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Sección 23.2 El Teorema Fundamental

El objetivo de esta sección es demostrar el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Este teorema explica la conección entre los subgrupos de \(G(E/F)\) y los cuerpos intermedios entre \(E\) y \(F\text{.}\)

Sean \(\sigma_i(a) = a\) y \(\sigma_i(b)=b\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \sigma_i(a \pm b) = \sigma_i(a) \pm \sigma_i(b) = a \pm b \end{equation*}

y

\begin{equation*} \sigma_i(a b) = \sigma_i(a) \sigma_i(b) = a b. \end{equation*}

Si \(a \neq 0\text{,}\) entonces \(\sigma_i(a^{-1}) = [\sigma_i(a)]^{-1} = a^{-1}\text{.}\) Finalmente, \(\sigma_i(0) = 0\) y \(\sigma_i(1)=1\) como \(\sigma_i\) es un automorfismo.

El subcuerpo \(F_{ \{\sigma_i \} }\) de \(F\) se llama cuerpo fijo de \(\{ \sigma_i \}\text{.}\) El cuerpo fijo por un subgrupo \(G\) de \(\aut(F)\) se denotará como \(F_G\text{.}\)

Sea \(\sigma : {\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) el automorfismo que envía \(\sqrt{3}\) en \(-\sqrt{3}\text{.}\) Entonces \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) es el subcuerpo de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) fijo por \(\sigma\text{.}\)

Sea \(G = G(E/F)\text{.}\) Claramente, \(F \subset E_G \subset E\text{.}\) Además, \(E\) debe ser un cuerpo de descomposición de \(E_G\) y \(G(E/F) = G(E/E_G)\text{.}\) Por el Teorema 23.1.7,

\begin{equation*} |G| = [E: E_G] =[ E:F]. \end{equation*}

Por lo tanto, \([E_G : F ] =1\text{.}\) Concluimos que \(E_G = F\text{.}\)

Muchos matemáticos aprendieron por primera vez teoría de Galois a través de la monografía de Emil Artin sobre el tema [1]. La astuta demostración del lema siguiente se debe a Artin.

Sea \(|G| = n\text{.}\) Debemos mostrar que cualquier conjunto de \(n + 1\) elementos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + 1}\) en \(E\) es linealmente dependiente sobre \(F\text{;}\) es decir, debemos encontrar elementos \(a_i \in F\text{,}\) no todos cero, tales que

\begin{equation*} a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0. \end{equation*}

Supongamos que \(\sigma_1 = \identity, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\) son los automorfismos en \(G\text{.}\) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo

\begin{align*} \sigma_1( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_1(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_1(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\ \sigma_2( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_2(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_2(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\ & \vdots &\\ \sigma_n( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_n(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_n(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0 \end{align*}

tiene más incógnita que ecuaciones. De álgebra lineal sabemos que este sistema tiene una solución no trivial, digamos \(x_i = a_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, n + 1\text{.}\) Como \(\sigma_1\) es la identidad, la primera ecuación se traduce a

\begin{equation*} a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0. \end{equation*}

El problema es que algunos de los \(a_i\) podrían estar en \(E\) pero no en \(F\text{.}\) Debemos mostrar que esto es imposible.

Supongamos que al menos uno de los \(a_i\) está en \(E\) pero no en \(F\text{.}\) Reordenando los \(\alpha_i\) podemos suponer que \(a_1\) es distinto de cero. Como cualquier múltiplo de una solución también es una solución, podemos suponer además que \(a_1 = 1\text{.}\) De todas las posibles soluciones que satisfacen esta descripción, elegimos la que tenga el menor número de términos distintos de cero. Nuevamente, reordenando \(\alpha_2, \ldots, \alpha_{n + 1}\) si fuera necesario, podemos suponer que \(a_2\) está en \(E\) pero no en \(F\text{.}\) Como \(F\) es el subcuerpo de \(E\) cuyos elementos quedan fijos por \(G\text{,}\) existe \(\sigma_i\) en \(G\) tal que \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{.}\) Aplicando \(\sigma_i\) a cada ecuación en el sistema, obtenemos el mismo sistema homogéneo, pues \(G\) es un grupo. Por lo tanto, \(x_1 = \sigma_i(a_1) = 1\text{,}\) \(x_2 = \sigma_i(a_2)\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(x_{n + 1} = \sigma_i(a_{n+1} )\) también es solución del sistema original. Sabemos que una combinación lineal de dos soluciones de un sistema homogéneo es nuevamente una solución; concluimos que

\begin{align*} x_1 & = 1 -1 = 0\\ x_2 & = a_2 - \sigma_i(a_2)\\ & \vdots &\\ x_{n + 1} & = a_{n + 1} - \sigma_i(a_{n + 1}) \end{align*}

debe ser otra solución del sistema. Esta es una solución no trivial pues \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{,}\) y tiene menos términos distintos de cero que nuestra solución original. Esto es una contradicción, pues el número de términos distintos de cero de nuestra solución original se había supuesto minimal. Podemos concluir que \(a_1, \ldots, a_{n + 1} \in F\text{.}\)

Sea \(E\) una extensión algebraica de \(F\text{.}\) Si todo polinomio irreducible en \(F[x]\) con una raíz en \(E\) tiene todas sus raíces en \(E\text{,}\) entonces \(E\) se llama extensión normal de \(F\text{;}\) es decir, todo polinomio irreducible en \(F[x]\) que contiene una raíz en \(E\) es el producto de factores lineales en \(E[x]\text{.}\)

(1) \(\Rightarrow\) (2). Sea \(E\) una extensión finita, normal y separable de \(F\text{.}\) Por el Teorema del Elemento Primitivo, podemos encontrar \(\alpha\) en \(E\) tal que \(E = F(\alpha)\text{.}\) Sea \(f(x)\) el polinomio minimal de \(\alpha\) sobre \(F\text{.}\) El cuerpo \(E\) debe contener todas las raíces de \(f(x)\) pues es una extensión normal de \(F\text{;}\) luego, \(E\) es un cuerpo de descomposición para \(f(x)\text{.}\)

(2) \(\Rightarrow\) (3). Sea \(E\) el cuerpo de descomposición sobre \(F\) de un polinomio separable. Por la Proposición 23.2.4, \(E_{G(E/F)} = F\text{.}\) Como \(| G(E/F)| = [E:F]\text{,}\) este grupo es finito.

(3) \(\Rightarrow\) (1). Sea \(F = E_G\) para cierto grupo finito de automorfismos \(G\) de \(E\text{.}\) Como \([E:F] \leq |G|\text{,}\) \(E\) es una extensión finita de \(F\text{.}\) Para mostrar que \(E\) es una extensión finita y normal de \(F\text{,}\) sea \(f(x) \in F[x]\) un polinomio irreducible mónico que tenga una raíz \(\alpha\) en \(E\text{.}\) Debemos mostrar que \(f(x)\) es el producto de factores lineales distintos en \(E[x]\text{.}\) Por la Proposición 23.1.5, los automorfismos en \(G\) permutan las raíces de \(f(x)\) que están en \(E\text{.}\) Por lo tanto, si hacemos actuar \(G\) en \(\alpha\text{,}\) podemos obtener raíces distintas \(\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) en \(E\text{.}\) Sea \(g(x) = \prod_{i = 1}^{n} (x -\alpha_i)\text{.}\) Entonces \(g(x)\) es separable sobre \(F\) y \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Cualquier automorfismo \(\sigma\) en \(G\) permuta los factores de \(g(x)\) pues permuta estas raíces; luego, cuando \(\sigma\) actúa en \(g(x)\text{,}\) debe fijar los coeficientes de \(g(x)\text{.}\) Por lo tanto, los coeficientes de \(g(x)\) están en \(F\text{.}\) Como \(\deg g(x) \leq \deg f(x)\) y \(f(x)\) es el polinomio minimal de \(\alpha\text{,}\) \(f(x) = g(x)\text{.}\)

Como \(F = K_G\text{,}\) \(G\) es un subgrupo de \(G(K/F)\text{.}\) Luego,

\begin{equation*} [K : F ] \leq |G| \leq |G(K/F)| = [K:F]. \end{equation*}

Se sigue que \(G = G(K/F)\text{,}\) tienen el mismo orden.

Antes de determinar la correspondencia exacta entre extensiones de cuerpos y automorfismos de cuerpos, volvamos a un ejemplo familiar.

En el Ejemplo 23.1.4 examinamos los automorfismos de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) que fijan \({\mathbb Q}\text{.}\) La Figura 23.2.9 compara el reticulado de extensiones de cuerpos de \({\mathbb Q}\) con el reticulado de subgrupos de \(G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})\text{.}\) El Teorema Fundamental de la Teoría de Galois nos dice cuál es la relación entre estos dos reticulados.

Figura 23.2.9. \(G({\mathbb Q( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) / {\mathbb Q})}\)

Estamos preparados para enunciar y demostrar el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

(1) Supongamos que \(G(E/K) = G(E/L) = G\text{.}\) Tanto \(K\) como \(L\) son cuerpos fijos de \(G\text{;}\) luego, \(K=L\) y la función definida por \(K \mapsto G(E/K)\) es 1-1. PAra mostrar que la función es sobreyectiva, sea \(G\) un subgrupo de \(G(E/F)\) y sea \(K\) el cuerpo fijo por \(G\text{.}\) Entonces \(F \subset K \subset E\text{;}\) Así, \(E\) es una extensión normal de \(K\text{.}\) Luego, \(G(E/K) = G\) y la función \(K \mapsto G(E/K)\) es una biyección.

(2) Por el Teorema23.1.7, \(|G(E/K)| = [E:K]\text{;}\) por lo tanto,

\begin{equation*} |G(E/F)| = [G(E/F):G(E/K)] \cdot |G(E/K)| = [E:F] = [E:K][K:F]. \end{equation*}

Luego, \([K:F] = [G(E/F):G(E/K)]\text{.}\)

(3) La proposición se ilustra en la Figura 23.2.11. Dejamos su demostración como un ejercicio.

(4) Esto requiere un poco más de trabajo. Sea \(K\) una extensión normal de \(F\text{.}\) Si \(\sigma\) está en \(G(E/F)\) y \(\tau\) está en \(G(E/K)\text{,}\) debemos demostrar que \(\sigma^{-1} \tau \sigma\) está en \(G(E/K)\text{;}\) es decir, debemos mostrar que \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\) para todo \(\alpha \in K\text{.}\) Supongamos que \(f(x)\) es el polinomio minimal de \(\alpha\) sobre \(F\text{.}\) Entonces \(\sigma( \alpha )\) también es una raíz de \(f(x)\) que está en \(K\text{,}\) pues \(K\) es una extensión normal de \(F\text{.}\) Luego, \(\tau( \sigma( \alpha )) = \sigma( \alpha )\) y \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\text{.}\)

Recíprocamente, sea \(G(E/K)\) un subgrupo normal de \(G(E/F)\text{.}\) Debemos demostrar que \(F = K_{G(K/F)}\text{.}\) Sea \(\tau \in G(E/K)\text{.}\) Para todo \(\sigma \in G(E/F)\) existe \(\overline{\tau} \in G(E/K)\) tal que \(\tau \sigma = \sigma \overline{\tau}\text{.}\) De esta manera, para todo \(\alpha \in K\)

\begin{equation*} \tau( \sigma( \alpha ) ) = \sigma( \overline{\tau}( \alpha ) ) = \sigma( \alpha ); \end{equation*}

luego, \(\sigma( \alpha )\) es el cuerpo fijo de \(G(E/K)\text{.}\) Sea \(\overline{\sigma}\) la restricción de \(\sigma\) a \(K\text{.}\) Entonces \(\overline{\sigma}\) es un automorfismo de \(K\) que fija \(F\text{,}\) pues \(\sigma( \alpha ) \in K\) para todo \(\alpha \in K\text{;}\) luego, \(\overline{\sigma} \in G(K/F)\text{.}\) A continuación, mostraremos que el cuerpo fijo de \(G(K/F)\) es \(F\text{.}\) Sea \(\beta\) un elemento en \(K\) que queda fijo por todos los automorfismos en \(G(K/F)\text{.}\) En particular, \(\overline{\sigma}(\beta) = \beta\) para todo \(\sigma \in G(E/F)\text{.}\) Por lo tanto, \(\beta\) pertenece al cuerpo fijo \(F\) de \(G(E/F)\text{.}\)

Finalmente, debemos mostrar que si \(K\) es una extensión normal de \(F\text{,}\) entonces

\begin{equation*} G(K/F) \cong G(E/F) / G(E/K). \end{equation*}

Sea \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) y sea \(\sigma_K\) el automorfismo de \(K\) obtenido restringiendo \(\sigma\) a \(K\text{.}\) Como \(K\) es una extensión normal, el argumento del párrafo precedente muestra que \(\sigma_K \in G( K/F)\text{.}\) Tenemos así una función \(\phi:G(E/F) \rightarrow G(K/F)\) definida por \(\sigma \mapsto \sigma_K\text{.}\) Esta función es un homomorfismo de grupos pues

\begin{equation*} \phi( \sigma \tau ) = (\sigma \tau)_K = \sigma_K \tau_K = \phi( \sigma) \phi( \tau ). \end{equation*}

El núcleo de \(\phi\) es \(G(E/K)\text{.}\) Por (2),

\begin{equation*} |G(E/F)| / |G(E/K)| = [K:F] = |G(K/F)|. \end{equation*}

Luego, la imagen de \(\phi\) es \(G(K/F)\) y \(\phi\) es sobreyectiva. Por el Primer Teorema de Isomorfía, tenemos

\begin{equation*} G(K/F) \cong G(E/F) / G( E/K ). \end{equation*}
Figura 23.2.11. Subgrupos de \(G(E/F)\) y subcuerpos de \(E\)

En este ejemplo ilustraremos el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois determinando el reticulado de subgrupos del grupo de Galois de \(f(x) = x^4 - 2\text{.}\) Compararemos este reticulado con el reticulado de extensiones de cuerpo de \({\mathbb Q}\) que están contenidas en el cuerpo de descomposición de \(x^4-2\text{.}\) El cuerpo de descomposición de \(f(x)\) es \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\) Para ver esto, notemos que \(f(x)\) se factoriza como \((x^2 + \sqrt{2}\, )(x^2 - \sqrt{2}\, )\text{;}\) así, las raíces de \(f(x)\) son \(\pm \sqrt[4]{2}\) y \(\pm \sqrt[4]{2}\, i\text{.}\) Primero adjuntamos la raíz \(\sqrt[4]{2}\) a \({\mathbb Q}\) y luego adjuntamos la raíz \(i\) de \(x^2 + 1\) a \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )\text{.}\) Entonces el cuerpo de descomposición de \(f(x)\) es \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )(i) = {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\)

Como \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\) y \(i\) no está en \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, )\text{,}\) debe ocurrir que \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ): {\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )] = 2\text{.}\) Luego, \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ):{\mathbb Q}] = 8\text{.}\) El conjunto

\begin{equation*} \{ 1, \sqrt[4]{2}, (\sqrt[4]{2}\, )^2, (\sqrt[4]{2}\, )^3, i, i \sqrt[4]{2}, i (\sqrt[4]{2}\, )^2, i(\sqrt[4]{2}\, )^3 \} \end{equation*}

es una base de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) El reticulado de extensiones de \({\mathbb Q}\) contenidas en \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i)\) está ilustrado en la figura  23.2.13(a).

El grupo de Galois \(G\) de \(f(x)\) debe ser de orden 8. Sea \(\sigma\) el automorfismo definido por \(\sigma( \sqrt[4]{2}\, ) = i \sqrt[4]{2}\) y \(\sigma( i ) = i\text{,}\) y sea \(\tau\) el automorfismo definido por conjugación compleja; es decir, \(\tau(i ) = -i\text{.}\) Entonces \(G\) tiene un elemento de orden 4 y un elemento de orden 2. Es fácil verificar con un cálculo directo que los elementos de \(G\) son \(\{ \identity, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma \tau, \sigma^2 \tau, \sigma^3 \tau \}\) y que se satisfacen las relaciones \(\tau^2 = \identity\text{,}\) \(\sigma^4 = \identity\text{,}\) y \(\tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\text{;}\) luego, \(G\) es isomorfo a \(D_4\text{.}\) El reticulado de subgrupos de \(G\) está ilustrado en la Figura 23.2.13(b).

Figura 23.2.13. Grupo de Galois de \(x^4-2\)

Subsección 23.2.1 Nota Histórica

Las fórmulas para las soluciones generales de las ecuaciones cúbicas y cuárticas fueron descubiertas en el siglo XVI. Los intentos de encontrar fórmulas similares para la ecuación quínticas desafiaron a algunos de los mejores matemáticos de la historia. En 1798, P. Ruffini envió una publicación afirmando que tal solución no era posible; pero su trabajo no fue bien recibido. En 1826, Niels Henrik Abel (1802–1829) finalmente ofreció la primera demostración correcta de que las ecuaciones quínticas no siempre se pueden resolver por radicales.

El trabajo de Abel fue una inspiración para Évariste Galois. Nacido en 1811, Galois comenzó a mostrar talento matemático extraordinario a los 14 años. Postuló a la École Polytechnique en varias ocasiones; pero tuvo gran dificultad en cumplir con los requisitos formales de admisión, y los examinadores no reconocieron su genialidad matemática. Finalmente fue admitido a la École Normale en 1829.

Galois desarrolló una teoría de solubilidad para polinomios. En 1829, a los 17 años, Galois presentó dos artículos sobre la solución de ecuaciones algebraicas a la Academia de Ciencias de París. Estos artículos fueron enviados a Cauchy, quién aparentemente los perdió. Un tercer artículo fue enviado a Fourier, quien murió antes de poder leerlo. Otro fue presentado, pero no fue publicado hasta 1846.

Las ideas democráticas de Galois lo llevaron a meterse en la Revolución de 1830. Fue expulsado de la escuelas y enviado a prisión por su participación en la revuelta. Luego de su liberación en 1832, se vio involucrado en un duelo, posiblemente por motivos amorosos. Seguro de que moriría, ocupó la tarde antes de su muerte delineando su trabajo y sus principales ideas de investigación en una larga carta a su amigo Chevalier. De hecho murió al día siguiente, con 20 años de edad.