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Sección 4.1 Subgrupos Cíclicos

Con frecuencia un subgrupo dependerá exclusivamente de un elemento de un grupo; es decir, el conocimiento de ese elemento en particular nos permitirá calcular cualquier elemento del subgrupo.

Supongamos que escogemos \(3 \in {\mathbb Z}\) y consideremos todos los múltiplos (tanto positivos como negativos) de 3. Como conjunto, tenemos

\begin{equation*} 3 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. \end{equation*}

Es fácil ver que \(3 {\mathbb Z}\) es un subgrupo de los enteros. Este subgrupo está completamente determinado por el elemento 3 pues podemos obtener todos los otros elementos del grupo tomando los múltiplos de 3. Todo elemento en el subgrupo es “generado” por 3.

Si \(H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}\) entonces \(H\) es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números racionales no nulos, \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Si \(a = 2^m\) y \(b = 2^n\) están en \(H\text{,}\) entonces \(ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}\) también está en \(H\text{.}\) Por la Proposición 3.3.8, \(H\) es un subgrupo de \({\mathbb Q}^*\) determinada por el elemento 2.

La identidad está en \(\langle a \rangle \) pues \(a^0 = e\text{.}\) Si \(g\) y \(h\) son dos elementos cualquiera en \(\langle a \rangle \text{,}\) entonces por la definición de \(\langle a \rangle\) podemos escribir \(g = a^m\) y \(h = a^n\) con \(m\) y \(n\) enteros. Así \(gh = a^m a^n = a^{m+n}\) está nuevamente en \(\langle a \rangle \text{.}\) Finalmente, si \(g = a^n\) está en \(\langle a \rangle \text{,}\) entonces el inverso \(g^{-1} = a^{-n}\) también está en \(\langle a \rangle \text{.}\) Claramente, cualquier subgrupo \(H\) de \(G\) que contenga \(a\) debe contener todas las potencias de \(a\) por clausura; luego, \(H\) contiene a \(\langle a \rangle \text{.}\) Por lo tanto, \(\langle a \rangle \) es el menor subgrupo de \(G\) que contiene a \(a\text{.}\)

Nota 4.1.4.

Si usamos la notación “+”, como en el caso de los enteros con la operación de suma, escribimos \(\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)

Para \(a \in G\text{,}\) llamamos a \(\langle a \rangle \) el subgrupo cíclico generado por \(a\text{.}\) Si \(G\) contiene algún elemento \(a\) tal que \(G = \langle a \rangle \text{,}\) entonces \(G\) es un grupo cíclico. En ese caso \(a\) es un generador de \(G\text{.}\) Si \(a\) es un elemento de un grupo \(G\text{,}\) definimos el orden de \(a\) como el menor entero positivo \(n\) tal que \(a^n= e\text{,}\) y escribimos \(|a| = n\text{.}\) Si no hay tal entero \(n\text{,}\) decimos que el orden de \(a\) es infinito y escribimos \(|a| = \infty\) para denotar el orden de \(a\text{.}\)

Note que un grupo cíclico puede tener más que un generador. Tanto 1 como 5 generan \({\mathbb Z}_6\text{;}\) por lo tanto, \({\mathbb Z}_6\) es un grupo cíclico. No todo elemento en un grupo cíclico es un generador del grupo. El orden de \(2 \in {\mathbb Z}_6\) es 3. El subgrupo cíclico generado por 2 es \(\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}\)

Los grupos \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\) son grupos cíclicos. Los elementos 1 y \(-1\) son generadores para \({\mathbb Z}\text{.}\) Siempre podemos generar \({\mathbb Z}_n\) con 1 pero puede haber otros generadores de \({\mathbb Z}_n\text{,}\) como en el caso de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)

El grupo de unidades, \(U(9)\text{,}\) en \({\mathbb Z}_9\) es un grupo cíclico. Como conjunto, \(U(9)\) es \(\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}\) El elemento 2 es un generador para \(U(9)\) pues

\begin{align*} 2^1 & = 2 \qquad 2^2 = 4\\ 2^3 & = 8 \qquad 2^4 = 7\\ 2^5 & = 5 \qquad 2^6 = 1. \end{align*}

No todo grupo es un grupo cíclico. Considere el grupo de simetrías de un triángulo equilátero \(S_3\text{.}\) La tabla de multiplicación para este grupo es la Tabla 3.1.7. Los subgrupos de \(S_3\) se muestran en la Figura 4.1.8. Note que todo subgrupo propio es cíclico; sin embargo, ningún elemento por si solo genera el grupo completo.

Figura 4.1.8. Subgrupos de \(S_3\)

Sea \(G\) un grupo cíclico y sea \(a \in G\) un generador para \(G\text{.}\) Si \(g\) y \(h\) están en \(G\text{,}\) entonces pueden ser escritos como potencias de \(a\text{,}\) digamos \(g = a^r\) y \(h = a^s\text{.}\) Como

\begin{equation*} g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g, \end{equation*}

\(G\) es abeliano.

Subsección 4.1.1 Subgrupos de Grupos Cíclicos

Podemos hacer algunas preguntas interesantes sobre subgrupos cíclicos de un grupo y sobre subgrupos de un grupo cíclico. Si \(G\) es un grupo, qué subgrupos de \(G\) son cíclicos? Si \(G\) es un grupo cíclico, que tipo de subgrupos tiene \(G\text{?}\)

Las principales herramientas usadas en esta demostración son el algoritmo de división y el principio del buen orden. Sea \(G\) un grupo cíclico generado por \(a\) y supongamos que \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Si \(H = \{ e \}\text{,}\) entonces \(H\) es cíclico trivialmente. Supongamos que \(H\) contiene algún otro elemento \(g\) distinto de la identidad. Entonces \(g\) puede ser escrito como \(a^n\) para algún entero \(n\text{.}\) Como \(H\) es un subgrupo, \(g^{-1} = a^{-n}\) también debe estar en \(H\text{.}\) Como \(n\) o \(-n\) es positivo, podemos suponer que \(H\) contiene potencias positivas de \(a\) y que \(n \gt 0\text{.}\) Sea \(m\) el menor número natural tal que \(a^m \in H\text{.}\) Tal \(m\) existe por por el principio del buen orden.

Afirmamos que \(h = a^m\) es un generador para \(H\text{.}\) Debemos demostrar que todo \(h' \in H\) puede ser escrito como una potencia de \(h\text{.}\) Como \(h' \in H\) y \(H\) es un subgrupo de \(G\text{,}\) \(h' = a^k\) para algún entero \(k\text{.}\) Usando el algoritmo de la división, podemos encontrar \(q\) y \(r\) tales que \(k = mq +r\) con \(0 \leq r \lt m\text{;}\) luego,

\begin{equation*} a^k = a^{mq +r} = (a^m)^q a^r = h^q a^r. \end{equation*}

Así \(a^r = a^k h^{-q}\text{.}\) Como \(a^k\) y \(h^{-q}\) están en \(H\text{,}\) \(a^r\) también debe estar en \(H\text{.}\) Pero \(m\) era el menor número positivo tal que \(a^m\) está en \(H\text{;}\) por lo tanto, \(r=0\) y \(k=mq\text{.}\) Luego,

\begin{equation*} h' = a^k = a^{mq} = h^q \end{equation*}

y \(H\) está generado por \(h\text{.}\)

Supongamos primero que \(a^k=e\text{.}\) Por el algoritmo de la división, \(k = nq + r\) con \(0 \leq r \lt n\text{;}\) luego,

\begin{equation*} e = a^k = a^{nq + r} = a^{nq} a^r = e a^r = a^r. \end{equation*}

Como el menor entero \(m\) tal que \(a^m = e\) es \(n\text{,}\) \(r= 0\text{.}\)

Recíprocamente, si \(n\) divide a \(k\text{,}\) entonces \(k=ns\) para algún entero \(s\text{.}\) Por lo tanto,

\begin{equation*} a^k = a^{ns} = (a^n)^s = e^s = e. \end{equation*}

Buscamos el menor entero positivo \(m\) tal que \(e = b^m = a^{km}\text{.}\) Por la Proposición 4.1.12, este es el menor entero positivo \(m\) tal que \(n\) divide a \(km\) o, equivalentemente, \(n/d\) divide a \(m(k/d)\text{.}\) Como \(d\) es el máximo común divisor de \(n\) y \(k\text{,}\) \(n/d\) y \(k/d\) son relativamente primos. Luego, para que \(n/d\) divida a \(m(k/d)\) debe dividir a \(m\text{.}\) El menor tal \(m\) es \(n/d\text{.}\)

Consideremos el grupo \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, y 15 son los elementos de \({\mathbb Z}_{16}\) que son relativamente primos con 16. Cada uno de estos elementos genera \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Por ejemplo,

\begin{align*} 1 \cdot 9 & = 9 & 2 \cdot 9 & = 2 & 3 \cdot 9 & = 11\\ 4 \cdot 9 & = 4 & 5 \cdot 9 & = 13 & 6 \cdot 9 & = 6 \\ 7 \cdot 9 & = 15 & 8 \cdot 9 & = 8 & 9 \cdot 9 & = 1 \\ 10 \cdot 9 & = 10 & 11 \cdot 9 & = 3 & 12 \cdot 9 & = 12\\ 13 \cdot 9 & = 5 & 14 \cdot 9 & = 14 & 15 \cdot 9 & = 7. \end{align*}