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Sección 11.4 Ejercicios adicionales: Automorfismos

1.

Sea \(\aut(G)\) el conjunto de todos los automorfismos de \(G\text{;}\) es decir, isomorfismos de \(G\) en sí mismo. Demuestre que este conjunto forma un grupo y que es un subgrupo del grupo de permutaciones de \(G\text{;}\) es decir, \(\aut(G) \leq S_G\text{.}\)

2.

Un automorfismo interno de \(G\text{,}\)

\begin{equation*} i_g : G \rightarrow G, \end{equation*}

está definido por la función

\begin{equation*} i_g(x) = g x g^{-1}, \end{equation*}

para \(g \in G\text{.}\) Demuestre que \(i_g \in \aut(G)\text{.}\)

3.

El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por \(\inn(G)\text{.}\) Muestre que \(\inn(G)\) es un subgrupo de \(\aut(G)\text{.}\)

4.

Encuentre un automorfismo de un grupo \(G\) que no sea un automorfismo interno.

5.

Sea \(G\) un grupo y sea \(i_g\) un automorfismo interno de \(G\text{.}\) Defina la función

\begin{equation*} G \rightarrow \aut(G) \end{equation*}

por

\begin{equation*} g \mapsto i_g. \end{equation*}

Demuestre que esta función es un homomorfismo con imagen \(\inn(G)\) y núcleo \(Z(G)\text{.}\) Use este resultado para concluir que

\begin{equation*} G/Z(G) \cong \inn(G). \end{equation*}
6.

Calcule \(\aut(S_3)\) y \(\inn(S_3)\text{.}\) Haga lo mismo para \(D_4\text{.}\)

7.

Encuentre todos los homomorfismos \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}\) ¿Qué es \(\aut({\mathbb Z})\text{?}\)

8.

Encuentre todos los automorfismos de \({\mathbb Z}_8\text{.}\) Demuestre que \(\aut({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}\)

9.

Para \(k \in {\mathbb Z}_n\text{,}\) defina una función \(\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n\) por \(a \mapsto ka\text{.}\) Demuestre que \(\phi_k\) es un homomorfismo.

10.

Demuestre que \(\phi_k\) es un isomorfismo si y solo si \(k\) es un generador de \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

11.

Muestre que todo automorfismo de \({\mathbb Z}_n\) es de la forma \(\phi_k\text{,}\) con \(k\) un generador de \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

12.

Demuestre que \(\psi : U(n) \rightarrow \aut({\mathbb Z}_n)\) es un isomorfismo, donde \(\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}\)