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Sección 5.5 Ejercicios en Sage

Estos ejercicios tienen el objetivo de familiarizarle con los grupos de permutaciones en Sage.

1.

Cree el grupo simétrico completo \(S_{10}\) con el comando G = SymmetricGroup(10).

2.

Cree elementos de G con los siguientes métodos. Preste atención a las comas, comillas, corchetes, paréntesis. Los primeros dos usan cadenas de caracteres (texto) como entrada, imitando la forma en que escribimos las permutaciones (pero con comas). La siguientes dos usan listas de tuplas.

  • a = G("(5,7,2,9,3,1,8)")

  • b = G("(1,3)(4,5)")

  • c = G([(1,2),(3,4)])

  • d = G([(1,3),(2,5,8),(4,6,7,9,10)])

  1. Calcule \(a^3\text{,}\) \(bc\text{,}\) \(ad^{-1}b\text{.}\)

  2. Calcule los órdenes de cada uno de los elemetos individuales (a hasta d) usando un solo método de los elementos del grupo de permutaciones.

  3. Use el método .sign() para determinar si \(a,b,c,d\) son pares o impares.

  4. Cree dos subgrupos cíclicos de \(G\) con los comandos:

    • H = G.subgroup([a])

    • K = G.subgroup([d])

    Liste, y estudie, los elementos de cada subgrupo. Sin usar Sage, indique el orden de cada subgrupo de \(K\text{.}\) Luego use Sage para construir un subgrupo de \(K\) de orden 10.

  5. Subgrupos más complicados se pueden formar usando dos o más generadores. Construya un subgrupo \(L\) de \(G\) con el comando L = G.subgroup([b,c]). Calcule el orden de \(L\) y liste todos sus elementos.

3.

Construya el grupo de simetrías del tetraedro (también es el grupo alternante en 4 símbolos, \(A_4\)) con el comando A=AlternatingGroup(4). Usando herramientas tales como órdenes de elementos, y generadores de subgrupos, vea si puede encontrar todos los subgrupos de \(A_4\) (cada uno exactamente una vez). Haga esto sin usar el método .subgroups() para justificar que su respuesta es correcta (aunque puede ser una forma conveniente de verificar su resultado).

Escriba un resumen ordenado de su respuesta—no simplemente una lista larga escupida por Sage. La idea es usar Sage como una herramienta, en la medida en que sea necesario, pero básicamente su respuesta debe ser un párrafo conciso y/o una tabla. Esta es la única parte de esta tarea sin instrucciones precisas y claras, así es que dedique el tiempo suficiente a esta parte para que le quede bien. Ayuda: ningún subgrupo de \(A_4\) requiere más de dos generadores.

4.

La subsección Grupo de Movimientos de un Cubo describe las \(24\) simetrías de un cubo como un subgrupo del grupo simétrico \(S_8\) generado por tres rotaciones. Conteste las siguientes preguntas sobre este grupo de simetrías.

  1. De la lista de elementos del grupo, ¿puede localizar la 10 rotaciones en torno a los ejes? (Ayuda: la identidad es fácil, las otras nueve nunca envían un símbolo en sí mismo.)

  2. ¿Puede identificar las seis simetrías que son transposición de diagonales? (Ayuda: [g for g in cube if g.order() == 2] es un buen filtro inicial.)

  3. Verifique que cualquiera dos de las rotaciones (above, front, right) son suficientes para generar el grupo completo. ¿Cómo sabe que cada par genera el grupo completo?

  4. ¿Puede expresar una de las transposiciones diagonales como productos de rotaciones? Este puede ser un problema notablemente difícil, especialmente para un software. Se conoce como el “problema de las palabras.”

  5. Numere las seis caras del cubo con los números del \(1\) al \(6\) (de cualquier forma que desee). Ahora considere las mismas tres simetrías usadas antes (rotaciones en cuarto de vuelta en torno a los ejes), pero ahora vistas como permutaciones de las seis caras. De esta manera, podemos construir cada simetría como un elemento de \(S_6\text{.}\) Verifique que el subgrupo generado por estas simetrías es el grupo completo de simetrías del cubo. Nuevamente, en lugar de usar tres generadores, intente usando solo dos.

5.

Guarde su trabajo, y vea si puede lograr que Sage se caiga construyendo el subgrupo de \(S_{10}\) generado por los elementos b y d de orden \(2\) y \(30\) de antes. No entregue la lista de elementos de N como parte de su trabajo.

¿Cuál es el orden de \(N\text{?}\)