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Sección 10.1 Grupos Cociente y Subgrupos Normales

Subsección 10.1.1 Subgrupos Normales

Un subgrupo \(H\) de un grupo \(G\) es normal en G si \(gH = Hg\) para todo \(g \in G\text{.}\) Es decir, un subgrupo normal de un grupo \(G\) es un subgrupo para el que las clases laterales derechas e izquierdas coinciden.

Sea \(G\) un grupo abeliano. Todo subgrupo \(H\) de \(G\) es un subgrupo normal. Como \(gh = hg\) para todo \(g \in G\) y \(h \in H\text{,}\) siempre se cumple que \(gH = Hg\text{.}\)

Sea \(H\) el subgrupo de \(S_3\) que consiste de los elementos \((1)\) y \((12)\text{.}\) Como

\begin{equation*} (123) H = \{ (123), (13) \} \quad \text{y} \quad H (123) = \{ (123), (23) \}, \end{equation*}

\(H\) no puede ser un subgrupo normal de \(S_3\text{.}\) Sin embargo, el subgrupo \(N\text{,}\) que consiste de las permutaciones \((1)\text{,}\) \((123)\text{,}\) y \((132)\text{,}\) es normal pues las clases laterales de \(N\) son

\begin{gather*} N = \{ (1), (123), (132) \}\\ (12) N = N (12) = \{ (12), (13), (23) \}. \end{gather*}

El siguiente teorema es fundamental para nuestra comprensión de los subgrupo normales.

(1) \(\Rightarrow\) (2). Como \(N\) es normal en \(G\text{,}\) \(gN = Ng\) para todo \(g \in G\text{.}\) Luego, para un \(g \in G\) dado y para \(n \in N\text{,}\) existe \(n'\) en \(N\) tal que \(g n = n' g\text{.}\) Por lo tanto, \(gng^{-1} = n' \in N\) y \(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)

(2) \(\Rightarrow\) (3). Sea \(g \in G\text{.}\) Como \(gNg^{-1} \subset N\text{,}\) solo debemos demostrar que \(N \subset gNg^{-1}\text{.}\) Para \(n \in N\text{,}\) \(g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}\) Luego, \(g^{-1}ng = n'\) para algún \(n' \in N\text{.}\) Por lo tanto, \(n = g n' g^{-1}\) está en \(g N g^{-1}\text{.}\)

(3) \(\Rightarrow\) (1). Supongamos que \(gNg^{-1} = N\) para todo \(g \in G\text{.}\) Entonces para cualquier \(n \in N\) existe \(n' \in N\) tal que \(gng^{-1} = n'\text{.}\) Por lo tanto, \(gn = n' g\) y \(gN \subset Ng\text{.}\) Similarmente, \(Ng \subset gN\text{.}\)

Subsección 10.1.2 Grupos cociente

Si \(N\) es un subgrupo normal de un grupo \(G\text{,}\) entonces las clases laterales de \(N\) en \(G\) forman un grupo \(G/N\) con la operación \((aN) (bN) = abN\text{.}\) Este grupo se llama cociente de \(G\) por \(N\text{.}\) Nuestra primera tarea es demostrar que \(G/N\) es realmente un grupo.

La operación de grupo en \(G/N\) es \((a N ) (b N)= a b N\text{.}\) Debemos verificar que esta operación está bien definida; es decir, el producto en el grupo debe ser independiente de la elección de representantes para las clases laterales. Sean \(aN = bN\) y \(cN = dN\text{.}\) Debemos mostrar que

\begin{equation*} (aN) (cN) = acN = bd N = (b N)(d N). \end{equation*}

Entonces \(a = b n_1\) y \(c = d n_2\) para algún \(n_1\) y algún \(n_2\) en \(N\text{.}\) Luego,

\begin{align*} acN & = b n_1 d n_2 N\\ & = b n_1 d N\\ & = b n_1 N d\\ & = b N d\\ & = b d N. \end{align*}

El resto del teorema es fácil: \(eN = N\) es la identidad y \(g^{-1} N\) es el inverso de \(gN\text{.}\) El orden de \(G/N\) es, por supuesto, el número de clases laterales de \(N\) en \(G\text{.}\)

Es muy importante recordar que los elementos de un grupo cociente son conjuntos de elementos en el grupo original.

Considere el subgrupo normal de \(S_3\text{,}\) \(N = \{ (1), (123), (132) \}\text{.}\) Las clases laterales de \(N\) en \(S_3\) son \(N\) y \((12) N\text{.}\) El grupo cociente \(S_3 / N\) tiene la siguiente tabla de multiplicación.

\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & N & (12) N \\ \hline N & N & (12) N \\ (12) N & (12) N & N \end{array} \end{equation*}

Este grupo es isomorfo a \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Al inicio, multiplicar clases laterales puede parecer complicado y extraño; sin embargo, note que \(S_3 / N\) es un grupo más pequeño. El grupo cociente entrega cierta información acerca de \(S_3\text{.}\) En realidad, \(N = A_3\text{,}\) es el conjunto de permutaciones pares, y \((12) N = \{ (12), (13), (23) \}\) es el conjunto de permutaciones impares. La información capturada en \(G/N\) es la paridad; es decir, multiplicar dos elementos pares o dos elementos impares resulta en una permutación par, mientra que multiplicar un elemento par con un impar resulta en una permutación impar.

Considere el subgrupo normal \(3 {\mathbb Z}\) de \({\mathbb Z}\text{.}\) Las clases laterales de \(3 {\mathbb Z}\) en \({\mathbb Z}\) son

\begin{align*} 0 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\\ 1 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -2, 1, 4, 7, \ldots \}\\ 2 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -1, 2, 5, 8, \ldots \}. \end{align*}

El grupo \({\mathbb Z}/ 3 {\mathbb Z}\) está dado por la tabla de multiplicación de más abajo.

\begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} + & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\\hline 0 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\ 1 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} \\ 2 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} \end{array} \end{equation*}

En general, el subgrupo \(n {\mathbb Z}\) de \({\mathbb Z}\) es normal. Las clases laterales de \({\mathbb Z } / n {\mathbb Z}\) son

\begin{gather*} n {\mathbb Z}\\ 1 + n {\mathbb Z}\\ 2 + n {\mathbb Z}\\ \vdots\\ (n-1) + n {\mathbb Z}. \end{gather*}

La suma de clases laterales \(k + {\mathbb Z}\) y \(l + {\mathbb Z}\) es \(k+l + {\mathbb Z}\text{.}\) Note que hemos escrito las clases laterales de forma aditiva, pues la operación del grupo es la adición de enteros.

Considere el grupo dihedral \(D_n\text{,}\) generado por dos elementos \(r\) y \(s\text{,}\) que satisfacen las relaciones

\begin{align*} r^n & = \identity\\ s^2 & = \identity\\ srs & = r^{-1}. \end{align*}

El elemento \(r\) en realidad genera el subgrupo cíclico de las rotaciones, \(R_n\text{,}\) en \(D_n\text{.}\) Como \(srs^{-1} = srs = r^{-1} \in R_n\text{,}\) el grupo de rotaciones es un subgrupo normal de \(D_n\text{;}\) por lo tanto, \(D_n / R_n\) es un grupo. Como hay exactamente dos elementos en este grupo, debe ser isomorfo a \({\mathbb Z}_2\text{.}\)