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Sección 9.2 Productos Directos

Dados dos grupos \(G\) y \(H\text{,}\) se puede construir un nuevo grupo a partir del producto Cartesiano de \(G\) y \(H\text{,}\) \(G \times H\text{.}\) Recíprocamente, dado un grupo grande, a veces es posible descomponer el grupo; es decir, un grupo a veces es isomorfo al producto directo de dos grupos menores. En lugar de estudiar el grupo grande \(G\text{,}\) es usualmente más fácil estudiar los grupos componentes de \(G\text{.}\)

Subsección 9.2.1 Producto Directo Externo

Si \((G,\cdot)\) y \((H, \circ)\) son grupos, entonces podemos transformar el producto cartesiano de \(G\) y \(H\) en un nuevo grupo. Como conjunto, el grupo no es más que el conjunto de pares ordenados \((g, h) \in G \times H\) con \(g \in G\) y \(h \in H\text{.}\) Podemos definir una operación binaria en \(G \times H\) como

\begin{equation*} (g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \circ h_2); \end{equation*}

es decir, simplemente multiplicamos los elementos en la primera coordenada usando el producto en \(G\) y los elementos en la segunda coordenada usando el producto de \(H\text{.}\) Hemos especificado las operaciones particulares \(\cdot\) y \(\circ\) en cada grupo para mayor claridad; usualmente escribiremos simplemente \((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\text{.}\)

Claramente la operación binaria definida arriba es cerrada. Si \(e_G\) y \(e_H\) son las identidades de los grupos \(G\) y \(H\) respectivamente, entonces \((e_G, e_H)\) es la identidad de \(G \times H\text{.}\) El inverso de \((g, h) \in G \times H\) es \((g^{-1}, h^{-1})\text{.}\) El hecho de que la operación sea asociativa es consecuencia directa de la asociatividad de \(G\) y \(H\text{.}\)

Sea \({\mathbb R}\) el grupo de los números reales con la operación de adición. El producto cartesiano de \({\mathbb R}\) con sí mismo, \({\mathbb R} \times {\mathbb R} = {\mathbb R}^2\text{,}\) también es un grupo, en el que la operación es simplemente la suma por coordenadas; es decir, \((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\text{.}\) La identidad \((0,0)\) y el inverso de \((a, b)\) es \((-a, -b)\text{.}\)

Considere

\begin{equation*} {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 = \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1) \}. \end{equation*}

Si bien \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) y \({\mathbb Z}_4\) ambos contienen cuatro elementos, no son isomorfos. Cada elemento \((a,b)\) en \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) tiene orden 2 o 1, pues \((a,b) + (a,b) = (0,0)\text{;}\) pero, \({\mathbb Z}_4\) es cíclico.

El grupo \(G \times H\) se llama producto directo externo de \(G\) y \(H\text{.}\) Note que no hay nada especial en el hecho de haber usado solo dos grupos para formar un grupo nuevo. El producto directo

\begin{equation*} \prod_{i = 1}^n G_i = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n \end{equation*}

de los grupos \(G_1, G_2, \ldots, G_n\) se define de exactamente la misma forma. Si \(G = G_1 = G_2 = \cdots = G_n\text{,}\) escribiremos \(G^n\) en lugar de \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\text{.}\)

El grupo \({\mathbb Z}_2^n\text{,}\) considerado como conjunto, es simplemente el conjunto de todas las \(n\)-tuplas binarias. La operación del grupo es el “o exclusivo” de dos \(n\)-tuplas binarias. Por ejemplo,

\begin{equation*} (01011101) + (01001011) = (00010110). \end{equation*}

Este grupo es importante en la teoría de códigos, en criptografía y en muchas áreas de computación.

Supongamos que \(m\) es el mínimo común múltiplo de \(r\) y \(s\) y sea \(n = |(g,h)|\text{.}\) Entonces

\begin{gather*} (g,h)^m = (g^m, h^m) = (e_G,e_H)\\ (g^n, h^n) = (g, h)^n = (e_G,e_H). \end{gather*}

Luego, \(n\) divide a \(m\text{,}\) y \(n \leq m\text{.}\) Sin embargo, por la segunda ecuación, tanto \(r\) como \(s\) dividen a \(n\text{;}\) por lo tanto, \(n\) es un múltiplo común de \(r\) y \(s\text{.}\) Como \(m\) es el mínimo común múltiplo de \(r\) y \(s\text{,}\) \(m \leq n\text{.}\) Por lo tanto, \(m\) debe ser igual a \(n\text{.}\)

Sea \((8, 56) \in {\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\) Como \(\gcd(8,12) = 4\text{,}\) el orden de 8 es \(12/4 = 3\) en \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Similarmente, el orden de \(56\) en \({\mathbb Z}_{60}\) es \(15\text{.}\) El mínimo común múltiplo de 3 y 15 es 15; luego, \((8, 56)\) tiene orden 15 en \({\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\)

El grupo \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) consiste de los pares

\begin{align*} & (0,0), & & (0, 1), & & (0, 2), & & (1,0), & & (1, 1), & & (1, 2). \end{align*}

En este caso, a diferencia del caso de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) y \({\mathbb Z}_4\text{,}\) es verdad que \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \cong {\mathbb Z}_6\text{.}\) Solo debemos mostrar que \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) es cíclico. Es fácil ver que \((1,1)\) es un generador para \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\)

El siguiente teorema nos dice exactamente cuándo el producto directo de dos grupos cíclicos es cíclico.

Primero mostraremos que si \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}\) entonces \(\gcd(m, n) = 1\text{.}\) Demostraremos el contrapositivo; es decir, mostraremos que si \(\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}\) entonces \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) no puede ser cíclico. Note que \(mn/d\) es divisible tanto por \(m\) como por \(n\text{;}\) luego, cualquier elemento \((a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}\)

\begin{equation*} \underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{veces}} = (0, 0). \end{equation*}

Por lo tanto, ningún \((a, b)\) puede generar todo \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}\)

El recíproco es consecuencia directa del Teorema 9.2.5 pues \(\lcm(m,n) = mn\) si y solo si \(\gcd(m,n)=1\text{.}\)

Como el máximo común divisor de \(p_i^{e_i}\) y \(p_j^{e_j}\) es 1 para \(i \neq j\text{,}\) la demostración se sigue del Corolario 9.2.10.

En el Capítulo 13, demostraremos que todos los grupos abelianos finitos son isomorfos a productos directos de la forma

\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}} \end{equation*}

donde \(p_1, \ldots, p_k\) son primos (no necesariamente distintos).

Subsección 9.2.2 Producto Directo Interno

El producto directo externo de dos grupos construye un grupo grande a partir de los dos grupos menores. Quisiéramos ser capaces de revertir el proceso y descomponer convenientemente un grupo grande en sus componentes como producto directo; es decir, quisiéramos poder decir cuándo un grupo es isomorfo al producto directo de dos de sus subgrupos.

Sea \(G\) un grupo con subgrupos \(H\) y \(K\) que satisfagan las siguientes condiciones.

  • \(G = HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\text{;}\)

  • \(H \cap K = \{ e \}\text{;}\)

  • \(hk = kh\) para todo \(k \in K\) y \(h \in H\text{.}\)

Entonces \(G\) es el producto directo interno de \(H\) y \(K\text{.}\)

El grupo \(U(8)\) es el producto directo interno de

\begin{equation*} H = \{1, 3 \} \quad \text{y} \quad K = \{1, 5 \}. \end{equation*}

El grupo dihedral \(D_6\) es un producto directo interno de sus dos subgrupos

\begin{equation*} H = \{\identity, r^3 \} \quad \text{y} \quad K = \{\identity, r^2, r^4, s, r^2s, r^4 s \}. \end{equation*}

Se puede mostrar fácilmente que \(K \cong S_3\text{;}\) por lo tanto, \(D_6 \cong {\mathbb Z}_2 \times S_3\text{.}\)

No todo grupo puede ser escrito como el producto directo interno de dos subgrupos propios. Si el grupo \(S_3\) fuese un producto directo interno de subgrupos propios \(H\) y \(K\text{,}\) entonces uno de ellos, digamos \(H\text{,}\) tendría que tener orden 3. En ese caso \(H\) es el subgrupo \(\{ (1), (123), (132) \}\text{.}\) El subgrupo \(K\) tiene que tener orden 2 pero sin importar cuál subgrupo escojamos como \(K\text{,}\) la condición de que \(hk = kh\) nunca se cumplirá para \(h \in H\) y \(k \in K\text{.}\)

Como \(G\) es un producto directo interno, podemos escribir cualquier elemento \(g \in G\) como \(g =hk\) para ciertos \(h \in H\) y \(k \in K\text{.}\) Definamos una función \(\phi : G \rightarrow H \times K\) como \(\phi(g) = (h,k)\text{.}\)

El primer problema que debemos enfrentar es mostrar que \(\phi\) es una función bien definida; es decir, debemos mostrar que \(h\) y \(k\) están únicamente determinados por \(g\text{.}\) Supongamos que \(g = hk=h'k'\text{.}\) Entonces \(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) está tanto en \(H\) como en \(K\text{,}\) así es que debe ser la identidad. Por lo tanto, \(h = h'\) y \(k = k'\text{,}\) lo que demuestra que \(\phi\) está, en efecto, bien definida.

Para demostrar que \(\phi\) preserva la operación de grupo, sean \(g_1 = h_1 k_1\) y \(g_2 = h_2 k_2\) y observemos que

\begin{align*} \phi( g_1 g_2 ) & = \phi( h_1 k_1 h_2 k_2 )\\ & = \phi(h_1 h_2 k_1 k_2)\\ & = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\ & = (h_1, k_1)( h_2, k_2)\\ & = \phi( g_1 ) \phi( g_2 ). \end{align*}

Dejaremos la demostración de que \(\phi\) es una biyección como ejercicio.

Definamos una función \(\psi: H \times K \rightarrow G\) como \(\psi(h,k)=hk\text{.}\) La operación de grupo se preserva pues

\begin{equation*} \psi(h_1h_2,k_1k_2)=h_1h_2k_1k_2=h_1k_1h_2k_2=\psi(h_1,k_1)\psi(h_2,k_2) \end{equation*}

Para verificar que \(\psi\) es 1-1, supongamos que \(hk=h'k'\text{.}\) Entonces \(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) está tanto en \(H\) como en \(K\text{,}\) así es que debe ser la identidad. Por lo tanto, \(h = h'\) y \(k = k'\text{,}\) lo que demuestra que \(\psi\) es 1-1.

La sobreyectividad es consecuencia inmediata de la definición del producto directo interno.

El grupo \({\mathbb Z}_6\) es un producto directo interno isomorfo a \(\{ 0, 2, 4\} \times \{ 0, 3 \}\text{.}\)

Podemos extender la definición de producto directo interno de \(G\) a una colección de subgrupos \(H_1, H_2, \ldots, H_n\) de \(G\text{,}\) condicionándolos a que

  • \(G = H_1 H_2 \cdots H_n = \{ h_1 h_2 \cdots h_n : h_i \in H_i \}\text{;}\)

  • \(H_i \cap \langle \cup_{j \neq i} H_j \rangle = \{ e \}\text{;}\)

  • \(h_i h_j = h_j h_i\) para todo \(h_i \in H_i\) y \(h_j \in H_j\text{.}\)

Dejaremos la demostración del siguiente teorema como ejercicio.

Sage.

Sage puede determinar rápidamente si dos grupos de permutaciones son isomorfos, aunque esto debiera ser, en teoría, un cálculo muy difícil.