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Sección 5.2 Grupos Dihedrales

Otro tipo especial de grupo de permutaciones es el de los grupos dihedrales. Recordemos el grupo de las simetrías del triángulo equilátero en el Capítulo 3. Tales grupos consisten de los movimientos rígidos de un polígono regular de \(n\) lados o \(n\)-ágono regular. Para \(n = 3, 4, \ldots\text{,}\) definimos el n-ésimo grupo dihedral como el grupo de los movimientos rígidos de n \(n\)-ágono regular. Denotaremos este grupo por \(D_n\text{.}\) Podemos numerar los vértices de un \(n\)-ágono regular con \(1, 2, \ldots, n\) (Figura 5.2.1). Note que hay exactamente \(n\) posibilidades para reemplazar al primer vértice. Si reemplazamos al primer vértice por \(k\text{,}\) entonces el segundo vértice debe ser reemplazado por el vértice \(k+1\) o por el vértice \(k-1\text{;}\) luego, hay \(2n\) movimientos rígidos posibles del \(n\)-ágono. Resumimos estos resultados en el siguiente teorema.

Figura 5.2.1. Un \(n\)-ágono regular
Figura 5.2.3. Rotaciones y reflexiones de un \(n\)-ágono regular
Figura 5.2.4. Tipos de reflexiones de un \(n\)-ágono regular

Los posibles movimientos de un \(n\)-ágono regular son reflexiones y rotaciones (Figura 5.2.3). Hay exactamente \(n\) rotaciones posibles:

\begin{equation*} \identity, \frac{360^{\circ} }{n}, 2 \cdot \frac{360^{\circ} }{n}, \ldots, (n-1) \cdot \frac{360^{\circ} }{n}. \end{equation*}

Denotaremos la rotación en \(360^{\circ} /n\) por \(r\text{.}\) La rotación \(r\) genera todas las rotaciones. Es decir,

\begin{equation*} r^k = k \cdot \frac{360^{\circ} }{n}. \end{equation*}

Etiquete las \(n\) reflexiones \(s_1, s_2, \ldots, s_n\text{,}\) donde \(s_k\) es la reflexión que fija el vértice \(k\text{.}\) Hay dos casos, dependiendo de si \(n\) es par o impar. Si hay un número par de vértices, entonces una reflexión fija dos de ellos, y \(s_1 = s_{n/2 + 1}, s_2 = s_{n/2 + 2}, \ldots, s_{n/2} = s_n\text{.}\) Si hay un número impar de vértices, entonces una reflexión fija solamente un vértice y \(s_1, s_2, \ldots, s_n\) son distintas (Figura 5.2.4). En cualquier caso, el orden de cada \(s_k\) es dos. Sea \(s = s_1\text{.}\) Entonces \(s^2 = 1\) y \(r^n = 1\text{.}\) Como cualquier movimiento rígido \(t\) del \(n\)-ágono reemplaza al primer vértice por el vértice \(k\text{,}\) el segundo vértice será reemplazado por el \(k+1\) o por el \(k-1\text{.}\) Si el segundo se reemplaza por \(k+1\text{,}\) entonces \(t = r^k\text{.}\) Si el segundo se reemplaza por \(k-1\text{,}\) entonces \(t = s r^k\text{.}\) Luego, \(r\) y \(s\) generan \(D_n\text{.}\) Es decir, \(D_n\) consiste de todos los productos finitos de \(r\) y \(s\text{,}\)

\begin{equation*} D_n = \{1, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, sr, sr^2, \ldots, sr^{n-1}\}. \end{equation*}

Dejaremos la demostración de que \(srs = r^{-1}\) como un ejercicio.

El grupo de movimientos de un cuadrado, \(D_4\text{,}\) consiste de ocho elementos. Con los vértices numerados 1, 2, 3, 4 (Figura 5.2.7), las rotaciones son

\begin{align*} r & = (1234)\\ r^2 & = (13)(24)\\ r^3 & = (1432)\\ r^4 & = (1) \end{align*}

y las reflexiones son

\begin{align*} s_1 & = (24)\\ s_2 & = (13). \end{align*}

El orden de \(D_4\) es 8. Los dos elementos restantes son

\begin{align*} r s_1 & = (12)(34)\\ r^3 s_1 & = (14)(23). \end{align*}
Figura 5.2.7. El grupo \(D_4\)

Subsección 5.2.1 El grupo de movimientos de un Cubo

Podemos investigar los grupos de movimientos de objetos geométricos diferentes de los polígonos de \(n\) lados para obtener ejemplos interesantes de grupos de permutaciones. Consideremos el grupo de movimientos rígidos de un cubo. Una de las primeras preguntas que podemos hacer sobre este grupo es “¿cuál es su orden?” Un cubo tiene 6 caras. Si una cara en particular está apuntado hacia arriba, entonces existen cuatro rotaciones posibles del cubo que preservarán la cara apuntando hacia arriba. Luego, el orden del grupo es \(6 \cdot 4 = 24\text{.}\) Acabamos de demostrar la siguiente proposición.

Figura 5.2.8. El grupo de movimientos de un cubo

De la Proposición 5.2.9, ya sabemos que el grupo de movimientos del cubo tiene 24 elementos, el mismo número de elementos que hay en \(S_4\text{.}\) Hay exactamente cuatro diagonales en el cubo. Si etiquetamos estas diagonales con 1, 2, 3, y 4, debemos mostrar que el grupo de movimientos del cubo nos dará cualquier permutación de las diagonales (Figura 5.2.8). Si podemos obtener todas estas permutaciones, entonces \(S_4\) y el grupo de movimientos rígidos del cubo tendrán que ser el mismo. Para obtener una transposición, podemos rotar el cubo en \(180^{\circ}\) en torno al eje que une los puntos medios de aristas opuestas (Figura 5.2.11). Hay seis de tales ejes, dando todas las transposiciones en \(S_4\text{.}\) Como todo elemento en \(S_4\) es el producto de un número finito de transposiciones, el grupo de movimientos de un cubo tiene que ser \(S_4\text{.}\)

Figura 5.2.11. Transposiciones en el grupo de movimientos de un cubo
Sage.

Un grupo de permutaciones es una representación muy concreta de un grupo, y la herramientas de Sage para trabajar con grupos de permutaciones son muy buenas — convirtiendo a Sage en un lugar natural para que principiantes aprendan sobre teoría de grupos.