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Sección 14.2 La Ecuación de Clase

Sea \(X\) un \(G\)-conjunto finito y \(X_G\) el conjunto de puntos fijos en \(X\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ para todo } g \in G \}. \end{equation*}

Como las óribitas de la acción particionan a \(X\text{,}\)

\begin{equation*} |X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|, \end{equation*}

donde \(x_k, \ldots, x_n\) son representantes de las distintas órbitas no triviales de \(X\) (aquellas órbitas que contienen más de un elemento).

Ahora consideremos el caso especial en el que \(G\) actúa en sí mismo por conjugación, \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) El centro de \(G\text{,}\)

\begin{equation*} Z(G) = \{x : xg = gx \text{ para todo } g \in G \}, \end{equation*}

es el conjunto de puntos que quedan fijos por conjugación. La órbitas de la acción se llaman clases de conjugación de \(G\text{.}\) Si \(x_1, \ldots, x_k\) son representantes de cada una de las clases de conjugación no-triviales de \(G\) y \(|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}\) entonces

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k. \end{equation*}

Cada uno de los subgrupos estabilizadores de uno de los \(x_i\text{,}\) \(C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}\) se llama subgrupo centralizador de \(x_i\text{.}\) Por el Teorema 14.1.11, obtenemos la ecuación de clase:

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]. \end{equation*}

Una de las consecuencias de la ecuación de clase es que el orden de cada clase de conjugación divide al orden de \(G\text{.}\)

Es fácil verificar que las clases de conjugación en \(S_3\) son las siguientes:

\begin{equation*} \{ (1) \}, \quad \{ (123), (132) \}, \quad \{(12), (13), (23) \}. \end{equation*}

La ecuación de clase es \(6 = 1+2+3\text{.}\)

El centro de \(D_4\) es \(\{ (1), (13)(24) \}\text{,}\) y las clases de conjugación

\begin{equation*} \{ (13), (24) \}, \quad \{ (1432), (1234) \}, \quad \{ (12)(34), (14)(23) \}. \end{equation*}

Por lo tanto, la ecuación de clase para \(D_4\) es \(8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}\)

Para \(S_n\) toma algo de esfuerzo encontrar las clases de conjugación. Empezamos con los ciclos. Supongamos que \(\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)\) es un ciclo y sea \(\tau \in S_n\text{.}\) Por el Teorema 6.2.8,

\begin{equation*} \tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k)). \end{equation*}

En consecuencia, cualquiera dos ciclos del mismo largo son conjugados. Ahora, sea \(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r\) una descomposición en ciclos, donde el largo de cada ciclo \(\sigma_i\) es \(r_i\text{.}\) Entonces \(\sigma\) es conjugado a cualquier otro \(\tau \in S_n\) cuya descomposición en ciclos tiene los mismos largos.

El número de clases de conjugación en \(S_n\) es igual al número de formas en que \(n\) puede ser particionado como suma de enteros positivos. En el caso de \(S_3\) por ejemplo, podemos particionar el entero 3 en las siguientes tres sumas:

\begin{align*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3; \end{align*}

Por lo tanto, existen tres clases de conjugación. El problema de determinar el número de tales particiones para un entero dado \(n\) es lo que se conoce como NP-completo. Esto en la práctica quiere decir que el problema no se puede resolver para valores grandes de \(n\) pues los cálculos tomarían demasiado tiempo incluso para un computador enorme.

Aplicamos la ecuación de clase

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k. \end{equation*}

Como cada \(n_i \gt 1\) y \(n_i \mid |G|\text{,}\) concluimos que \(p\) divide a cada \(n_i\text{.}\) Además, \(p \mid |G|\text{;}\) luego, \(p\) divide a \(|Z(G)|\text{.}\) Como la identidad siempre está en el centro de \(G\text{,}\) \(|Z(G)| \geq 1\text{.}\) Por lo tanto, \(|Z(G)| \geq p\text{,}\) y existe algún \(g \in Z(G)\) tal que \(g \neq 1\text{.}\)

Por el Teorema 14.2.4, \(|Z(G)| = p\) o \(p^2\text{.}\) Si \(|Z(G)| = p^2\text{,}\) estamos listos. Supongamos que \(|Z(G)| = p\text{.}\) Entonces \(Z(G)\) y \(G / Z(G)\) ambos tienen orden \(p\) y por ende son ambos cíclicos. Eligiendo un generador \(aZ(G)\) para \(G / Z(G)\text{,}\) podemos escribir cualquier elemento \(gZ(G)\) en el cociente como \(a^m Z(G)\) para algún entero \(m\text{;}\) luego, \(g = a^m x\) para algún \(x\) en el centro de \(G\text{.}\) Similarmente, si \(hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}\) entonces existe \(y\) en \(Z(G)\) tal que \(h = a^n y\) para algún entero \(n\text{.}\) Como \(x\) e \(y\) están en el centro de \(G\text{,}\) conmutan con todos los elementos de \(G\text{;}\) por lo tanto,

\begin{equation*} gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg, \end{equation*}

y \(G\) es abeliano.