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Sección 6.1 Clases Laterales

Sea \(G\) un grupo y \(H\) un subgrupo de \(G\text{.}\) Defina una clase lateral izquierda de \(H\) con representante \(g \in G\) como el conjunto

\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}. \end{equation*}

Las clases laterales derechas pueden ser definidas similiarmente como

\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}. \end{equation*}

Si las clases laterales izquierda y derecha coinciden o si es claro del contexto a qué tipo de clases laterales nos estamos refiriendo, diremos clase lateral sin especificar izquierda o derecha.

Sea \(H\) el subgrupo de \({\mathbb Z}_6\) que consiste de los elementos 0 y 3. Las clases laterales son

\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}. \end{gather*}

Las clases laterales de subgrupos de \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\) siempre las escribiremos con la notación aditiva que hemos usado acá. En un grupo conmutativo, las clases laterales izquierdas y derechas son siempre idénticas.

Sea \(H\) el subgrupo de \(S_3\) definido por las permutaciones \(\{(1), (123), (132) \}\text{.}\) Las clases laterales izquierdas de \(H\) son

\begin{gather*} (1)H = (1 2 3)H = (132)H = \{(1), (1 23), (132) \}\\ (1 2)H = (1 3)H = (2 3)H = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}

Las clases laterales derechas de \(H\) son exactamente las mismas que las clases laterales izquierdas:

\begin{gather*} H(1) = H(1 2 3) = H(132) = \{(1), (1 23), (132) \}\\ H(1 2) = H(1 3) = H(2 3) = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}

No siempre es el caso que una clase lateral derecha sea igual a una clase lateral izquierda. Sea \(K\) el subgrupo de \(S_3\) definido por las permutaciones \(\{(1), (1 2)\}\text{.}\) Entonces las clases laterales izquierdas de \(K\) son

\begin{gather*} (1)K = (1 2)K = \{(1), (1 2)\}\\ (1 3)K = (1 2 3)K = \{(1 3), (1 2 3)\}\\ (2 3)K = (1 3 2)K = \{(2 3), (1 3 2)\}; \end{gather*}

pero, las clases laterales derechas de \(K\) son

\begin{gather*} K(1) = K(1 2) = \{(1), (1 2)\}\\ K(1 3) = K(1 3 2) = \{(1 3), (1 3 2)\}\\ K(2 3) = K(1 2 3) = \{(2 3), (1 2 3)\}. \end{gather*}

El siguiente lema es bastante útil al tratar con clases laterales. (Dejamos su demostración como ejercicio.)

En todos los ejemplos que hemos visto, las clases laterales de un subgrupo \(H\) particionan el grupo mayor \(G\text{.}\) El siguiente teorema dice que esto siempre será el caso.

Sean \(g_1 H\) y \(g_2 H\) dos clases laterales de \(H\) en \(G\text{.}\) Debemos mostrar que ya sea \(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) o \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Supongamos que \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) y \(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Entonces por la definición de clase lateral izquierda, \(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) para ciertos elementos \(h_1\) y \(h_2\) en \(H\text{.}\) Luego, \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) y \(g_1 \in g_2 H\text{.}\) Por el Lema 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\)

Nota 6.1.5.

No hay nada especial en este teorema respecto a clases laterales izquierdas. Las clases laterales derechas también particionan \(G\text{;}\) la demostración de este hecho es exactamente la misma que para clases laterales izquierdas excepto que todas las multiplicaciones se deben hacer al lado opuesto de \(H\text{.}\)

Sea \(G\) un grupo y \(H\) un subgrupo de \(G\text{.}\) Se define el índice índice de \(H\) en \(G\) como el número de clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\text{.}\) Denotaremos este índice por \([G:H]\text{.}\)

Sea \(G= {\mathbb Z}_6\) y sea \(H = \{ 0, 3 \}\text{.}\) Entonces \([G:H] = 3\text{.}\)

Supongamos que \(G= S_3\text{,}\) \(H = \{ (1),(123), (132) \}\text{,}\) y \(K= \{ (1), (12) \}\text{.}\) Entonces \([G:H] = 2\) y \([G:K] = 3\text{.}\)

Sean \({\mathcal L}_H\) y \({\mathcal R}_H\) los conjuntos de clases laterales izquierdas y derechas respectivamente de \(H\) en \(G\text{.}\) Si podemos definir una función biyectiva \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) entonces habremos demostrado el teorema. Si \(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) sea \(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Por el Lema 6.1.3, la función \(\phi\) está bien definida; es decir, si \(g_1 H = g_2 H\text{,}\) entonces \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Para demostrar que \(\phi\) es 1-1, supongamos que

\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}. \end{equation*}

Nuevamente por el Lema 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) La función \(\phi\) es sobre pues \(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)