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Sección 17.5 Ejercicios Adicionales: Resolviendo las Ecuaciones Cúbica y Cuártica

1.

Resuelva la ecuación cuadrática general

\begin{equation*} ax^2 + bx + c = 0 \end{equation*}

obteniendo

\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \end{equation*}

El discriminante de la ecuación cuadrática \(\Delta = b^2 - 4ac\) determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si \(\Delta \gt 0\text{,}\) la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si \(\Delta = 0\text{,}\) la ecuación tiene una única solución real repetida. Si \(\Delta \lt 0\text{,}\) existen dos soluciones imaginarias diferentes.

2.

Muestre que cualquier ecuación cúbica de la forma

\begin{equation*} x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}

puede ser reducida a la forma \(y^3 + py + q = 0\) haciendo la sustitución \(x = y - b/3\text{.}\)

3.

Demuestre que las raíces cúbicas de 1 están dadas por

\begin{align*} \omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\ \omega^3 & = 1. \end{align*}
4.

Haga la sustitución

\begin{equation*} y = z - \frac{p}{3 z} \end{equation*}

para \(y\) en la ecuación \(y^3 + py + q = 0\) y obtenga dos soluciones \(A\) y \(B\) para \(z^3\text{.}\)

5.

Muestre que el producto de las soluciones obtenidas en (4) es \(-p^3/27\text{,}\) deduciendo que \(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)

6.

Demuestre que las posibles soluciones para \(z\) en (4) están dadas por

\begin{equation*} \sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \end{equation*}

y use este resultado para mostrar que las tres posibles soluciones para \(y\) son

\begin{equation*} \omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }, \end{equation*}

donde \(i = 0, 1, 2\text{.}\)

7.

El discriminante de la ecuación cúbica es

\begin{equation*} \Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}. \end{equation*}

Muestre que \(y^3 + py + q=0\)

  1. tiene tres raíces reales, de las que al menos dos son iguales, si \(\Delta = 0\text{.}\)

  2. tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales conjugadas si \(\Delta \gt 0\text{.}\)

  3. tiene tres raíces reales distintas si \(\Delta \lt 0\text{.}\)

8.

Resueva las siguientes ecuaciones cúbicas.

  1. \(x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)

  2. \(x^3 - 3x +5 = 0\)

  3. \(x^3 - 3x +2 = 0\)

  4. \(x^3 + x + 3 = 0\)

9.

Muestre que la ecuación cuártica general

\begin{equation*} x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \end{equation*}

se reduce a

\begin{equation*} y^4 + py^2 + qy + r = 0 \end{equation*}

haciendo la sustitución \(x = y - a/4\text{.}\)

10.

Muestre que

\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right). \end{equation*}
11.

Muestre que el lado derecho del Ejercicio 17.5.10 puede ser puesto en la forma \((my + k)^2\) si y solo si

\begin{equation*} q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0. \end{equation*}
12.

Del Ejercicio 17.5.11 obtenga la ecuación cúbica resolvente

\begin{equation*} z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0. \end{equation*}

Resolviendo la resolvente cúbica, ponga la ecuación encontrada en el Ejercicio 17.5.10 en la forma

\begin{equation*} \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \end{equation*}

para obtener la solución de la ecuación cuártica.

13.

Use este método para resolver las siguientes ecuaciones cuárticas.

  1. \(x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)

  2. \(x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)

  3. \(x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)

  4. \(x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)