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Capítulo 21 Cuerpos

Es natural preguntarse si cierto cuerpo \(F\) está contenido en un cuerpo mayor. Pensemos en los números racionales, que están contenidos dentro de los números reales, que a su vez están contenidos dentro de los números complejos. También podemos estudiar los cuerpos que se encuentran entre \({\mathbb Q}\) y \({\mathbb R}\) y preguntarnos sobre la naturaleza de estos cuerpos.

Más específicamente, si nos dan un cuerpo \(F\) y un polinomio \(p(x) \in F[x]\text{,}\) podemos preguntar si es posible, o no, encontrar un cuerpo \(E\) que contenga \(F\) tal que \(p(x)\) se factorice en factores lineales sobre \(E[x]\text{.}\) Por ejemplo, si consideramos el polinomio

\begin{equation*} p(x) = x^4 -5 x^2 + 6 \end{equation*}

en \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) entonces \(p(x)\) se factoriza como \((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) Sin embargo, ambos factores son irreducibles en \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Si queremos encontrar un cero de \(p(x)\text{,}\) debemos ir a un cuerpo más grande. Ciertamente sirve el cuerpo de los números reales, pues

\begin{equation*} p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}). \end{equation*}

Es posible encontrar un cuerpo menor en el que \(p(x)\) tiene un cero, por ejemplo

\begin{equation*} {\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}. \end{equation*}

Queremos ser capaces de calcular y estudiar tales cuerpos para polinomios arbitrarios sobre un cuerpo \(F\text{.}\)