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Sección 9.5 Ejercicios en Sage

1.

Este ejercicio trata de poner en práctica el Teorema de Cayley. Primero, lea y estudie el teorema. Dese cuenta que este resultado por sí solo es fundamentalmente de interés teórico, pero con algo más de teoría podríamos llegar a aspectos más sutiles de esto, (un área conocida como “teoría de representaciones”).

Usted debiese crear estas representaciones fundamentalmente con lápiz y papel, usando Sage como una calculadora sofisticada y asistente. No es necesario que incluya todos estos cálculos en su hoja de trabajo. Construya las representaciones pedidas e incluya verificaciones en Sage que demuestren que su representación representa correctamente al grupo.

Comience por construir una representación permutacional del grupo de los cuaterniones, \(Q\text{.}\) Hay ocho elementos en \(Q\) (\(\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\)), de manera que obtendrá un subgrupo de \(S_8\text{.}\) Para cada \(g\in Q\) forme la función \(T_g\text{,}\) definida como \(T_g(x)=xg\text{.}\) Note que esta definición está al “revés” de la dada en el texto. Esto es pues Sage compone las permutaciones de izquierda a derecha, mientra que en el texto se componen de derecha a izquierda. Para crear las permutaciones \(T_g\text{,}\) la forma de dos líneas de escribir las permutaciones podría ser un buen paso intermedio. Probablemente querrá “codificar” cada elemento de \(Q\) con un entero en \(\{1,2,\dots,8\}\text{.}\)

Una tal representación está incluida en Sage como QuaternionGroup() — su respuesta debiese verse muy similar, pero quizás no idéntica. Puede usar el método .is_isomorphic() para verificar si su representación está bien. Pero no lo use como sustituto para la parte de cada pregunta que le pide estudiar propiedades de su representación con este objetivo.

  1. Construya la representación permutacional de \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) descrita en el Teorema de Cayley. (Recuerde que este grupo es aditivo, mientras el teorema usa notación multiplicativa.) Incluya la representación de cada uno de los \(8\) elementos. Después construya la el grupo permutacional como subgrupo de un grupo simétrico generado por exactamente dos de los 8 elementos que ya construyó. Ayuda: ¿qué elementos de \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) podría usar para generar todo \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\text{?}\) Use comandos en Sage para investigar distintas propiedades de su grupo de permutaciones, distintos de .list(), para proveer evidencia de que su subgrupo es correcto.

  2. Construya una representación permutacional de \(U(24)\text{,}\) el grupo de unidades mód 24. Nuevamente entregue una representación para cada elemento. Después construya el grupo como subgrupo del grupo simétrico generándolo con tres elementos. Para determinar estos tres generadores, es probable que necesite entender \(U(24)\) como producto directo interno. Use comandos en Sage para investigar distintas propiedades de su grupo de permutaciones, distintos de .list(), para proveer evidencia de que su subgrupo es correcto.

2.

Considere las simetrías del decágono regular, \(D_{10}\) en el texto, DihedralGroup(10) en Sage. Supongamos que los vértices del decágono han sido etiquetados del \(1\) al \(10\) en orden. Identifique la permutación que corresponde a una rotación en \(180\) grados y úsela para generar un subgrupo \(R\) de orden \(2\text{.}\) Identifique la permutación que corresponde a una rotación en \(72\) grados, y cualquiera de las diez permutaciones que corresponden a reflexiones del decágono respecto a una recta. Use estas últimas dos permutaciones para generar un subgrupo \(S\) de orden \(10\text{.}\) Use Sage para verificar que el grupo dihedral completo es el producto directo interno de los subgrupos \(R\) y \(S\) comprobando las condiciones en la definición de un producto directo interno.

Tenemos un teorema que dice que si un grupo es un producto directo interno, entonces es isomorfo a algún producto directo externo. Comprenda que eso no quiere decir que pueda usar el recíproco en este problema. En otras palabras, establecer un isomorfismo de \(G\) con un producto directo externo no demuestra que \(G\) sea un producto directo interno.