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Sección 18.2 Factorización en un Dominio Integral

Los componentes esenciales para la factorización de enteros son los números primos. Si \(F\) es un cuerpo, los polinomios irreducibles en \(F[x]\) tienen un rol muy similar al que tienen los números primos en el anillo de los enteros. Dado un dominio integral arbitrario, esto nos lleva a las siguientes definiciones.

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad, y sean \(a\) y \(b\) elementos en \(R\text{.}\) Decimos que \(a\) divide a \(b\text{,}\) y escribimos \(a \mid b\text{,}\) si existe un elemento \(c \in R\) tal que \(b = ac\text{.}\) Una unidad en \(R\) es un elemento que tiene inverso multiplicativo. Dos elementos \(a\) y \(b\) en \(R\) se dicen asociados si existe una unidad \(u\) en \(R\) tal que \(a = ub\text{.}\)

Sea \(D\) un dominio integral. Un elemento distinto de cero \(p \in D\) que no sea una unidad se dice irreducible si cada vez que \(p = ab\text{,}\) ya sea \(a\) o \(b\) es una unidad. Además, \(p\) es primo si cada vez que \(p \mid ab\) ya sea \(p \mid a\) o \(p \mid b\text{.}\)

Es importante notar que los elementos primos y los elementos irreducibles no siempre coinciden. Sea \(R\) el subanillo (con identidad) de \({\mathbb Q}[x, y]\) generado por \(x^2\text{,}\) \(y^2\text{,}\) y \(xy\text{.}\) Cada uno de estos elementos es irreducible en \(R\text{;}\) pero, \(xy\) no es primo, pues \(xy\) divide a \(x^2 y^2\) pero no divide a \(x^2\) ni a \(y^2\text{.}\)

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que cada entero \(n \gt 1\) puede ser factorizado como producto de números primos \(p_1 \cdots p_k\text{,}\) donde los \(p_i\) no son necesariamente distintos. También sabemos que tal factorización es única salvo el orden en que aparecen los \(p_i\text{.}\) Podemos fácilmente extender este resultado a todos los enteros. La pregunta surge sobre si tales factorizaciones son posibles en otros anillos. Generalizando esta definición, diremos que un dominio integral \(D\) es un dominio de factorización única, o DFU, si \(D\) satisface los siguientes criterios.

  1. Sea \(a \in D\) tal que \(a \neq 0\) y \(a\) no es una unidad. Entonces \(a\) puede ser escrito como producto de elementos irreducibles en \(D\text{.}\)

  2. Sea \(a = p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s\text{,}\) donde los \(p_i\) y los \(q_i\) son irreducibles. Entonces \(r=s\) y existe \(\pi \in S_r\) tal que \(p_i\) y \(q_{\pi(j)}\) son asociados para \(j = 1, \ldots, r\text{.}\)

El anillo de los enteros es un dominio de factorización única por el Teorema Fundamental de la Aritmética.

No todo dominio integral es un dominio de factorización única. El subanillo \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i\}\) de los números complejos es un dominio integral (Ejercicio 16.6.12, Capítulo 16). Sea \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) y defina \(\nu : {\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] \rightarrow {\mathbb N} \cup \{ 0 \}\) por \(\nu( z) = |z|^2 = a^2 + 3 b^2\text{.}\) Es claro que \(\nu(z) \geq 0\) con igualdad cuando \(z = 0\text{.}\) Además, de nuestro conocimiento de números complejos sabemos que \(\nu(z w) = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) Es fácil mostrar que si \(\nu(z) = 1\text{,}\) entonces \(z\) es una unidad, y que las únicas unidades de \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) son 1 y \(-1\text{.}\)

Afirmamos que 4 tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles:

\begin{equation*} 4 = 2 \cdot 2 = (1 - \sqrt{3}\, i) (1 + \sqrt{3}\, i). \end{equation*}

Debemos demostrar que cada uno de estos factores es un elemento irreducible en \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\text{.}\) Si 2 no fuera irreducible, entonces \(2 = z w\) para ciertos \(z, w\) en \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) con \(\nu( z) = \nu(w) = 2\text{.}\) Pero, no existe ningún elemento \(z\) en \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i ]\) tal que \(\nu(z) = 2\) pues la ecuación \(a^2 + 3 b^2 = 2\) no tiene solución entera. Por lo tanto, 2 es irreducible. Un argumento similar muestra que tanto \(1 - \sqrt{3}\, i\) como \(1 + \sqrt{3}\, i\) son irreducibles. Como 2 no es un múltiplo de una unidad por \(1 - \sqrt{3}\, i\) o \(1 + \sqrt{3}\, i\text{,}\) vemos que 4 tiene al menos dos factorizaciones diferentes en elementos irreducibles.

Subsección 18.2.1 Dominios de Ideales Principales

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Recordemos que un ideal principal generado por \(a \in R\) es un ideal de la forma \(\langle a \rangle = \{ ra : r \in R \}\text{.}\) Un dominio integral en el que todos los ideales son principales se llama dominio de ideales principales, o DIP.

(1) Supongamos que \(a \mid b\text{.}\) Entonces \(b = ax\) para algún \(x \in D\text{.}\) Luego, para cada \(r\) en \(D\text{,}\) \(br =(ax)r = a(xr)\) y \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Recíprocamente, supongamos que \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Entonces \(b \in \langle a \rangle\text{.}\) Concluimos que, \(b =a x\) para algún \(x \in D\text{.}\) Es decir, \(a \mid b\text{.}\)

(2) Como \(a\) y \(b\) son asociados, existe una unidad \(u\) tal que \(a = u b\text{.}\) Por lo tanto, \(b \mid a\) y \(\langle a \rangle \subset \langle b \rangle\text{.}\) Similarmente, \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) En consecuencia \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Recíprocamente, supongamos que \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Por la parte (1), \(a \mid b\) y \(b \mid a\text{.}\) Entonces \(a = bx\) y \(b = ay\) para ciertos \(x, y \in D\text{.}\) Por lo tanto, \(a = bx = ayx\text{.}\) Como \(D\) es un dominio integral, \(x y =1\text{;}\) es decir, \(x\) e \(y\) son unidades y \(a\) y \(b\) son asociados.

(3) Un elemento \(a \in D\) es una unidad si y solo si \(a\) es un asociado de 1. Pero, \(a\) es un asociado de 1 si y solo si \(\langle a \rangle = \langle 1 \rangle = D\text{.}\)

Supongamos que \(\langle p \rangle\) es un ideal maximal. Si algún elemento \(a\) en \(D\) divide a \(p\text{,}\) entonces \(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Como \(\langle p \rangle\) es maximal, ya sea \(D = \langle a \rangle\) o \(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) En otras palabras, ya sea \(a\) y \(p\) son asociados o \(a\) es una unidad. Por lo tanto, \(p\) es irreducible.

Recíprocamente, sea \(p\) irreducible. Si \(\langle a \rangle\) es un ideal en \(D\) tal que \(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle \subset D\text{,}\) entonces \(a \mid p\text{.}\) Como \(p\) es irreducible, ya sea \(a\) es una unidad o \(a\) y \(p\) son asociados. Por lo tanto, ya sea \(D = \langle a \rangle\) o \(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) Concluimos que \(\langle p \rangle\) es un ideal maximal.

Sea \(p\) un irreducible y supongamos que \(p \mid ab\text{.}\) Entonces \(\langle ab \rangle \subset \langle p \rangle\text{.}\) Por el Corolario 16.4.6, como \(\langle p \rangle\) es un ideal maximal, \(\langle p \rangle\) también es un ideal primo. Luego, ya sea \(a \in \langle p \rangle\) o \(b \in \langle p \rangle\text{.}\) En otras palabras, ya sea \(p \mid a \) o \(p \mid b\text{.}\)

Afirmamos que \(I= \bigcup_{i=1}^\infty I_i\) es un ideal de \(D\text{.}\) Ciertamente \(I\) no es vacío, pues \(I_1 \subset I\) y \(0 \in I\text{.}\) Si \(a, b \in I\text{,}\) entonces \(a \in I_i\) y \(b \in I_j\) para ciertos \(i\) y \(j\) en \({\mathbb N}\text{.}\) Sin pérdida de generalidad podemos suponer que \(i \leq j\text{.}\) Entonces, \(a\) y \(b\) están ambos en \(I_j\) de manera que \(a - b\) también está en \(I_j\text{.}\) Ahora sea \(r \in D\) y \(a \in I\text{.}\) Nuevamente, notemos que \(a \in I_i\) para algún entero positivo \(i\text{.}\) Como \(I_i\) es un ideal, \(ra \in I_i\) y \(ra\in I\text{.}\) Por lo tanto, hemos demostrado que \(I\) es un ideal en \(D\text{.}\)

Como \(D\) es un dominio de ideales principales, existe un elemento \(\overline{a} \in D\) que genera a \(I\text{.}\) Como \(\overline{a}\) está en \(I_N\) para algún \(N \in {\mathbb N}\text{,}\) sabemos que \(I_N = I = \langle \overline{a} \rangle\text{.}\) Consecuentemente, \(I_n = I_N\) para \(n \geq N\text{.}\)

Cualquier anillo conmutativo que satisfaga la condición en el Lema 18.2.7 se dice que satisface la condición de cadenas ascendentes, o CCA. Tales anillo se llaman anillos Noetherianos, en honor a Emmy Noether.

Existencia de una factorización. Sea \(D\) un DIP y sea \(a\) un elemento distinto de cero en \(D\) que no sea una unidad. Si \(a\) es irreducible, no hay más que probar. Si no, entonces existe una factorización \(a = a_1 b_1\text{,}\) donde ni \(a_1\) ni \(b_1\) son unidades. Por ende, \(\langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle\text{.}\) Por el Lema 18.2.4, sabemos que \(\langle a \rangle \neq \langle a_1 \rangle\text{;}\) de lo contrario, \(a\) y \(a_1\) serían asociados y \(b_1\) sería una unidad, lo que sería una contradicción. Ahora supongamos que \(a_1 = a_2 b_2\text{,}\) donde ni \(a_2\) ni \(b_2\) son unidades. Por el mismo argumento de antes, \(\langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle\text{.}\) Podemos continuar esta construcción para obtener una cadena ascendente de ideales

\begin{equation*} \langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle \subset \cdots. \end{equation*}

Por el Lema 18.2.7, existe un entero positivo \(N\) tal que \(\langle a_n \rangle = \langle a_N \rangle\) para todo \(n \geq N\text{.}\) En consecuencia, \(a_N\) debe ser irreducible. Hemos mostrado que \(a\) es producto de dos elementos, uno de los cuáles tiene que ser irreducible.

Ahora supongamos que \(a = c_1 p_1\text{,}\) donde \(p_1\) es irreducible. Si \(c_1\) no es una unidad, podemos repetir el argumento anterior para concluir que \(\langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle\text{.}\) Ya sea \(c_1\) es irreducible o \(c_1 = c_2 p_2\text{,}\) donde \(p_2\) es irreducible y \(c_2\) no es una unidad. Continuando de esta manera, obtenemos otra cadena de ideales

\begin{equation*} \langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle \subset \langle c_2 \rangle \subset \cdots. \end{equation*}

Esta cadena debe satisfacer la condición de cadenas ascendentes; por lo tanto,

\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r \end{equation*}

para elementos irreducibles \(p_1, \ldots, p_r\text{.}\)

Unicidad de la factorización. Para mostrar la unicidad, sea

\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s, \end{equation*}

donde cada \(p_i\) y cada \(q_i\) es irreducible. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(r \lt s\text{.}\) Como \(p_1\) divide a \(q_1 q_2 \cdots q_s\text{,}\) por el Corolario 18.2.6 debe dividir a algún \(q_i\text{.}\) Reordenando los \(q_i\text{,}\) podemos suponer que \(p_1 \mid q_1\text{;}\) así, \(q_1 = u_1 p_1\) para alguna unidad \(u_1\) en \(D\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} a = p_1 p_2 \cdots p_r = u_1 p_1 q_2 \cdots q_s \end{equation*}

o

\begin{equation*} p_2 \cdots p_r = u_1 q_2 \cdots q_s. \end{equation*}

Continuando de esta manera, podemos reordenar los \(q_i\) tal que \(p_2 = u_2q_2, p_3 = u_3q_3, \ldots, p_r = u_rq_r\text{,}\) y obtener

\begin{equation*} u_1 u_2 \cdots u_r q_{r+1} \cdots q_s = 1. \end{equation*}

En este caso \(q_{r + 1} \cdots q_s\) es una unidad, lo que contradice el hecho de que \(q_{r + 1}, \ldots, q_s\) son irreducibles. Por lo tanto, \(r = s\) y la factorización de \(a\) es única.

Todo DIP es un DFU, pero no todo DFU es un DIP. En el Corolario 18.2.24, demostraremos que \({\mathbb Z}[x]\) es un DFU. Pero, \({\mathbb Z}[x]\) no es un DIP. Sea \(I = \{ 5 f(x) + x g(x) : f(x), g(x) \in {\mathbb Z}[x] \}\text{.}\) Podemos mostrar fácilmente que \(I\) es un ideal de \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Supongamos que \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Como \(5 \in I\text{,}\) \(5 = f(x) p(x)\text{.}\) En este caso \(p(x) = p\) debe ser una constante. Como \(x \in I\text{,}\) \(x = p g(x)\text{;}\) luego, \(p = \pm 1\text{.}\) Pero, de esto concluimos que \(\langle p(x) \rangle = {\mathbb Z}[x]\text{.}\) Pero esto diría que 3 está en \(I\text{.}\) Por lo tanto, podemos escribir \(3 = 5 f(x) + x g(x)\) para ciertos \(f(x)\) y \(g(x)\) en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Examinando el término constante de este polinomio, vemos que \(3 = 5 f(x)\text{,}\) lo que es imposible.

Subsección 18.2.2 Dominios Euclideanos

Hemos usado de forma repetida el algoritmo de la división para probar resultados tanto sobre \({\mathbb Z}\) como sobre \(F[x]\text{,}\) donde \(F\) es un cuerpo. Nos preguntamos ahora cuándo es que existe un algoritmo de la división para un dominio integral.

Sea \(D\) un dominio integral tal que para cada \(a \in D\) existe un entero no negativo \(\nu(a)\) que satisface las siguientes condiciones.

  1. Si \(a\) y \(b\) son elementos distintos de cero en \(D\text{,}\) entonces \(\nu(a) \leq \nu(ab)\text{.}\)

  2. Sean \(a, b \in D\) y supongamos que \(b \neq 0\text{.}\) Entonces existen elementos \(q, r \in D\) tales que \(a = bq + r\) y ya sea \(r=0\) o \(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\)

Entonces \(D\) se llama dominio Euclideano y \(\nu\) se llama valuación Euclideana.

El valor absoluto en \({\mathbb Z}\) es una valuación Euclideana.

Sea \(F\) un cuerpo. Entonces el grado de un polinomio en \(F[x]\) es una valuación Euclideana.

Los enteros Gaussianos en el Ejemplo 16.2.1 del Capítulo 16 están definidos como

\begin{equation*} {\mathbb Z}[i] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \}. \end{equation*}

Usualmente medimos el tamaño de un número complejo \(a + bi\) por su valor absoluto, \(|a + bi| = \sqrt{ a^2 + b^2}\text{;}\) pero, \(\sqrt{a^2 + b^2}\) podría no ser un entero. Como valuación elegiremos \(\nu(a + bi) = a^2 + b^2\) para asegurarnos de tener un entero.

Afirmamos que \(\nu( a+ bi) = a^2 + b^2\) es una valuación Euclideana en \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Sean \(z, w \in {\mathbb Z}[i]\text{.}\) Entonces \(\nu( zw) = |zw|^2 = |z|^2 |w|^2 = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) Como \(\nu(z) \geq 1\) para todo \(z \in {\mathbb Z}[i]\) distinto de cero, \(\nu( z) \leq \nu(z) \nu(w)\text{.}\)

A continuación, debemos mostrar que para cualquiera \(z= a+bi\) y \(w = c+di\) en \({\mathbb Z}[i]\) con \(w \neq 0\text{,}\) existen elementos \(q\) y \(r\) en \({\mathbb Z}[i]\) tales que \(z = qw + r\) con ya sea \(r=0\) o \(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) Podemos considerar \(z\) y \(w\) como elementos en \({\mathbb Q}(i) = \{ p + qi : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{,}\) el cuerpo de fracciones de \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Observemos que

\begin{align*} z w^{-1} & = (a +b i) \frac{c -d i}{c^2 + d^2}\\ & = \frac{ac + b d}{c^2 + d^2} + \frac{b c -ad}{c^2 + d^2}i\\ & = \left( m_1 + \frac{n_1}{c^2 + d^2} \right) + \left( m_2 + \frac{n_2}{c^2 + d^2} \right) i\\ & = (m_1 + m_2 i) + \left( \frac{n_1}{c^2 + d^2} + \frac{n_2}{c^2 + d^2}i \right)\\ & = (m_1 + m_2 i) + (s + ti) \end{align*}

en \({\mathbb Q}(i)\text{.}\) En los últimos pasos escribimos las partes real e imaginaria como un entero más una fracción propia. Es decir, tomamos el entero más cercano \(m_i\) tal que la parte fraccionaria satisface \(|n_i / (a^2 + b^2)| \leq 1/2\text{.}\) Por ejemplo, escribimos

\begin{align*} \frac{9}{8} & = 1 + \frac{1}{8}\\ \frac{15}{8} & = 2 - \frac{1}{8}. \end{align*}

Así, \(s\) y \(t\) son las “partes fraccionarias” de \(z w^{-1} = (m_1 + m_2 i) + (s + ti)\text{.}\) También sabemos que \(s^2 + t^2 \leq 1/4 + 1/4 = 1/2\text{.}\) Multiplicando por \(w\text{,}\) tenemos

\begin{equation*} z = z w^{-1} w = w (m_1 + m_2 i) + w (s + ti) = q w + r, \end{equation*}

donde \(q = m_1 + m_2 i\) y \(r = w (s + ti)\text{.}\) Como \(z\) y \(qw\) están en \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) \(r\) también está en \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Finalmente, dedemos mostrar que ya sea \(r = 0\) o \(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) Pero,

\begin{equation*} \nu(r) = \nu(w) \nu(s + ti) \leq \frac{1}{2} \nu(w) \lt \nu(w). \end{equation*}

Sea \(D\) un dominio Euclideano y sea \(\nu\) una valuación Euclideana en \(D\text{.}\) Supongamos que \(I\) es un ideal no trivial en \(D\) y escojamos un elemento \(b \in I\) distinto de cero tal que \(\nu(b)\) es minimal entre todos los \(a \in I\) distintos de cero. Para cualquier \(a \in I\) distinto de cero, como \(D\) es un dominio Euclideano, existen elementos \(q\) y \(r\) en \(D\) tales que \(a = bq +r\) y ya sea \(r=0\) o \(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\) Pero \(r = a - bq\) está en \(I\) pues \(I\) es un ideal; por lo tanto, \(r = 0\) por la minimalidad de \(b\text{.}\) Concluimos que \(a = bq\) y que \(I = \langle b \rangle\text{.}\)

Subsección 18.2.3 Factorización en \(D\lbrack x \rbrack\)

Uno de los anillos de polinomios más importantes es \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Una de las primeras preguntas que surgen es si \({\mathbb Z}[x]\) es o no un DFU. Demostraremos un resultado más general. Primero obtendremos una generalización del Lema de Gauss (Teorema 17.3.4).

Sea \(D\) un dominio de factorización única y supongamos que

\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}

en \(D[x]\text{.}\) Entonces, el contenido de \(p(x)\) es el máximo común divisor de \(a_0, \ldots, a_n\text{.}\) Decimos que \(p(x)\) es primitivo si \(\gcd(a_0, \ldots, a_n ) = 1\text{.}\)

En \({\mathbb Z}[x]\) el polinomio \(p(x)= 5 x^4 - 3 x^3 + x -4\) es un polinomio primitivo pues el máximo común divisor de sus coeficientes es 1; pero, el polinomio \(q(x) = 4 x^2 - 6 x + 8\) no es primitivo pues el contenido de \(q(x)\) es 2.

Sean \(f(x) = \sum_{i=0}^{m} a_i x^i\) y \(g(x) = \sum_{i=0}^{n} b_i x^i\text{.}\) Supongamos que \(p\) es un primo que divide a todos los coeficientes de \(f(x) g(x)\text{.}\) Sea \(r\) el menor entero tal que \(p \notdivide a_r\) y \(s\) el menor entero tal que \(p \notdivide b_s\text{.}\) El coeficiente de \(x^{r+s}\) en \(f(x) g(x)\) es

\begin{equation*} c_{r + s} = a_0 b_{r + s} + a_1 b_{r + s - 1} + \cdots + a_{r + s - 1} b_1 + a_{r + s} b_0. \end{equation*}

Como \(p\) divide a \(a_0, \ldots, a_{r-1}\) y \(b_0, \ldots, b_{s-1}\text{,}\) \(p\) divide a cada término de \(c_{r+s}\) excepto por el término \(a_r b_s\text{.}\) Pero, como \(p \mid c_{r+s}\text{,}\) ya sea \(p\) divide a \(a_r\) o \(p\) divide a \(b_s\) lo que es imposible.

Sean \(p(x) = c p_1(x)\) y \(q(x) = d q_1(x)\text{,}\) donde \(c\) y \(d\) son los contenidos de \(p(x)\) y \(q(x)\text{,}\) respectivamente. Entonces \(p_1(x)\) y \(q_1(x)\) son primitivos. Podemos ahora escribir \(p(x) q(x) = c d p_1(x) q_1(x)\text{.}\) Como \(p_1(x) q_1(x)\) es primitivo, el contenido de \(p(x) q(x)\) es \(cd\text{.}\)

Sean \(a\) y \(b\) elementos distintos de cero en \(D\) tales que \(a f(x), b g(x)\) están en \(D[x]\text{.}\) Podemos encontrar \(a_1, b_2 \in D\) tales que \(a f(x) = a_1 f_1(x)\) y \(b g(x) = b_1 g_1(x)\text{,}\) donde \(f_1(x)\) y \(g_1(x)\) son polinomios primitivos en \(D[x]\text{.}\) Por lo tanto, \(a b p(x) = (a_1 f_1(x))( b_1 g_1(x))\text{.}\) Como \(f_1(x)\) y \(g_1(x)\) son polinomios primitivos, debemos tener que \(ab \mid a_1 b_1\) por el Lema de Gauss. Así, existe un \(c \in D\) tal que \(p(x) = c f_1(x) g_1(x)\text{.}\) Claramente, \(\deg f(x) = \deg f_1(x)\) y \(\deg g(x) = \deg g_1(x)\text{.}\)

Los siguientes corolarios son consecuencia directa del Lema 18.2.19.

Sea \(p(x)\) un polinomio distinto de cero en \(D[x]\text{.}\) Si \(p(x)\) es un polinomio constante, entonces tiene una factorización única pues \(D\) es un DFU. Ahora supongamos que \(p(x)\) es un polinomio de grado positivo en \(D[x]\text{.}\) Sea \(F\) el cuerpo de fracciones de \(D\text{,}\) y sea \(p(x) = f_1(x) f_2(x) \cdots f_n(x)\) una factorización de \(p(x)\text{,}\) donde cada \(f_i(x)\) es irreducible. Escojamos \(a_i \in D\) tales que \(a_i f_i(x)\) esté en \(D[x]\text{.}\) Existen \(b_1, \ldots, b_n \in D\) tales que \(a_i f_i(x) = b_i g_i(x)\text{,}\) donde \(g_i(x)\) es un polinomio primitivo en \(D[x]\text{.}\) Por el Corolario 18.2.20, cada \(g_i(x)\) es irreducible en \(D[x]\text{.}\) Así, podemos escribir

\begin{equation*} a_1 \cdots a_n p(x) = b_1 \cdots b_n g_1(x) \cdots g_n(x). \end{equation*}

Sea \(b = b_1 \cdots b_n\text{.}\) Como \(g_1(x) \cdots g_n(x)\) es primitivo, \(a_1 \cdots a_n\) divide a \(b\text{.}\) Por lo tanto, \(p(x) = a g_1(x) \cdots g_n(x)\text{,}\) donde \(a \in D\text{.}\) Como \(D\) es un DFU, podemos factorizar \(a\) como \(u c_1 \cdots c_k\text{,}\) donde \(u\) es una unidad y cada uno de los \(c_i\) es irreducible en \(D\text{.}\)

Ahora mostraremos la unicidad de esta factorización. Sean

\begin{equation*} p(x) = a_1 \cdots a_m f_1(x) \cdots f_n(x) = b_1 \cdots b_r g_1(x) \cdots g_s(x) \end{equation*}

dos factorizaciones de \(p(x)\text{,}\) donde todos los factores son irreducibles en \(D[x]\text{.}\) Por el Corolario 18.2.20, cada uno de los \(f_i\) y de los \(g_i\) es irreducible en \(F[x]\text{.}\) Los \(a_i\) y los \(b_i\) son unidades en \(F\text{.}\) Como \(F[x]\) es un DIP, es un DFU; por lo tanto, \(n=s\text{.}\) Reordenamos los \(g_i(x)\) de manera que \(f_i(x)\) y \(g_i(x)\) sean asociados para \(i = 1, \ldots, n\text{.}\) Entonces existen \(c_1, \ldots, c_n\) y \(d_1, \ldots, d_n\) en \(D\) tales que \((c_i / d_i) f_i(x) = g_i(x)\) o \(c_i f_i(x) = d_i g_i(x)\text{.}\) Los polinomios \(f_i(x)\) y \(g_i(x)\) son primitivos; luego, \(c_i\) y \(d_i\) son asociados en \(D\text{.}\) Así, \(a_1 \cdots a_m = u b_1 \cdots b_r\) en \(D\text{,}\) donde \(u\) es una unidad en \(D\text{.}\) Como \(D\) es un dominio de factorización única, \(m = s\text{.}\) Finalmente, podemos reordenar los \(b_i\) de manera que \(a_i\) y \(b_i\) sean asociados para cada \(i\text{.}\) Esto completa la parte de unicidad de la demostración.

El teorema que acabamos de demostrar tiene varios corolarios obvios pero importantes.

Nota 18.2.26.

Es importante destacar que todo dominio Euclideano es un DIP y que todo DIP es un DFU. Sin embargo, como hemos demostrado con ejemplos, los recíprocos de cada una de estas aseveraciones son falsos. Existen dominios de ideales principales que no son dominios Euclideanos, y existen dominios de factorización única que no son dominios de ideales principales (\({\mathbb Z}[x]\)).

Sage.

Sage permite diferenciar entre anillos en general, dominios, dominios de ideales principales y cuerpos. Todo suele ir bien con las construcciones y los cálculos con DIP's, pero las cosas se pueden complicar bastante (computacionalmente) cuando el anillo tiene menos estructura. No todas las preguntas se pueden contestar con Sage en este contexto más general.

Subsección 18.2.4 Nota Histórica

Karl Friedrich Gauss, nació en Brunswick, Alemania el 30 de Abril de 1777 y es considerado uno de los matemáticos más importantes de la historia. Gauss fue realmente un niño prodigio. A los tres años pudo detectar errores en los libros de contabilidad del negocio de su padre. Gauss entró a la universidad a los 15 años. Antes de los 20, Gauss fue capaz de cosntruir un heptadecágono regular con regla y compás. Esta fue la primera construcción nueva de un \(n\)-ágono regular desde el tiempo de la Grecia Antigua. Gauss pudo demostrar que si \(N= 2^{2^n} + 1\) es primo, entonces es posible construir un polígono regular de \(N\) lados usando regla y compás.

Gauss obtuvo su doctorado en 1799 bajo la dirección de Pfaff en la Universidad de Helmstedt. En su tesis fue el primero en dar una demostración completa del Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos puede ser factorizado completamente sobre los números complejos. La aceptación de los números complejos fue liderada por Gauss, quien fue el primero en usar la notación \(i\) para \(\sqrt{-1}\text{.}\)

A continuación Gauss se dedicó a la teoría de números; en 1801, publicó su famoso libro de teoría de números, Disquisitiones Arithmeticae. Durante toda su vida estuvo interesado por esta rama de las matemáticas. Alguna vez escribió que, “la Matemática es la reina de las Ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas.”

En 1807, Gauss fue nombrado director del Observatorio en la Universidad de Göttingen, cargo que mantuvo hasta su muerte. En este cargo tuvo que estudiar aplicaciones de las matemáticas a las ciencias. Realizó contribuciones a campos como astronomía, mecánica, óptica, geodesia y magnetismo. Junto a Wilhelm Weber, fue coinventor del primer telégrafo eléctrico práctico algunos años antes de que una versión mejor fuera inventada por Samuel F. B. Morse.

Gauss fue claramente el matemático más prominente de comienzos del siglo XIX. Su estatus lo sometió naturalmente a un intenso escrutinio. La personalidad fría y distante de Gauss lo llevó muchas veces a ignorar el trabajo de su contemporáneos, creándole muchos enemigos. No le gustaba mucho hacer clases, y jóvenes que buscaban su apoyo, eran rechazados con frecuencia. Sin embargo, tuvo muchos discípulos sobresalientes, incluyendo a Eisenstein, Riemann, Kummer, Dirichlet, y Dedekind. Gauss también apoyó decididamente a Sophie Germain (1776–1831), que tuvo que sobrepasar los muchos obstáculos que existían en su tiempo en el camino de una mujer para convertirse en una prestigiosa matemática. Gauss murió a los 78 años en Göttingen el 23 de Febrero 23 de 1855.