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Sección 6.3 Teoremas de Fermat y Euler

La función \(\phi\) de Euler es la función \(\phi : {\mathbb N } \rightarrow {\mathbb N}\) definida por \(\phi(n) = 1\) para \(n=1\text{,}\) y, para \(n \gt 1\text{,}\) \(\phi(n)\) es el número de enteros positivos \(m\) con \(1 \leq m \lt n\) y \(\gcd(m,n) = 1\text{.}\)

De la Proposición 3.1.4, sabemos que el orden de \(U(n)\text{,}\) el grupo de unidades en \({\mathbb Z}_n\text{,}\) es \(\phi(n)\text{.}\) Por ejemplo, \(|U(12)| = \phi(12) = 4\) como los números que son relativamente primos con 12 son 1, 5, 7, y 11. Para cualquier primo \(p\text{,}\) \(\phi(p) = p-1\text{.}\) Enunciamos estos resultados en el siguiente teorema.

El siguiente teorema de Leonhard Euler es un resultado importante en teoría de números.

Por el Teorema 6.3.1 el orden de \(U(n)\) es \(\phi(n)\text{.}\) Así, \(a^{\phi(n)} = 1\) para todo \(a \in U(n)\text{;}\) y \(a^{\phi(n)} - 1\) es divisible por \(n\text{.}\) Por lo tanto, \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)

Si consideramos el caso especial del Teorema de Euler en el que \(n = p\) es primo y recordamos que \(\phi(p) = p - 1\text{,}\) obtenemos el siguiente resultado de Pierre de Fermat.

Sage.

Sage puede crear todos los subgrupos de un grupo, mientras el grupo no sea demasiado grande. También puede crear las clases laterales de un subgrupo.

Subsección 6.3.1 Nota Histórica

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), nacido en Torino, Italia, tenía origen franco-italiano. Su talento por las matemáticas se hizo evidente desde muy temprana edad. Leonhard Euler reconoció sus habilidades cuando Lagrange, que tenía solo 19 años, le comunicó a Euler un trabajo que había realizado en el cálculo de variaciones. Ese año fue nombrado profesor de la Real Escuela de Artillería en Torino. A los 23 llegó a la Academia de Berlín. Federico el Grande había escrito a Lagrange proclamando que el “mejor rey de Europa” debía tener al “mejor matemático en Europa” en su corte. Durante 20 años Lagrange ocupó la posición dejada por su mentor, Euler. Sus trabajos incluyen contribuciones a la teoría de números, teoría de grupos, física y mecánica, el cálculo de variaciones, la teoría de ecuaciones y las ecuaciones diferenciales. Junto con Laplace y Lavoisier, Lagrange fue una de las personas responsables de crear el sistema métrico. Lagrange tuvo una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, dejando mucho a las próximas generaciones en cuanto a ejemplos y nuevos problemas a resolver.