{-1} \in H_1\) y \(H_1\) es un subgrupo de \(G_1\text{.}\) Si \(H_2\) es normal en \(G_2\text{,}\) debemos probar que \(g^{-1} h g \in H_1\) para \(h \in H_1\) y \(g \in G_1\text{.}\) Pero

\begin{equation*} \phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2, \end{equation*}

pues \(H_2\) es un subgrupo normal de \(G_2\text{.}\) Por lo tanto, \(g^{-1}hg \in H_1\text{.}\)

Sea \(\phi : G \rightarrow H\) un homomorfismo de grupos y supongamos que \(e\) es la identidad de \(H\text{.}\) Por la Proposición 11.1.4, \(\phi^{-1} ( \{ e \} )\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Este subgrupo se llama núcleo de \(\phi\) y se denotará por \(\ker \phi\text{.}\) De hecho, este subgrupo es un subgrupo normal de \(G\) pues el subgrupo trivial es normal en \(H\text{.}\) Enunciamos este resultado en el siguiente teorema, que dice que a cada homomorfismo de grupos podemos asociar de forma natural un subgrupo normal.

Examinemos el homorfismo \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) definido por \(A \mapsto \det( A )\text{.}\) Como 1 es la identidad de \({\mathbb R}^\ast\text{,}\) el núcleo de este homomorfismo consiste de toda las matrices de \(2 \times 2\) que tienen determinante uno. Es decir, \(\ker \phi = SL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

El núcleo del homomorfismo de grupos \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb C}^\ast\) definido por \(\phi( \theta ) = \cos \theta + i \sin \theta\) es \(\{ 2 \pi n : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Notemos que \(\ker \phi \cong {\mathbb Z}\text{.}\)

Supongamos que queremos determinar todos los posibles homomorfismos \(\phi\) de \({\mathbb Z}_7\) a \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Como el núcleo de \(\phi\) debe ser un subgrupo de \({\mathbb Z}_7\text{,}\) solo hay dos núcleos posibles, \(\{ 0 \}\) y todo \({\mathbb Z}_7\text{.}\) La imagen de un subgrupo de \({\mathbb Z}_7\) debe ser un subgrupo de \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Luego, no hay homomorfismos inyectivos; de lo contrario, \({\mathbb Z}_{12}\) tendría un subgrupo de orden 7, lo que es imposible. Por lo tanto, el único homomorfismo posible de \({\mathbb Z}_7\) a \({\mathbb Z}_{12}\) es el que envía todos los elementos cero.

Sea \(G\) un grupo. Supongamos que \(g \in G\) y \(\phi\) es el homomorfismo de \({\mathbb Z}\) a \(G\) dado por \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Si el orden de \(g\) es infinito, entonces el núcleo de este homomorfismo es \(\{ 0 \}\) pues \(\phi\) envía \({\mathbb Z}\) en el subgrupo cíclico de \(G\) generado por \(g\text{.}\) Si en cambio, el orden de \(g\) es finito, digamos \(n\text{,}\) entonces el núcleo de \(\phi\) es \(n {\mathbb Z}\text{.}\)