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Sección 18.1 Cuerpos de Fracciones

Todo cuerpo es un dominio integral; pero existen muchos dominios integrales que no son cuerpos. Por ejemplo, los enteros \({\mathbb Z}\) forman un dominio integral pero no un cuerpo. Una pregunta que surge naturalmente es como asociar un dominio integral con un cuerpo. Existe una forma natural de construir los racionales \({\mathbb Q}\) a partir de los enteros: los racionales pueden ser representados como cocientes de dos enteros. Los números racionales por cierto forman un cuerpo. De hecho, se puede demostrar que los racionales forman el cuerpo más pequeño que contiene a los enteros. Dado un dominio integral \(D\text{,}\) nuestra pregunta ahora es cómo construir un menor cuerpo \(F\) que contenga a \(D\text{.}\) Haremos esto de la misma forma en que construimos los racionales a partir de los enteros.

Un elemento \(p/q \in {\mathbb Q}\) es el cociente de dos enteros \(p\) y \(q\text{;}\) sin embargo, diferentes pares de enteros pueden representar el mismo número racional. Por ejemplo, \(1/2 = 2/4 = 3/6\text{.}\) Sabemos que

\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{equation*}

si y solo si \(ad = bc\text{.}\) Una manera más formal de considerar este problema es examinando las fracciones en términos de relaciones de equivalencia. Podemos pensar los elementos en \({\mathbb Q}\) como pares ordenados en \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Un cociente \(p/q\) puede ser escrito como \((p, q)\text{.}\) Por ejemplo, \((3, 7)\) representaría la fracción \(3/7\text{.}\) Pero, surgen problemas si consideramos todos los pares posibles en \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) No existe la fracción \(5/0\) que corresponda al par \((5,0)\text{.}\) Además, los pares \((3,6)\) y \((2,4)\) ambos representan la fracción \(1/2\text{.}\) El primer problema lo resolvemos de forma sencilla si exigimos que la segunda coordenada sea dstinta de cero. El segundo problema se resuelve considerando dos pares \((a, b)\) y \((c, d)\) como equivalentes si y solo si \(ad = bc\text{.}\)

Si usamos la idea de pares ordenados en lugar de fracciones, entonces podemos estudiar dominios integrales en general. Sea \(D\) un dominio integral cualquiera y sea

\begin{equation*} S = \{ (a, b) : a, b \in D \text{ y } b \neq 0 \}. \end{equation*}

Definimos una relación en \(S\) por \((a, b) \sim (c, d)\) si y solo si \(ad=bc\text{.}\)

Como \(D\) es conmutativo, \(ab = ba\text{;}\) luego, \(\sim\) es refleja en \(D\text{.}\) Ahora supongamos que \((a,b) \sim (c,d)\text{.}\) Entonces \(ad=bc\) y \(cb = da\text{.}\) Por lo tanto, \((c,d) \sim (a, b)\) y la relación es simétrica. Finalmente, para mostrar que la relación es transitiva, sean \((a, b) \sim (c, d)\) y \((c, d) \sim (e,f)\text{.}\) En este caso \(ad = bc\) y \(cf = de\text{.}\) Multiplicando ambos lados de \(ad=bc\) por \(f\) resulta

\begin{equation*} a f d = a d f = b c f = b d e = bed. \end{equation*}

Como \(D\) es un dominio integral, podemos deducir que \(af = be\) y \((a,b ) \sim (e, f)\text{.}\)

Denotaremos el conjunto de clases de equivalencia en \(S\) por \(F_D\text{.}\) Ahora debemos definir las operaciones de adición y multiplicación en \(F_D\text{.}\) Recuerde cómo se suman y multiplican las fracciones en \({\mathbb Q}\text{:}\)

\begin{align*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} & = \frac{ad + b c}{b d};\\ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} & = \frac{ac}{b d}. \end{align*}

Parece razonable definir las operaciones de adición y multiplicación en \(F_D\) de manera similar. Si denotamos la clase de equivalencia de \((a, b) \in S\) por \([a, b]\text{,}\) esto nos lleva a definir las operaciones de adición y multiplicación en \(F_D\) como

\begin{equation*} [a, b] + [c, d] = [ad + b c,b d] \end{equation*}

y

\begin{equation*} [a, b] \cdot [c, d] = [ac, b d], \end{equation*}

respectivamente. El próximos lema demuestra que estas operaciones son independientes de la elección de representantes para cada clase de equivalencia.

Demostraremos que la operación de adición está bien-definida. La demostración de que la multiplicación está bien-definida la dejaremos como ejercicio. Sean \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) y \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{.}\) Debemos mostrar que

\begin{equation*} [a_1 d_1 + b_1 c_1,b_1 d_1] = [a_2 d_2 + b_2 c_2,b_2 d_2] \end{equation*}

o, equivalentemente, que

\begin{equation*} (a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2). \end{equation*}

Como \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) and \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{,}\) sabemos que \(a_1 b_2 = b_1 a_2\) y \(c_1 d_2 = d_1 c_2\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{align*} (a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) & = a_1 d_1 b_2 d_2 + b_1 c_1 b_2 d_2\\ & = a_1 b_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 c_1 d_2\\ & = b_1 a_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 d_1 c_2\\ & = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2). \end{align*}

Las identidades aditiva y multiplicativa son \([0,1]\) y \([1,1]\text{,}\) respectivamente. Para mostrar que \([0,1]\) es la identidad aditiva (o neutro aditivo), observemos que

\begin{equation*} [a, b] + [0, 1] = [ a 1 + b 0, b 1] = [a,b]. \end{equation*}

Es fácil mostrar que \([1, 1]\) es la identidad multiplicativa. Sea \([a, b] \in F_D\) tal que \(a \neq 0\text{.}\) Entonces \([b, a]\) también está en \(F_D\) y \([a,b] \cdot [b, a] = [1,1]\text{;}\) luego, \([b, a]\) es el inverso multiplicativo para \([a, b]\text{.}\) Similarmente, \([-a,b]\) es el inverso aditivo de \([a, b]\text{.}\) Dejamos como ejercicios la verificación de la asociatividad y la conmutatividad en \(F_D\text{.}\) También dejamos al lector la demostración de que \(F_D\) es un grupo abeliano con la operación de adición.

Falta demostrar que se cumple la propiedad distributiva en \(F_D\text{;}\) pero,

\begin{align*} [a, b] [e, f] + [c, d][ e, f ] & = [a e, b f ] + [c e, d f]\\ & = [a e d f + b f c e, b d f^2 ]\\ & = [a e d + b c e, b d f ]\\ & = [a d e + b c e, b d f ]\\ & = ( [a, b] + [c, d] ) [ e, f ] \end{align*}

y el lema está demostrado.

El cuerpo \(F_D\) en el Lema 18.1.3 se llama cuerpo de fracciones o cuerpo de cocientes del dominio integral \(D\text{.}\)

Primero demostraremos que \(D\) puede ser incrustado en el cuerpo \(F_D\text{.}\) Definamos una función \(\phi : D \rightarrow F_D\) como \(\phi(a) = [a, 1]\text{.}\) Entonces para \(a\) y \(b\) en \(D\text{,}\)

\begin{equation*} \phi( a + b ) = [a+b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = \phi(a ) + \phi(b) \end{equation*}

y

\begin{equation*} \phi( a b ) = [a b, 1] = [a, 1] [b, 1] = \phi(a ) \phi(b); \end{equation*}

es decir, \(\phi\) es un homomorfismo. Para mostrar que \(\phi\) es 1-1, supongamos que \(\phi(a) = \phi( b)\text{.}\) Entonces \([a, 1] = [b, 1]\text{,}\) y \(a = a1 = 1b = b\text{.}\) Finalmente, cualquier elemento de \(F_D\) puede ser expresado como el cociente de dos elementos en \(D\text{,}\) pues

\begin{equation*} \phi(a) [\phi(b)]^{-1} = [a, 1] [b, 1]^{-1} = [a, 1] \cdot [1, b] = [a, b]. \end{equation*}

Ahora sea \(E\) un cuerpo que contenga a \(D\) y definamos una función \(\psi :F_D \rightarrow E\) por \(\psi([a, b]) = a b^{-1}\text{.}\) Para mostrar que \(\psi\) está bien-definida, sean \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\text{.}\) Entonces \(a_1 b_2 = b_1 a_2\text{.}\) Por lo tanto, \(a_1 b_1^{-1} = a_2 b_2^{-1}\) y \(\psi( [a_1, b_1]) = \psi( [a_2, b_2])\text{.}\)

Si \([a, b ]\) y \([c, d]\) están en \(F_D\text{,}\) entonces

\begin{align*} \psi( [a, b] + [c, d] ) & = \psi( [ad + b c, b d ] )\\ & = (ad +b c)(b d)^{-1}\\ & = a b^{-1} + c d^{-1}\\ & = \psi( [a, b] ) + \psi( [c, d] ) \end{align*}

y

\begin{align*} \psi( [a, b] \cdot [c, d] ) & = \psi( [ac, b d ] )\\ & = (ac)(b d)^{-1}\\ & = a b^{-1} c d^{-1}\\ & = \psi( [a, b] ) \psi( [c, d] ). \end{align*}

Por lo tanto, \(\psi\) es un homomorfismo.

Para completar la demostración, debemos mostrar que \(\psi\) es 1-1. Supongamos que \(\psi( [a, b] ) = ab^{-1} = 0\text{.}\) Entonces \(a = 0b = 0\) y \([a, b] = [0, b]\text{.}\) Por lo tanto, el núcleo de \(\psi\) contiene solo el elemento cero \([ 0, b]\) en \(F_D\text{,}\) y \(\psi\) es inyectiva.

Como \({\mathbb Q}\) es un cuerpo, \({\mathbb Q}[x]\) es un dominio integral. El cuerpo de fracciones de \({\mathbb Q}[x]\) es el conjunto de todas las expresiones racionales \(p(x)/q(x)\text{,}\) donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios sobre los racionales y \(q(x)\) no es el polinomio cero. Denotaremos este cuerpo por \({\mathbb Q}(x)\text{.}\)

Dejaremos como ejercicios las demostraciones de los siguientes corolarios al Teorema 18.1.4.