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Sección 16.10 Ejercicios en Sage

1.

Defina los dos anillos \({\mathbb Z}_{11}\) y \({\mathbb Z}_{12}\) usando los comandos R = Integers(11) y S = Integers(12). Para cada anillo, use los comandos relevantes para determinar: si el anillo es finito, si es conmutativo, si es un dominio integral y si es un cuerpo. Luego use comandos Sage para encontrar el orden del anillo, listar sus elementos, y mostrar su neutro multiplicativo (i.e. \(1\text{,}\) si es que existe).

2.

Defina R como el anillo de los números enteros, \({\mathbb Z}\text{,}\) ejecutando R = ZZ o R = Integers(). Un comando como R.ideal(4) creará el ideal principal \(\langle 4\rangle\text{.}\) El mismo comando puede recibir más de un generador, por ejemplo, R.ideal(3, 5) creará el ideal \(\{a\cdot 3+ b\cdot 5\mid a,b\in{\mathbb Z}\}\text{.}\) Cree varios ideales de \({\mathbb Z}\) con dos generadores y pídale a Sage que los muestre al crearlos. Explique lo que observa y escriba comandos que le permitan comprobar su observación para miles de ejemplos diferentes.

3.

Cree un cuerpo finito \(F\) de orden 81 por medio de F.<t>=FiniteField(3^4).

  1. Liste los elementos de \(F\text{.}\)

  2. Obtenga los generadores de \(F\) con F.gens().

  3. Obtenga el primer generador de \(F\) y guárdelo como u con u = F.0 (alternativamente, u = F.gen(0)).

  4. Calcule las primeras 80 potencias de u y comente.

  5. El generador con el que trabajó arriba es una raíz de un polinomio sobre \({\mathbb Z}_3\text{.}\) Obtenga este polinomio con F.modulus() y use esta observación para explicar la entrada correspondiente a la cuarta potencia en su lista de potencias del generador.

4.

Construya y analice un anillo cociente como sigue:

  1. Use P.<z>=Integers(7)[] para construir un anillo \(P\) de polinomios en \(z\) con coeficientes en \({\mathbb Z}_7\text{.}\)

  2. Use K = P.ideal(z^2+z+3) para contruir el ideal principal \(K\) generado por el polinomio \(z^2+z+3\text{.}\)

  3. Use H = P.quotient(K) para contruir \(H\text{,}\) el anillo cociente de \(P\) por \(K\text{.}\)

  4. Use Sage para comprobar que \(H\) es un cuerpo.

  5. Como en el ejercicio anterior, obtenga un generador y examine la colección de potencias de ese generador.