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Sección 21.1 Extensiones de cuerpos

Un cuerpo \(E\) es una extensión de cuerpos de un cuerpo \(F\) si \(F\) es un subcuerpo de \(E\text{.}\) El cuerpo \(F\) se llama cuerpo base. Escribimos \(F \subset E\text{.}\)

Por ejemplo, sea

\begin{equation*} F = {\mathbb Q}( \sqrt{2}\,) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \} \end{equation*}

y sea \(E = {\mathbb Q }( \sqrt{2} + \sqrt{3}\,)\) el menor cuerpo que contiene \({\mathbb Q}\) y \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\text{.}\) Tanto \(E\) como \(F\) son extensiones de los números racionales. Afirmamos que \(E\) es una extensión del cuerpo \(F\text{.}\) Para ver esto, solo necesitamos mostrar que \(\sqrt{2}\) está en \(E\text{.}\) Como \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) está en \(E\text{,}\) \(1 / (\sqrt{2} + \sqrt{3}\,) = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) también debe estar en \(E\text{.}\) Tomando combinaciones lineales de \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) y \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\text{,}\) encontramos que tanto \(\sqrt{2}\) como \(\sqrt{3}\) deben estar en \(E\text{.}\)

Sea \(p(x) = x^2 + x + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Como ni 0 ni 1 es una raíz de este polinomio, sabemos que \(p(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Construiremos una extensión del cuerpo \({\mathbb Z}_2\) que contenga un elemento \(\alpha\) tal que \(p(\alpha) = 0\text{.}\) Por el Teorema 17.3.12, el ideal \(\langle p(x) \rangle\) generado por \(p(x)\) es maximal; luego, \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\) es un cuerpo. Sea \(f(x) + \langle p(x) \rangle\) un elemento arbitrario de \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\text{.}\) Por el algoritmo de la división,

\begin{equation*} f(x) = (x^2 + x + 1) q(x) + r(x), \end{equation*}

donde el grado de \(r(x)\) es menor al grado de \(x^2 + x + 1\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} f(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle = r(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle. \end{equation*}

Las únicas posibilidades para \(r(x)\) son entonces \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(x\text{,}\) y \(1 + x\text{.}\) En consecuencia, \(E = {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) es un cuerpo con cuatro elementos y debe ser una extensión de \({\mathbb Z}_2\text{,}\) que contiene un cero \(\alpha\) de \(p(x)\text{.}\) El cuerpo \({\mathbb Z}_2( \alpha)\) consiste de los elementos

\begin{align*} 0 + 0 \alpha & = 0\\ 1 + 0 \alpha & = 1\\ 0 + 1 \alpha & = \alpha\\ 1 + 1 \alpha & = 1 + \alpha. \end{align*}

Notemos que \({\alpha}^2 + {\alpha} + 1 = 0\text{;}\) por lo que, si calculamos \((1 + \alpha)^2\text{,}\)

\begin{equation*} (1 + \alpha)(1 + \alpha)= 1 + \alpha + \alpha + (\alpha)^2 = \alpha. \end{equation*}

Otros cálculos se realizan de forma similar. Resumimos estos resultados en las siguientes tablas, que nos dicen cómo sumar y multiplicar elementos en \(E\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ 1 & 1 & 0 & 1 + \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha & 1 + \alpha & 0 & 1 \\ 1 + \alpha & 1 + \alpha & \alpha & 1 & 0 \end{array} \end{equation*}
Cuadro 21.1.3. Tabla de sumas para \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \alpha & 0 & \alpha & 1 + \alpha & 1 \\ 1 + \alpha & 0 & 1 + \alpha & 1 & \alpha \end{array} \end{equation*}
Cuadro 21.1.4. Tabla de productos para \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)

El siguiente teorema, de Kronecker, es tan importante y básico para nuestra comprensión de los cuerpos que frecuentemente se conoce como Teorema Fundamental de la Teoría de Cuerpos.

Para demostrar este teorema, usaremos el método usado en el Ejemplo  21.1.2. Claramente, podemos suponer que \(p(x)\) es un polinomio irreducible. Queremos encontrar una extensión \(E\) de \(F\) que contenga un elemento \(\alpha\) tal que \(p(\alpha) = 0\text{.}\) El ideal \(\langle p(x) \rangle\) generado por \(p(x)\) es un ideal maximal en \(F[x]\) por el Teorema 17.3.12; luego, \(F[x]/\langle p(x) \rangle\) es un cuerpo. Afirmamos que \(E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) es el cuerpo buscado.

Demostraremos primero que \(E\) es una extensión de \(F\text{.}\) Podemos definir un homomorfismo de anillos conmutativos \(\psi:F \rightarrow F[x]/\langle p(x) \rangle\text{,}\) donde \(\psi(a) = a + \langle p(x)\rangle\) para \(a \in F\text{.}\) Es fácil verificar que \(\psi\) es realmente un homomorfismo de anillos. Observe que

\begin{equation*} \psi( a ) + \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) + (b + \langle p(x) \rangle) = (a + b) + \langle p(x) \rangle = \psi( a + b ) \end{equation*}

y

\begin{equation*} \psi( a ) \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) (b + \langle p(x) \rangle) = a b + \langle p(x) \rangle = \psi( a b ). \end{equation*}

Para demostrar que \(\psi\) es 1-1, supongamos que

\begin{equation*} a + \langle p(x) \rangle = \psi(a) = \psi(b) = b + \langle p(x) \rangle. \end{equation*}

Entonces \(a - b\) es un múltiplo de \(p(x)\text{,}\) dado que está en el ideal \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Como \(p(x)\) es un polinomio no constante, la única posibilidad es que \(a - b = 0\text{.}\) Por lo tanto, \(a = b\) y \(\psi\) es inyectivo. Como \(\psi\) es 1-1, podemos identificar \(F\) con el subcuerpo \(\{ a + \langle p(x) \rangle : a \in F \}\) de \(E\) y ver \(E\) como un cuerpo de extensión de \(F\text{.}\)

Nos falta demostrar que \(p(x)\) tiene un cero \(\alpha \in E\text{.}\) Sea \(\alpha = x + \langle p(x) \rangle\text{.}\) Entonces \(\alpha\) está en \(E\text{.}\) Si \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{,}\) entonces

\begin{align*} p( \alpha ) & = a_0 + a_1( x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + a_n ( x + \langle p(x) \rangle)^n\\ & = a_0 + ( a_1 x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + (a_n x^n + \langle p(x) \rangle)\\ & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \langle p(x) \rangle\\ & = 0 + \langle p(x) \rangle. \end{align*}

Por lo tanto, hemos encontrado un elemento \(\alpha \in E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) tal que \(\alpha\) es un cero de \(p(x)\text{.}\)

Sea \(p(x) = x^5 + x^4 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Entonces \(p(x)\) tiene factores irreducibles \(x^2 + x + 1\) y \(x^3 + x + 1\text{.}\) Para un cuerpo de extensión \(E\) de \({\mathbb Z}_2\) tal que \(p(x)\) tenga una raíz en \(E\text{,}\) podemos tomar \(E\) como \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) o como \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\text{.}\) Dejaremos de ejercicio mostrar que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) es un cuerpo con \(2^3=8\) elementos.

Subsección 21.1.1 Elementos Algebraicos

Un elemento \(\alpha\) en una extensión de cuerpos \(E\) sobre \(F\) es algebraico sobre \(F\) si \(f(\alpha)=0\) para algún polinomio no nulo \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Un elemento en \(E\) que no es algebraico sobre \(F\) es trascendente sobre \(F\text{.}\) Un cuerpo de extensión \(E\) de un cuerpo \(F\) es una extensión algebraica de \(F\) si cada elemento en \(E\) es algebraico sobre \(F\text{.}\) Si \(E\) es una extensión de cuerpos de \(F\) y \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) están contenidos en \(E\text{,}\) denotamos por \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) al menor cuerpo que contiene \(F\) y \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\text{.}\) Si \(E = F( \alpha )\) para cierto \(\alpha \in E\text{,}\) entonces \(E\) es una extensión simple de \(F\text{.}\)

Tanto \(\sqrt{2}\) como \(i\) son algebraicos sobre \({\mathbb Q}\) pues son ceros de los polinomios \(x^2 -2\) y \(x^2 + 1\text{,}\) respectivamente. Claramente \(\pi\) y \(e\) son algebraicos sobre los números reales; sin embargo, es un hecho que son trascendentes sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Números en \({\mathbb R}\) que sean algebraicos sobre \({\mathbb Q}\) son minoría. Casi todos los números reales son trascendentes sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) 1 La probabilidad de que un número real elegido al azar en el intervalo \([0, 1]\) sea trascendente sobre los números racionales es uno. (En muchos casos no se sabe si un número específico es trascendente o no; por ejemplo aún no se sabe si \(\pi + e\) es trascendente o algebraico.)

Un número complejo que sea algebraico sobre \({\mathbb Q}\) es un número algebraico. Un número trascendente es un elemento de \({\mathbb C}\) que es trascendente sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

Mostraremos que \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\) es algebraico sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Si \(\alpha = \sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{,}\) entonces \(\alpha^2 = 2 + \sqrt{3}\text{.}\) Por lo tanto, \(\alpha^2 - 2 = \sqrt{3}\) y \(( \alpha^2 - 2)^2 = 3\text{.}\) Como \(\alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0\text{,}\) debe ocurrir que \(\alpha\) es un cero del polinomio \(x^4 - 4 x^2 + 1 \in {\mathbb Q}[x]\text{.}\)

Es muy fácil dar un ejemplo de una extensión de cuerpos \(E\) sobre un cuerpo \(F\text{,}\) tal que \(E\) contenga un elemento trascendente sobre \(F\text{.}\) El siguiente teorema caracteriza las extensiones trascendentes.

Sea \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) el homomorfismo de evaluación en \(\alpha\text{.}\) Entonces \(\alpha\) es trascendente sobre \(F\) si y solo si \(\phi_{\alpha} (p(x)) = p(\alpha) \neq 0\) para todo polinomio no constante \(p(x) \in F[x]\text{.}\) Esto es verdadero si y solo si \(\ker \phi_{\alpha} = \{ 0 \}\text{;}\) es decir, es verdadero precisamente cuando \(\phi_{\alpha}\) es 1-1. Luego, \(E\) debe contener una copia de \(F[x]\text{.}\) El menor cuerpo que contiene a \(F[x]\) es el cuerpo de fracciones \(F(x)\text{.}\) Por el Teorema 18.1.4, \(E\) debe contener una copia de este cuerpo.

Tenemos una situación más interesante para el caso de las extensiones algebraicas.

Sea \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) el homomorfismo de evaluación. El núcleo de \(\phi_{\alpha}\) es un ideal principal generado por algún polinomio \(p(x) \in F[x]\) con \(\deg p(x) \geq 1\text{.}\) Sabemos que tal polinomio existe, pues \(F[x]\) es un dominio de ideales principales y \(\alpha\) es algebraico. El ideal \(\langle p(x) \rangle\) consiste exactamente de aquellos elementos de \(F[x]\) que tienen a \(\alpha\) como cero. Si \(f( \alpha ) = 0\) y \(f(x)\) no es el polinomio nulo, entonces \(f(x) \in \langle p(x) \rangle\) y \(p(x)\) divide a \(f(x)\text{.}\) Así \(p(x)\) es un polinomio de grado mínimo que tiene a \(\alpha\) como un cero. Cualquier otro polinomio del mismo grado que se anule en \(\alpha\) debe ser de la forma \(\beta p( x)\) para cierto \(\beta \in F\text{.}\)

Supongamos ahora que \(p(x) = r(x) s(x)\) es una factorización de \(p(x)\) en factores de grado menor. Como \(p( \alpha ) = 0\text{,}\) \(r( \alpha ) s( \alpha ) = 0\text{;}\) luego, \(r( \alpha )=0\) o \(s( \alpha ) = 0\text{,}\) lo que contradice el hecho de que \(p\) es de grado mínimo. Por lo tanto, \(p(x)\) debe ser irreducible.

Sea \(E\) una extensión del cuerpo \(F\) y \(\alpha \in E\) un elemento algebraico sobre \(F\text{.}\) El polinomio mónico único \(p(x)\) del teorema anterior se llama polinomio minimal de \(\alpha\) sobre \(F\text{.}\) El grado de \(p(x)\) es el grado de \(\alpha\) sobre \(F\).

Sea \(f(x) = x^2 - 2\) y \(g(x) = x^4 - 4 x^2 + 1\text{.}\) Estos son los polinomios minimales de \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{,}\) respectivamente.

Sea \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) el homomorfismo de evaluación. El núcleo de esta función es \(\langle p(x) \rangle\text{,}\) donde \(p(x)\) es el polinomio minimal de \(\alpha\text{.}\) Por el Primer Teorema de Isomorfía de anillos, la imagen \(\phi_{\alpha}\) en \(E\) es isomorfa a \(F( \alpha )\) pues contiene tanto a \(F\) como a \(\alpha\text{.}\)

Dado que \(\phi_{\alpha} ( F[x] ) \cong F( \alpha )\text{,}\) todo elemento en \(E = F( \alpha )\) debe ser de la forma \(\phi_{\alpha} ( f(x) ) = f( \alpha )\text{,}\) donde \(f(\alpha)\) es un polinomio en \(\alpha\) con coeficientes en \(F\text{.}\) Sea

\begin{equation*} p(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0 \end{equation*}

el polinomio minimal de \(\alpha\text{.}\) Entonces \(p( \alpha ) = 0\text{;}\) luego,

\begin{equation*} {\alpha}^n = - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0. \end{equation*}

Similarmente,

\begin{align*} {\alpha}^{n + 1} & = {\alpha} {\alpha}^n\\ & = - a_{n - 1} {\alpha}^n - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\\ & = - a_{n - 1}( - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0) - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}. \end{align*}

Continuando de esta manera, podemos expresar cualquier monomio \({\alpha}^m\text{,}\) \(m \geq n\text{,}\) como combinación lineal de potencias de \({\alpha}\) menores a \(n\text{.}\) Por lo tanto, cualquier \(\beta \in F( \alpha )\) puede ser escrito como

\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n - 1} \alpha^{n - 1}. \end{equation*}

Para mostrar la unicidad, supongamos que

\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n-1} \alpha^{n-1} = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}

para \(b_i\) y \(c_i\) en \(F\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} g(x) = (b_0 - c_0) + (b_1 - c_1) x + \cdots + (b_{n - 1} - c_{n - 1})x^{n - 1} \end{equation*}

está en \(F[x]\) y \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Como el grado de \(g(x)\) es menor que el grado de \(p( x )\text{,}\) el polinomio irreducible de \(\alpha\text{,}\) \(g(x)\) debe ser el polinomio nulo. Concluimos,

\begin{equation*} b_0 - c_0 = b_1 - c_1 = \cdots = b_{n - 1} - c_{n - 1} = 0, \end{equation*}

es decir, \(b_i = c_i\) para \(i = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Hemos demostrado la unicidad.

Como \(x^2 + 1\) es irreducible sobre \({\mathbb R}\text{,}\) \(\langle x^2 + 1 \rangle\) es un ideal maximal en \({\mathbb R}[x]\text{.}\) Así \(E = {\mathbb R}[x]/\langle x^2 + 1 \rangle\) es una extensión de cuerpos de \({\mathbb R}\) que contiene una raíz de \(x^2 + 1\text{.}\) Sea \(\alpha = x + \langle x^2 + 1 \rangle\text{.}\) Podemos identificar \(E\) con lo números complejos. Por Proposición  21.1.12, \(E\) es isomorfo a \({\mathbb R}( \alpha ) = \{ a + b \alpha : a, b \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Sabemos que \(\alpha^2 = -1\) en \(E\text{,}\) dado que

\begin{align*} \alpha^2 + 1 & = (x + \langle x^2 + 1 \rangle)^2 + (1 + \langle x^2 + 1 \rangle)\\ & = (x^2 + 1) + \langle x^2 + 1 \rangle\\ & = 0. \end{align*}

Luego, tenemos un isomorfismo de \({\mathbb R}( \alpha )\) con \({\mathbb C}\) definido por la función que envía \(a + b \alpha\) a \(a + bi\text{.}\)

Sea \(E\) una extensión de un cuerpo \(F\text{.}\) Si consideramos \(E\) como un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) entonces podemos usar toda la maquinaria de álgebra lineal para trabajar en problemas que encontremos en nuestro estudio de cuerpos. Los elementos en el cuerpo \(E\) son vectores; los elementos en el cuerpo \(F\) son escalares. Podemos pensar en la adición en \(E\) como sumar vectores. Cuando multiplicamos un elemento en \(E\) por un elemento de \(F\text{,}\) estamos multiplicando un vector por un escalar. Este punto de vista para las extensiones de cuerpos es especialmente fructífero si una extensión \(E\) de \(F\) es un espacio vectorial de dimensión finita sobre \(F\text{,}\) y el Teorema 21.1.13 dice que \(E = F(\alpha )\) es de dimensión finita sobre \(F\) con base \(\{ 1, \alpha, {\alpha}^2, \ldots, {\alpha}^{n - 1} \}\text{.}\)

Si un cuerpo de extensión \(E\) de un cuerpo \(F\) es un espacio vectorial sobre \(F\) de dimensión finita \(n\text{,}\) entonces diremos que \(E\) es una extensión de grado finito \(n\) sobre \(F\). Escribiremos

\begin{equation*} [E:F]= n. \end{equation*}

para indicar la dimensión de \(E\) sobre \(F\text{.}\)

Sea \(\alpha \in E\text{.}\) Como \([E:F] = n\text{,}\) los elementos

\begin{equation*} 1, \alpha, \ldots, {\alpha}^n \end{equation*}

no pueden ser linealmente independientes. Luego existen \(a_i \in F\text{,}\) no todos cero, tales que

\begin{equation*} a_n {\alpha}^n + a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} + \cdots + a_1 \alpha + a_0 = 0. \end{equation*}

Por lo tanto,

\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in F[x] \end{equation*}

es un polinomio no nulo con \(p( \alpha ) = 0\text{.}\)

Nota 21.1.16.

Teorema 21.1.15 dice que toda extensión finita de un cuerpo \(F\) es una extensión algebraica. Sin embargo, el recíproco es falso. Dejaremos como un ejercicio demostrar que el conjunto de todos los elementos en \({\mathbb R}\) que son algebraicos sobre \({\mathbb Q}\) forma una extensión infinita de \({\mathbb Q}\text{.}\)

El siguiente es un teorema de conteo similar al Teorema de Lagrange en teoría de grupos. Teorema 21.1.17 probará una herramienta de gran utilidad en nuestra investigación de extensiones finitas de cuerpos.

Sea \(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}\) una base para \(E\) como espacio vectorial sobre \(F\) y sea \(\{ \beta_1, \ldots, \beta_m \}\) una base para \(K\) como espacio vectorial sobre \(E\text{.}\) Afirmamos que \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) es una base para \(K\) sobre \(F\text{.}\) Probaremos primero que estos vectores generan \(K\text{.}\) Sea \(u \in K\text{.}\) Entonces \(u = \sum_{j = 1}^{m} b_j \beta_j\) y \(b_j = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i\text{,}\) donde \(b_j \in E\) y \(a_{ij} \in F\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} u = \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = \sum_{i,j} a_{ij} ( \alpha_i \beta_j ). \end{equation*}

Así los \(mn\) vectores \(\alpha_i \beta_j\) generan \(K\) sobre \(F\text{.}\)

Debemos mostrar que los \(\alpha_i \beta_j \) son linealmente independientes. Recuerde que un conjunto de vectores \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) en un espacio vectorial \(V\) es linealmente independiente si

\begin{equation*} c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0 \end{equation*}

implica que

\begin{equation*} c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0. \end{equation*}

Sea

\begin{equation*} u = \sum_{i,j} c_{ij} ( \alpha_i \beta_j ) = 0 \end{equation*}

para \(c_{ij} \in F\text{.}\) Debemos demostrar que todos los \(c_{ij}\)'s son cero. Podemos reescribir \(u\) como

\begin{equation*} \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} c_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = 0, \end{equation*}

donde \(\sum_i c_{ij} \alpha_i \in E\text{.}\) Como los \(\beta_j\) son linealmente independientes sobre \(E\text{,}\) debe ser el caso que

\begin{equation*} \sum_{i = 1}^n c_{ij} \alpha_i = 0 \end{equation*}

para todo \(j\text{.}\) Sin embargo, los \(\alpha_j\) también son linealmente independientes sobre \(F\text{.}\) Por lo tanto, \(c_{ij} = 0\) para todo \(i\) y \(j\text{,}\) lo que completa la demostración.

El siguiente corolario se demuestra fácilmente por inducción.

Sabemos que \(\deg p(x) = [F( \alpha ) : F ]\) y \(\deg q(x) = [F( \beta ) : F ]\text{.}\) Como \(F \subset F( \beta ) \subset F( \alpha )\text{,}\)

\begin{equation*} [F( \alpha ) : F ]= [ F( \alpha ) : F( \beta ) ] [ F( \beta ) : F ]. \end{equation*}

Determinemos una extensión de cuerpos de \({\mathbb Q}\) que contenga \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\text{.}\) Es fácil determinar que el polinomio minimal de \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) es \(x^4 - 16 x^2 + 4\text{.}\) Se sigue que

\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) : {\mathbb Q} ] = 4. \end{equation*}

Sabemos que \(\{ 1, \sqrt{3}\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Luego, \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) no puede estar en \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\) Se sigue que \(\sqrt{5}\) no puede estar en \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) tampoco. Por lo tanto, \(\{ 1, \sqrt{5}\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = ( {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, ))( \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) y \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{3} \sqrt{5} = \sqrt{15}\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Este ejemplo muestra que es posible que cierta extensión \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) sea realmente una extensión simple de \(F\) aunque \(n \gt 1\text{.}\)

Calculemos una base para \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5} \, i )\text{,}\) donde \(\sqrt{5}\) es la raíz cuadrada positiva de 5 y \(\sqrt[3]{5}\) es la raíz cúbica real de 5. Sabemos que \(\sqrt{5} \, i \notin {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\text{,}\) así es que

\begin{equation*} [ {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i) : {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )] = 2. \end{equation*}

Es fácil determinar que \(\{ 1, \sqrt{5}i\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) sobre \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}\, )\text{.}\) También sabemos que \(\{ 1, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2 \}\) es una base para \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Luego, una base para \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) sobre \({\mathbb Q}\) es

\begin{equation*} \{ 1, \sqrt{5}\, i, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2, (\sqrt[6]{5}\, )^5 i, (\sqrt[6]{5}\, )^7 i = 5 \sqrt[6]{5}\, i \text{ o } \sqrt[6]{5}\, i \}. \end{equation*}

Notemos que \(\sqrt[6]{5}\, i\) es un cero de \(x^6 + 5\text{.}\) Podemos demostrar que este polinomio es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) usando el Criterio de Eisenstein, con \(p = 5\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} {\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) \subset {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i ). \end{equation*}

Pero debe ser el caso que \({\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) = {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\text{,}\) dado que ambas son extensiones de grado 6.

(1) \(\Rightarrow\) (2). Sea \(E\) una extensión algebraica finita de \(F\text{.}\) Entonces \(E\) es un espacio vectorial de dimensión finita sobre \(F\) y hay una base que consiste de elementos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) en \(E\) tales que \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{.}\) Cada \(\alpha_i\) es algebraico sobre \(F\) por el Teorema 21.1.15.

(2) \(\Rightarrow\) (3). Supongamos que \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{,}\) donde cada \(\alpha_i\) es algebraico sobre \(F\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F, \end{equation*}

donde cada cuerpo \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) es algebraico sobre \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\)

(3) \(\Rightarrow\) (1). Sea

\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F, \end{equation*}

donde cada cuerpo \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) es algebraico sobre \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\) Como

\begin{equation*} F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )(\alpha_i) \end{equation*}

es una extensión simple y \(\alpha_i\) es algebraico sobre \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{,}\) se sigue que

\begin{equation*} [ F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )] \end{equation*}

es finita para cada \(i\text{.}\) Por lo tanto, \([E : F]\) es finita.

Subsección 21.1.2 Clausura Algebraica

Dado un cuerpo \(F\text{,}\) surge la pregunta sobre si es posible encontrar un cuerpo \(E\) tal que todo polinomio \(p(x)\) tenga una raíz en \(E\text{.}\) Esto nos lleva al siguiente teorema.

Sean \(\alpha, \beta \in E\) algebraicos sobre \(F\text{.}\) Entonces \(F( \alpha, \beta )\) es una extensión finita de \(F\text{.}\) Como todo elemento de \(F( \alpha, \beta )\) es algebraico sobre \(F\text{,}\) \(\alpha \pm \beta\text{,}\) \(\alpha \beta\text{,}\) y \(\alpha / \beta\) (\(\beta \neq 0\)) son todos algebraicos sobre \(F\text{.}\) Por lo tanto, el conjunto de los elementos en \(E\) que son algebraicos sobre \(F\) forma un cuerpo.

Sea \(E\) una extensión de cuerpos de un cuerpo \(F\text{.}\) Definimos la clausura algebraica de un cuerpo \(F\) en \(E\) como el cuerpo que consiste de todos los elementos en \(E\) que son algebraicos sobre \(F\text{.}\) Un cuerpo \(F\) es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante en \(F[x]\) tiene una raíz en \(F\text{.}\)

Sea \(F\) un cuerpo algebraicamente cerrado. Si \(p(x) \in F[x]\) es un polinomio no constante, entonces \(p(x)\) tiene una raíz en \(F\text{,}\) digamos \(\alpha\text{.}\) Luego, \(x-\alpha\) debe ser un factor de \(p(x)\) de manera que \(p(x) = (x - \alpha) q_1(x)\text{,}\) donde \(\deg q_1(x) = \deg p(x) - 1\text{.}\) Continúe este proceso con \(q_1(x)\) para encontrar la factorización

\begin{equation*} p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)q_2(x), \end{equation*}

donde \(\deg q_2(x) = \deg p(x) -2\text{.}\) Este proceso debe terminar en algún momento pues el grado de \(p(x)\) es finito.

Recíprocamente, supongamos que todo polinomio no constante \(p(x)\) en \(F[x]\) se factoriza como producto de factores lineales. Sea \(ax - b\) uno de esos factores. Entonces \(p( b/a) = 0\text{.}\) Luego, \(F\) es algebraicamente cerrado.

Sea \(E\) una extensión algebraica de \(F\text{;}\) Entonces \(F \subset E\text{.}\) Para \(\alpha \in E\text{,}\) el polinomio minimal de \(\alpha\) es \(x - \alpha\text{.}\) Por lo tanto, \(\alpha \in F\) y \(F = E\text{.}\)

Es un hecho no trivial que todo cuerpo tenga una única clausura algebraica. La demostración no es demasiado difícil, pero requiere algunas herramientas más sofisticadas de teoría de conjuntos. El lector interesado puede encontrar una demostración de este hecho en [3], [4], o [8].

Enunciamos ahora el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por primera vez por Gauss a los 22 años de edad en su tesis doctoral. Este teorema dice que todo polinomio con coeficientes en los números complejos tiene una raíz en los números complejos. La demostración de este teorema se dará en el Capítulo  23.