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Sección 23.1 Automorfismos de Cuerpos

Nuestra primera tarea es la de establecer una conección entre la teoría de grupos y la teoría de cuerpos examinando los automorfismos de cuerpos.

Si \(\sigma\) y \(\tau\) son automorfismos de \(F\text{,}\) entonces también lo son \(\sigma \tau\) y \(\sigma^{-1}\text{.}\) La identidad es por cierto un automorfismo; luego, el conjunto de todos los automorfismos de un cuerpo \(F\) es un grupo.

Solo nos falta mostrar que el conjunto de automorfismos de \(E\) que fijan cada elemento de \(F\) es un subgrupo de todos los automorfismos de \(E\text{.}\) Sean \(\sigma\) y \(\tau\) dos automorfismos de \(E\) tales que \(\sigma( \alpha ) = \alpha\) y \(\tau( \alpha ) = \alpha\) para todo \(\alpha \in F\text{.}\) Entonces \(\sigma \tau( \alpha ) = \sigma( \alpha) = \alpha\) y \(\sigma^{-1}( \alpha ) = \alpha\text{.}\) Como la identidad fija todo elemento de \(E\text{,}\) el conjunto de los automorfismos de \(E\) que deja fijos los elementos de \(F\) es un subgrupo del grupo de todos los automorfismos de \(E\text{.}\)

Sea \(E\) una extensión de cuerpos de \(F\text{.}\) Denotaremos el grupo de todos los automorfismos de \(E\) como \(\aut(E)\text{.}\) Definimos el grupo de Galois de \(E\) sobre \(F\) como el grupo de los automorfismos de \(E\) que fijan todos los elementos de \(F\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} G(E/F) = \{ \sigma \in \aut(E) : \sigma(\alpha) = \alpha \text{ para todo } \alpha \in F \}. \end{equation*}

Si \(f(x)\) es un polinomio en \(F[x]\) y \(E\) es el cuerpo de descomposición de \(f(x)\) sobre \(F\text{,}\) entonces definimos el grupo de Galois de \(f(x)\) como \(G(E/F)\text{.}\)

La conjugación compleja, definida como \(\sigma : a + bi \mapsto a - bi\text{,}\) es un automorfismo de los números complejos. Como

\begin{equation*} \sigma(a) = \sigma(a + 0i) = a - 0i = a, \end{equation*}

el automorfismo definido por conjugación compleja está en \(G( {\mathbb C} / {\mathbb R} )\text{.}\)

Considere los cuerpos \({\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}(\sqrt{5}\, ) \subset {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\text{.}\) Entonces para \(a, b \in {\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\text{,}\)

\begin{equation*} \sigma( a + b \sqrt{3}\, ) = a - b \sqrt{3} \end{equation*}

es un automorfismo de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) que deja \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) fijo. Similarmente,

\begin{equation*} \tau( a + b \sqrt{5}\, ) = a - b \sqrt{5} \end{equation*}

es un automorfismo de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) que deja \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) fijo. El automorfismo \(\mu = \sigma \tau\) mueve tanto \(\sqrt{3}\) como \(\sqrt{5}\text{.}\) Pronto estará claro que \(\{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) es el grupo de Galois \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) La próxima tabla muestra que este grupo es isomorfo a \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \hline \identity & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \sigma & \sigma & \identity & \mu & \tau \\ \tau & \tau & \mu & \identity & \sigma \\ \mu & \mu & \tau & \sigma & \identity \end{array} \end{equation*}

Podemos también considerar el cuerpo \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) como un espacio vectorial sobre \({\mathbb Q}\) que tiene base \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\, \}\text{.}\) No es gran coincidencia que \(|G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})| = [{\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q})] = 4\text{.}\)

Sea

\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \end{equation*}

y supponga que \(\alpha \in E\) es un cero de \(f(x)\text{.}\) Entonces para \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\)

\begin{align*} 0 & = \sigma( 0 )\\ & = \sigma( f( \alpha ))\\ & = \sigma(a_0 + a_1\alpha + a_2 \alpha^2 + \cdots + a_n \alpha^n)\\ & = a_0 + a_1 \sigma(\alpha) + a_2 [\sigma(\alpha)]^2 + \cdots + a_n [\sigma(\alpha)]^n; \end{align*}

por lo tanto, \(\sigma( \alpha )\) también es un cero de \(f(x)\text{.}\)

Sea \(E\) una extensión algebraica de un cuerpo \(F\text{.}\) Dos elementos \(\alpha, \beta \in E\) son conjugados sobre \(F\) si tienen el mismo polinomio minimal. Por ejemplo, en el cuerpo \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\) los elementos \(\sqrt{2}\) y \(-\sqrt{2}\) son conjugados sobre \({\mathbb Q}\) pues ambos son raíces del polinomio irreducible \(x^2 - 2\text{.}\)

Existe un recíproco para la proposición anterior. La demostración sigue directamente del Lema 21.2.4.

Procederemos por inducción en el grado de \(f(x)\text{.}\) Si el grado de \(f(x)\) es 0 o 1, entonces \(E = F\) y no hay nada que mostrar . Supongamos que el resultado se cumple para todos los polinomios de grado \(k\) con \(0 \leq k \lt n\text{.}\) Supongamos que el grado de \(f(x)\) es \(n\text{.}\) Sea \(p(x)\) un factor irreducible de \(f(x)\) de grado \(r\text{.}\) Como todas las raíces de \(p(x)\) están en \(E\text{,}\) podemos escoger una de esas raíces, digamos \(\alpha\text{,}\) de manera que \(F \subset F( \alpha ) \subset E\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} [E: F(\alpha)] = n/r \quad \text{y} \quad [F(\alpha): F] = r. \end{equation*}

Si \(\beta\) es cualquier otra raíz de \(p(x)\text{,}\) entonces \(F \subset F( \beta ) \subset E\text{.}\) Por el Lema 21.2.4, existe un único isomorfismo \(\sigma: F( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) para cada \(\beta\) que fija todos los elementos de \(F\text{.}\) Como \(E\) es un cuerpo de descomposición de \(p(x)\text{,}\) hay exactamente \(r\) tales isomorfismos. Para cada uno de estos automorfismos, podemos usar la hipótesis de inducción en \([E: F(\alpha)] = n/r \lt n\) para concluir que

\begin{equation*} |G(E/F(\alpha))| = [E:F(\alpha)]. \end{equation*}

Por lo tanto, existen

\begin{equation*} [E:F] = [E:F(\alpha)] [F( \alpha):F] = n \end{equation*}

automorfismos posibles de \(E\) que fijan \(F\text{,}\) y \(|G(E/F)| = [E:F]\text{.}\)

Sea \(p\) la característica de \(E\) y de \(F\) y supongamos que los órdenes de \(E\) y \(F\) son \(p^m\) y \(p^n\text{,}\) respectivamente. Entonces \(nk = m\text{.}\) Podemos suponer además que \(E\) es el cuerpo de descomposición de \(x^{p^m} - x\) sobre un subcuerpo de orden \(p\text{.}\) Por lo tanto, \(E\) también debe ser el cuerpo de descomposición de \(x^{p^m} - x\) sobre \(F\text{.}\) Aplicando el Teorema 23.1.7, encontramos que \(|G(E/F)| = k\text{.}\)

Para demostrar que \(G(E/F)\) es cíclico, debemos encontrar un generador para \(G(E/F)\text{.}\) Sea \(\sigma : E \rightarrow E\) definido como \(\sigma(\alpha) = \alpha^{p^n}\text{.}\) Afirmamos que \(\sigma\) es el elemento en \(G(E/F)\) que estamos buscando. En primer lugar debemos mostrar que \(\sigma\) está en \(\aut(E)\text{.}\) Si \(\alpha\) y \(\beta\) están en \(E\text{,}\)

\begin{equation*} \sigma(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) \end{equation*}

por el Lema 22.1.3. Es fácil mostrar que \(\sigma(\alpha \beta) = \sigma( \alpha ) \sigma( \beta )\text{.}\) Como \(\sigma\) es un homomorfismo no nulo de cuerpos, debe ser inyectivo. También debe ser sobreyectivo, pues \(E\) es un cuerpo finito. Sabemos que \(\sigma\) está en \(G(E/F)\text{,}\) pues \(F\) es el cuerpo de descomposición de el cuerpo de descomposición de \(x^{p^n} - x\) sobre el cuerpo base de orden \(p\text{.}\) Esto significa que \(\sigma\) deja fijo todos los elementos en \(F\text{.}\) Finalmente, debemos mostrar que el orden de \(\sigma\) es \(k\text{.}\) Por el Teorema 23.1.7, sabemos que

\begin{equation*} \sigma^k( \alpha ) = \alpha^{p^{nk}} = \alpha^{p^m} = \alpha \end{equation*}

es la identidad de \(G( E/F)\text{.}\) Pero \(\sigma^r\) no puede ser la identidad para \(1 \leq r \lt k\text{;}\) de lo contrario, \(x^{p^{nr}} - x\) tendría \(p^m\) raíces, lo que es imposible.

Podemos ahora confirmar que el grupo de Galois de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\) en el Ejemplo 23.1.4 es isomorfo a \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Por cierto, el grupo \(H = \{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) es un subgrupo de \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\text{;}\) pero, \(H\) debe ser todo \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\text{,}\) pues

\begin{equation*} |H| = [{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q}] = |G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})| = 4. \end{equation*}

Calculemos el grupo de Galois de

\begin{equation*} f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \end{equation*}

sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Sabemos que \(f(x)\) es irreducible por el Ejercicio 17.4.20 en el Capítulo 17. Más aún, como \((x -1)f(x) = x^5 -1\) podemos usar el Teorema de DeMoivre para determinar que las raíces de \(f(x)\) son \(\omega^i\text{,}\) donde \(i = 1, \ldots, 4\) y

\begin{equation*} \omega = \cos(2 \pi / 5 ) + i \sin(2 \pi / 5 ). \end{equation*}

Luego, el cuerpo de descomposición de \(f(x)\) debe ser \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\) Podemos definir automorfismos \(\sigma_i\) de \({\mathbb Q}(\omega )\) como \(\sigma_i( \omega ) = \omega^i\) para \(i = 1, \ldots, 4\text{.}\) Es fácil verificar que estos son realmente automorfismos diferentes en \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Como

\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \omega) : {\mathbb Q}] = | G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})| = 4, \end{equation*}

los \(\sigma_i\) deben ser todo \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Por lo tanto, \(G({\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})\cong {\mathbb Z}_4\) pues \(\omega\) es un generador para el grupo de Galois.

Subsección 23.1.1 Extensiones Separables

Muchos de los resultados que hemos recién demostrado dependen del hecho de que un polinomio \(f(x)\) en \(F[x]\) no tiene raíces repetidas en su cuerpo de descomposición. Es evidente que debemos saber exactamente cuándo un polinomio se factoriza como producto de factores lineales distintos en su cuerpo de descomposición. Sea \(E\) el cuerpo de descomposición de un polinomio \(f(x)\) en \(F[x]\text{.}\) Supongamos que \(f(x)\) se factoriza sobre \(E\) como

\begin{equation*} f(x) = (x - \alpha_1)^{n_1} (x - \alpha_2)^{n_2} \cdots (x - \alpha_r)^{n_r} = \prod_{i = 1}^{r} (x - \alpha_i)^{n_i}. \end{equation*}

Definimos la multiplicidad de una raíz \(\alpha_i\) de \(f(x)\) como \(n_i\text{.}\) Una raíz con multiplicidad 1 se llama raíz simple. Recuerde que un polinomio \(f(x) \in F[x]\) de grado\(n\) es separable si tiene \(n\) raíces distintas en su cuerpo de descomposición \(E\text{.}\) Equivalentemente, \(f(x)\) es separable si se factoriza como producto de factores lineales diferentes sobre \(E[x]\text{.}\) Una extensión \(E\) de \(F\) es una extensión separable de \(F\) si cada elemento en \(E\) es raíz de un polinomio separable en \(F[x]\text{.}\) Recuerde además que \(f(x)\) es separable si y solo si \(\gcd( f(x), f'(x)) = 1\) (Lema 22.1.5).

Supongamos primero que \(\chr F = 0\text{.}\) Como \(\deg f'(x) \lt \deg f(x)\) y \(f(x)\) es irreducible, la única forma de que \(\gcd( f(x), f'(x)) \neq 1\) es si \(f'(x)\) es el polinomio cero; sin embargo, esto es imposible en un cuerpo de característica cero. Si \(\chr F = p\text{,}\) entonces \(f'(x)\) puede ser el polinomio cero si cada coeficiente de \(f'(x)\) es un múltiplo de \(p\text{.}\) Esto solo puede pasar si tenemos un polinomio de la forma \(f(x) = a_0 + a_1 x^p + a_2 x^{2p} + \cdots + a_n x^{np}\text{.}\)

Las extensiones de un cuerpo \(F\) de la forma \(F(\alpha)\) están entre las más fáciles de estudiar y entender. Dada una extensión de cuerpos \(E\) de \(F\text{,}\) La pregunta obvia es cuando es posible encontrar un elemento \(\alpha \in E\) tal que \(E = F( \alpha )\text{.}\) En este caso, \(\alpha\) se llama elemento primitivo. Ya sabemos que los elementos primitivos existen para ciertas extensiones. Por ejemplo,

\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) \end{equation*}

y

\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i ) = {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i ). \end{equation*}

El Corolario 22.1.12 nos dice que existe un elemento primitivo para cualquier extensión finita de un cuerpo finito. El siguiente teorema nos dice que muchas veces es posible encontrar un elemento primitivo.

Ya sabemos que no hay problema cuando \(F\) es un cuerpo finito. Supongamos que \(E\) es una extensión finita de un cuerpo infinito. Demostraremos el resultado para \(F(\alpha, \beta)\text{.}\) El resultado general es consecuencia de éste por un simple argumento de inducción. Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) los polinomios minimales de \(\alpha\) y \(\beta\text{,}\) respectivamente. Sea \(K\) el cuerpo en que tanto \(f(x)\) y \(g(x)\) se descomponen. Supongamos que \(f(x)\) tiene ceros \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) en \(K\) y que \(g(x)\) tiene ceros \(\beta = \beta_1, \ldots, \beta_m\) en \(K\text{.}\) Todos estos ceros tienen multiplicidad 1, pues \(E\) es separable sobre \(F\text{.}\) Como \(F\) es infinito, podemos encontrar \(a\) en \(F\) tal que

\begin{equation*} a \neq \frac{\alpha_i - \alpha}{\beta - \beta_j} \end{equation*}

para todo \(i\) y \(j\) con \(j \neq 1\text{.}\) Por lo tanto, \(a( \beta - \beta_j ) \neq \alpha_i - \alpha\text{.}\) Sea \(\gamma = \alpha + a \beta\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} \gamma = \alpha + a \beta \neq \alpha_i + a \beta_j; \end{equation*}

luego, \(\gamma - a \beta_j \neq \alpha_i\) para todo \(i, j\) con \(j \neq 1\text{.}\) Defina \(h(x) \in F( \gamma )[x]\) como \(h(x) = f( \gamma - ax)\text{.}\) Entonces \(h( \beta ) = f( \alpha ) = 0\text{.}\) Pero \(h( \beta_j ) \neq 0\) para \(j \neq 1\text{.}\) Luego, \(h(x)\) y \(g(x)\) tienen un solo factor común en \(F( \gamma )[x]\text{;}\) es decir, el polinomio minimal de \(\beta\) sobre \(F( \gamma )\) debe ser lineal, pues \(\beta\) es el único cero común a \(g(x)\) y \(h(x)\text{.}\) Así \(\beta \in F( \gamma )\) y \(\alpha = \gamma - a \beta\) está en \(F( \gamma )\text{.}\) Luego, \(F( \alpha, \beta ) = F( \gamma )\text{.}\)