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Sección 22.1 Estructura de Cuerpos Finitos

Recuerde que un cuerpo \(F\) tiene característica \(p\) si \(p\) es el menor entero positivo tal que para cada elemento no nulo \(\alpha\) en \(F\text{,}\) tenemos \(p \alpha = 0\text{.}\) Si no hay tal entero, entonces \(F\) tiene característica 0. Del Teorema 16.2.8 sabemos que \(p\) debe ser primo. Supongamos que \(F\) es un cuerpo finito con \(n\) elementos. Entonces \(n \alpha = 0\) para todo \(\alpha\) en \(F\text{.}\) En consecuencia, la característica de \(F\) debe ser \(p\text{,}\) con \(p\) un primo que divide a \(n\text{.}\) Esta discusión se resume en la siguiente proposición.

En todo este capítulo supondremos que \(p\) es un primo a menos que indiquemos lo contrario.

Sea \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F\) el homomorfismo de anillos definido por \(\phi(n) = n \cdot 1\text{.}\) Como la característica de \(F\) es \(p\text{,}\) el núcleo de \(\phi\) debe ser \(p {\mathbb Z}\) y la imagen de \(\phi\) debe ser un subcuerpo de \(F\) isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Denotaremos este subcuerpo por \(K\text{.}\) Como \(F\) es un cuerpo finito, debe ser una extensión finita de \(K\) y, por lo tanto, una extensión algebraica de \(K\text{.}\) Supongamos que \([F : K] = n\) es la dimensión de \(F\text{,}\) donde \(F\) es un \(K\) espacio vectorial. Deben existir elementos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) tales que cualquier elemento \(\alpha\) en \(F\) pueda ser escrito de una única manera en la forma

\begin{equation*} \alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n, \end{equation*}

donde los \(a_i\) están en \(K\text{.}\) Como hay \(p\) elementos en \(K\text{,}\) hay \(p^n\) combincaciones lineales posibles de los \(\alpha_i\text{.}\) Por lo tanto, el orden de \(F\) debe ser \(p^n\text{.}\)

Procederemos por inducción en \(n\text{.}\) Podemos usar la fórmula del binomio (vea el Capítulo 2, Ejemplo 2.1.4) para verificar el caso \(n = 1\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} (a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}. \end{equation*}

Si \(0 \lt k \lt p\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!} \end{equation*}

debe ser divisible por \(p\text{,}\) pues \(p\) no puede dividir a \(k!(p - k)!\text{.}\) Note que \(D\) es un dominio integral de característica \(p\text{,}\) así es que todos los términos de la suma, salvo el primero y el último son cero. Por lo tanto, \((a + b)^p = a^p + b^p\text{.}\)

Ahora supongamos que el resultado se cumple para todo \(k\text{,}\) con \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Por la hipótesis de inducción,

\begin{equation*} (a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}. \end{equation*}

Por lo tanto, el lema es verdadero para \(n + 1\) y la demostración está completa.

Sea \(F\) un cuerpo. Un polinomio \(f(x) \in F[x]\) de grado \(n\) es separable si tiene \(n\) raíces distintas en el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{;}\) es decir, \(f(x)\) es separable cuando se factoriza en factores lineales distintos sobre el cuerpo de descomposición de \(f\text{.}\) Una extensión \(E\) de \(F\) es una extensión separable de \(F\) si todo elemento en \(E\) es la raíz de un polinomio separable en \(F[x]\text{.}\)

El polinomio \(x^2 - 2\) es separable sobre \({\mathbb Q}\) pues se factoriza como \((x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}\) De hecho, \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) es una extensión separable de \({\mathbb Q}\text{.}\) Sea \(\alpha = a + b \sqrt{2}\) un elemento cualquiera en \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}\) Si \(b = 0\text{,}\) entonces \(\alpha\) es una raíz de \(x - a\text{.}\) Si \(b \neq 0\text{,}\) entonces \(\alpha\) es la raíz del polinomio separable

\begin{equation*} x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, )). \end{equation*}

Afortunadamente, tenemos una forma fácil para determinar la separabilidad de cualquier polinomio. Sea

\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \end{equation*}

un polinomio en \(F[x]\text{.}\) Se define la derivada de \(f(x)\) como

\begin{equation*} f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}. \end{equation*}

Sea \(f(x)\) separable. Entonces \(f(x)\) se factoriza sobre algún cuerpo de extensión de \(F\) como \(f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}\) con \(\alpha_i \neq \alpha_j\) para \(i \neq j\text{.}\) Tomando la derivada de \(f(x)\text{,}\) vemos que

\begin{align*} f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1}). \end{align*}

Luego, \(f(x)\) y \(f'(x)\) no pueden tener ningún factor común.

Para demostrar el recíproco, mostraremos que se cumple la afirmación contrapositiva. Supongamos que \(f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}\) con \(k \gt 1\text{.}\) Derivando, tenemos

\begin{equation*} f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x). \end{equation*}

Por lo tanto, \(f(x)\) y \(f'(x)\) tienen un factor común.

Sea \(f(x) = x^{p^n} - x\) y sea \(F\) el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{.}\) Por el Lema 22.1.5, \(f(x)\) tiene \(p^n\) ceros distintos en \(F\text{,}\) pues \(f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1\) es relativamente primo con \(f(x)\text{.}\) Afirmamos que las raíces de \(f(x)\) forman un subcuerpo de \(F\text{.}\) Ciertamente 0 y 1 son ceros de \(f(x)\text{.}\) Si \(\alpha\) y \(\beta\) son ceros de \(f(x)\text{,}\) entonces \(\alpha + \beta\) y \(\alpha \beta\) también son ceros de \(f(x)\text{,}\) pues \(\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}\) y \(\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}\) También debemos mostrar que el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de cada raíz de \(f(x)\) son raíces de \(f(x)\text{.}\) Para cualquier cero \(\alpha\) de \(f(x)\text{,}\) sabemos que \(-\alpha\) también es cero de \(f(x)\text{,}\) pues

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0, \end{equation*}

suponiendo que \(p\) is impar. Si \(p = 2\text{,}\) entonces

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0. \end{equation*}

Si \(\alpha \neq 0\text{,}\) entonces \((\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}\) Como los ceros de \(f(x)\) forman un subcuerpo de \(F\) y \(f(x)\) se descompone en este subcuerpo, el subcuerpo debe ser todo \(F\text{.}\)

Sea \(E\) cualquier otro cuerpo de orden \(p^n\text{.}\) Para mostrar que \(E\) es isomorfo a \(F\text{,}\) debemos mostrar que todo elemento en \(E\) es una raíz de \(f(x)\text{.}\) Claramente 0 y 1 son raíces de \(f(x)\text{.}\) Sea \(\alpha\) un elemento no nulo de \(E\text{.}\) El orden del grupo multiplicativo de elementos no nulos de \(E\) es \(p^n-1\text{;}\) luego, \(\alpha^{p^n-1} =1\) y \(\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}\) Como \(E\) contiene \(p^n\) elementos, \(E\) debe ser un cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{;}\) pero, por el Corolario 21.2.6, el cuerpo de descomposición de cualquier polinomio es único salvo isomorfía.

El único cuerpo con \(p^n\) elementos se llama cuerpo de Galois de orden \(p^n\text{.}\) Denotaremos este cuerpo por \(\gf(p^n)\text{.}\)

Sea \(F\) un subcuerpo de \(E = \gf(p^n)\text{.}\) Entonces \(F\) debe ser una extensión de \(K\) que contiene \(p^m\) elementos, donde \(K\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Entonces \(m \mid n\text{,}\) pues \([E:K] = [E:F][F:K]\text{.}\)

Para demostrar el recíproco, supongamos que \(m \mid n\) para algún \(m \gt 0\text{.}\) Entonces \(p^m -1\) divide a \(p^n -1\text{.}\) En consecuencia, \(x^{p^m -1} - 1\) divide a \(x^{p^n -1} -1\text{.}\) Por lo tanto, \(x^{p^m} - x\) debe dividir a \(x^{p^n} - x\text{,}\) y todo cero de \(x^{p^m} - x\) también es un cero de \(x^{p^n} - x\text{.}\) Luego, \(\gf(p^n)\) contiene, como subcuerpo, un cuerpo de descomposición de \(x^{p^m} - x\text{,}\) que debe ser isomorfo a \(\gf(p^m)\text{.}\)

El reticulado de subcuerpos de \(\gf(p^{24})\) está dado en la Figura 22.1.9.

Figura 22.1.9. Subcuerpos de \(\gf(p^{24})\)

Con cada cuerpo \(F\) tenemos un grupo multiplicativo de elementos no nulos de \(F\) que denotaremos por \(F^*\text{.}\) El grupo multiplicativo de un cuerpo finito cualquiera es cíclico. Este resultado se sigue del resultado más general que demostraremos en el próximo teorema.

Sea \(G\) un subgrupo finito de \(F^\ast\) de orden \(n\text{.}\) Por el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos (Teorema 13.1.4),

\begin{equation*} G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}, \end{equation*}

donde \(n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\) y los \(p_1, \ldots, p_k\) son primos (no necesariamente distintos). Sea \(m\) el mínimo común múltiplo de \(p_1^{e_1}, \ldots, p_k^{e_k}\text{.}\) Entonces \(G\) contiene un elemento de orden \(m\text{.}\) Como todo \(\alpha\) en \(G\) satisface \(x^r - 1\) para algún \(r\) que divide a \(m\text{,}\) \(\alpha\) debe también ser raíz de \(x^m - 1\text{.}\) Como \(x^m -1\) tiene a lo más \(m\) raíces en \(F\text{,}\) \(n \leq m\text{.}\) Por otra parte, sabemos que \(m \leq |G|\text{;}\) por lo tanto, \(m = n\text{.}\) Luego, \(G\) contiene un elemento de orden \(n\) y tiene que ser cíclico.

Sea \(\alpha\) un generador del grupo cíclico \(E^{\ast}\) de elementos distintos de cero de \(E\text{.}\) Entonces \(E = F( \alpha )\text{.}\)

El cuerpo finito \(\gf(2^4)\) es isomorfo al cuerpo \({\mathbb Z}_2/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}\) Por lo tanto, los elementos de \(\gf(2^4)\) se puede tomar como

\begin{equation*} \{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ y } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}. \end{equation*}

Recordando que \(1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}\) sumamos y multiplicamos elementos de \(\gf(2^4)\) exactamente como sumamos y multiplicamos polinomios. El grupo multiplicativo de \(\gf(2^4)\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_{15}\) con generador \(\alpha\text{:}\)

\begin{align*} & \alpha^1 = \alpha & & \alpha^6 = \alpha^2 + \alpha^3 & & \alpha^{11} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^2 = \alpha^2 & & \alpha^7 = 1 + \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{12} = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^3 = \alpha^3 & & \alpha^8 = 1 + \alpha^2 & & \alpha^{13} = 1 + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^4 = 1 + \alpha & & \alpha^9 = \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{14} = 1 + \alpha^3 &\\ &\alpha^5 = \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{10} = 1 + \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{15} = 1. & \end{align*}