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Sección 16.2 Dominios Integrales y Cuerpos

Recordemos algunas definiciones. Si \(R\) es un anillo y \(r\) es un elemento distinto de cero en \(R\text{,}\) entonces \(r\) se llama divisor de cero si existe un elemento distinto de cero \(s \in R\) tal que \(rs = 0\text{.}\) Un anillo conmutativo con identidad se llama dominio integral si no tiene divisores de cero. Si un elemento \(a\) en un anillo \(R\) con identidad tiene un inverso multiplicativo, decimos que \(a\) es una unidad. Si todo elemento distinto de cero en un anillo \(R\) es una unidad, entonces \(R\) se llama anillo de división. Un anillo de división conmutativo se llama cuerpo.

Si \(i^2 = -1\text{,}\) entonces el conjunto \({\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}\) forma un anillo conocido como los enteros Gaussianos. Es fácil ver que los enteros Gaussianos forman un subanillo de los números complejos pues están cerrados bajo la suma y la multiplicación. Sea \(\alpha = a + bi\) una unidad en \({\mathbb Z}[ i ]\text{.}\) Entonces \(\overline{\alpha} = a - bi\) también es una unidad pues si \(\alpha \beta = 1\text{,}\) entonces \(\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}\) Si \(\beta = c + di\text{,}\) entonces

\begin{equation*} 1 = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2). \end{equation*}

Por lo tanto, \(a^2 + b^2\) debe ser 1 o \(-1\text{;}\) y, equivalentemente, \(a + bi = \pm 1\) o \(a+ bi = \pm i\text{.}\) Por lo tanto, las unidades de este anillo son \(\pm 1\) y \(\pm i\text{;}\) luego, los enteros Gaussianos no son un cuerpo. Dejaremos como ejercicio demostrar que los enteros Gaussianos son un dominio integral.

El conjunto de las matrices

\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}

con coeficientes en \({\mathbb Z}_2\) forma un cuerpo.

El conjunto \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) es un cuerpo. El inverso de un elemento \(a + b \sqrt{2}\) en \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\) es

\begin{equation*} \frac{a}{a^2 - 2 b^2} +\frac{- b}{ a^2 - 2 b^2} \sqrt{2}. \end{equation*}

Tenemos la siguiente caracterización alternativa de los dominios integrales.

Sea \(D\) un dominio integral. Entonces \(D\) no tiene divisores de cero. Sea \(ab = ac\) con \(a \neq 0\text{.}\) Entonces \(a(b - c) =0\text{.}\) Luego, \(b - c = 0\) y \(b = c\text{.}\)

Recíprocamente, supongamos que la cancelación es posible en \(D\text{.}\) Es decir, supongamos que \(ab = ac\) implica \(b=c\text{.}\) Sea \(ab = 0\text{.}\) Si \(a \neq 0\text{,}\) entonces \(ab = a 0\) o \(b=0\text{.}\) Por lo tanto, \(a\) no puede ser un divisor de cero.

El siguiente teorema sorprendente se lo debemos a Wedderburn.

Sea \(D\) un dominio integral finito y sea \(D^\ast\) el conjunto de los elementos distintos de cero en \(D\text{.}\) Debemos mostrar que todo elemento en \(D^*\) tiene un inverso. Para cada \(a \in D^\ast\) podemos definir una función \(\lambda_a : D^\ast \rightarrow D^\ast\) como \(\lambda_a(d) = ad\text{.}\) Esta función tiene sentido, pues si \(a \neq 0\) y \(d \neq 0\text{,}\) entonces \(ad \neq 0\text{.}\) La función \(\lambda_a\) es 1-1, pues para \(d_1, d_2 \in D^*\text{,}\)

\begin{equation*} ad_1 = \lambda_a(d_1) = \lambda_a(d_2) = ad_2 \end{equation*}

implica \(d_1 = d_2\) por cancelación a la izquierda. Como \(D^\ast\) es un conjunto finito, la función \(\lambda_a\) también debe ser sobre; luego, para algún \(d \in D^\ast\text{,}\) \(\lambda_a(d) = ad = 1\text{.}\) Por lo tanto, \(a\) tiene inverso a la izquierda. Como \(D\) es conmutativo, \(d\) también es inverso a la derecha para \(a\text{.}\) Concluimos que \(D\) es un cuerpo.

Para cualquier entero no negativo \(n\) y cualquier elemento \(r\) en un anillo \(R\) escribimos \(r + \cdots + r\) (\(n\) veces) como \(nr\text{.}\) Definimos la característica de un anillo \(R\) como el menor entero positivo \(n\) tal que \(nr=0\) para todo \(r \in R\text{.}\) Si no existe tal entero, entonces la característica de \(R\) se define como 0. Denotaremos la característica de \(R\) por \(\chr R\text{.}\)

Para todo primo \(p\text{,}\) \({\mathbb Z}_p\) es un cuerpo de característica \(p\text{.}\) Por la Proposición 3.1.4, todo elemento distinto de cero en \({\mathbb Z}_p\) tiene un inverso; luego, \({\mathbb Z}_p\) es un cuerpo. Si \(a\) es un elemento distinto de cero en el cuerpo, entonces \(pa =0\text{,}\) pues el orden de cualquier elemento distinto de cero en el grupo abeliano \({\mathbb Z}_p\) es \(p\text{.}\)

Si 1 tiene orden \(n\text{,}\) entonces \(n\) es el menor entero positivo tal que \(n 1 = 0\text{.}\) Además, para todo \(r \in R\text{,}\)

\begin{equation*} nr = n(1r) = (n 1) r = 0r = 0. \end{equation*}

Por otra parte, si ningún entero positivo \(n\) existe tal que \(n1 = 0\text{,}\) entonces la característica de \(R\) es cero.

Sea \(D\) un dominio integral y supongamos que la característica de \(D\) es \(n\) con \(n \neq 0\text{.}\) Si \(n\) no es primo, entonces \(n = ab\text{,}\) con \(1 \lt a \lt n\) y \(1 \lt b \lt n\text{.}\) Pr el Lema 16.2.7, solo necesitamos considerar el caso \(n 1 = 0\text{.}\) Como \(0 = n 1 = (ab)1 = (a1)(b1)\) y no hay divisores de cero en \(D\text{,}\) ya sea \(a1 =0\) o \(b1=0\text{.}\) Luego, la característica de \(D\) debe ser menor a \(n\text{,}\) lo que es una contradicción. Por lo tanto, \(n\) debe ser primo.