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Sección 10.5 Ejercicios en Sage

1.

Construya todos los subgrupos del grupo alternante en 5 símbolos, \(A_5\text{,}\) y verifique que, salvo los casos triviales, ninguno es normal. Este comando podría demorar un par de segundos en correr. Compare esto con el tiempo necesario para correr el método .is_simple() y constate que hay una buena dosis de teoría y astucia involucradas en acelerar comandos como este. (Es posible que su instalación de Sage no tenga la librería “Table of Marks” de GAP y sea imposible calcular la lista de subgrupos.)

2.

Considere el grupo cociente del grupo de simetrías de un octógono regular, por el subgrupo cíclico de orden 4 generado por una rotación en un cuarto de vuelta. Use la función coset_product para determinar la tabla de Cayley para este grupo cociente. Use los números de cada clase lateral, resultantes del método .cosets() como nombres para los elementos del grupo cociente. Necesitará construir la tabla “a mano” pues no hay una forma fácil de lograr que los comandos de Sage hagan esto. Puede construir una tabla en el editor del Notebook Sage (shift-click en una línea azul) o puede leer la documentación del método html.table().

3.

Considere el subgrupo cíclico de orden \(4\) en las simetrías de un octógono regular. Verifique que el subgrupo es normal construyendo primero las clases laterales izquierdas y derechas (sin usar el método .cosets()) y luego verificando su igualdad en Sage, todo con una línea de comando que use el comando sorted().

4.

Nuevamente, use el mismo subgrupo cíclico de orden \(4\) en el grupo de simetrías de un octógono. Verifique que el subgrupo es normal usando la parte (2) del Teorema 10.1.3. Construya un comando de una línea que haga la verificación completa y entregue True. Quizás deba ordenar los elementos del subgrupo S primero, luego paso a paso ir construyendo las listas, comandos, y condiciones necesarios. Note que esta verificación no requiere la construcción de las clases laterales en ningún momento.

5.

Repita la demostración de la subsección anterior de que para las simetrías de un tetraedro, un subgrupo cíclico de orden \(3\) resulta en una multiplicación mal definida de clases laterales. Arriba, por defecto el método .cosets() entrega las clases laterales derechas — pero en este problema, trabaje con las clases izquierdas. Debe escoger dos clases para multiplicarlas, y comprobar que elecciones diferentes de representantes llevan a resultados diferentes para el producto de las clases.

6.

Construya algunos grupos dihedrales de orden \(2n\) (i.e. simetrías de un \(n\)-ágono, \(D_{n}\) en el texto, DihedralGroup(n) en Sage). Podrían ser todos ellos para \(3\leq n \leq 100\text{.}\) Para cada grupo dihedral, construya una lista de los órdenes de cada uno de los subgrupos normales (use .normal_subgroups()). Puede que demore en terminar de calcular - sea paciente. Observe suficiente ejemplos para conjeturar un patrón, verifique su hipótesis con cada uno de sus ejemplos y luego enúnciela claramente.

¿Puede predecir cuántos subgrupos normales que tiene el grupo dihedral \(D_{470448}\) sin usar Sage para obtener todos los subgrupos normales? ¿Puede describir todos los subgrupos normales que tiene el grupo dihedral \(D_{470448}\) sin usar Sage?