Saltar a contenido principal

Capítulo 5 Grupos de Permutaciones

Los grupos de permutaciones tienen un rol central en el estudio de simetrías geométricas y en la teoría de Galois, el estudio de la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinomiales. Además son una fuente de muchos ejemplos de grupos no abelianos.

Recordemos por un momento las simetrías del triángulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\) del Capítulo 3. Las simetrías de hecho consisten en permutaciones de los tres vértices, donde una permutación del conjunto \(S = \{ A, B, C \}\) es una biyección \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Los tres vértices tienen la siguientes seis permutaciones.

\begin{align*} \begin{pmatrix} A & B & C \\ A & B & C \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ C & A & B \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} A & B & C \\ A & C & B \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ C & B & A \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & A & C \end{pmatrix} \end{align*}

Hemos usado el arreglo

\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix} \end{equation*}

para denotar la permutación que envía \(A\) en \(B\text{,}\) \(B\) en \(C\text{,}\) y \(C\) en \(A\text{.}\) Es decir,

\begin{align*} A & \mapsto B\\ B & \mapsto C\\ C & \mapsto A. \end{align*}

Las simetrías de un triángulo forman un grupo. En este capítulo estudiaremos grupos de ese tipo.