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Sección 21.7 Ejercicios en Sage

1.

Construya el polinomio \(p(x)=x^5+2x^4+1\) sobre \({\mathbb Z}_3\text{.}\) Verifique que no tiene ningún factor lineal evaluando \(p(x)\) en cada elemento de \({\mathbb Z}_3\text{,}\) y después verifique que \(p(x)\) es irreducible.

Construya un cuerpo finito de orden \(3^5\) con el comando FiniteField(), pero incluya la opción modulus asignando el polinomio \(p(x)\) para cambiar la elección automática.

Redefina \(p(x)\) como polinomio sobre este cuerpo. Verifique cada uno de los \(3^5 = 243\) elementos del cuerpo para ver si son raíces del polinomio y liste todos los elementos que lo sean. Finalmente, pida que Sage factorice \(p(x)\) sobre el cuerpo, y comente sobre la relación entre su lista de raíces y su factorización.

2.

Este problema continúa el anterior. Construya el anillo de polinomios sobre \({\mathbb Z}_3\) y en este anillo use \(p(x)\) para generar un ideal principal. Finalmente construya el cociente del anillo de polinomios por este ideal. Como el polinomio es irreducible, este cociente es un cuerpo, y por la Proposición 21.1.12 este cociente es isomorfo al cuerpo de números del ejercicio anterior.

Usando sus resultados del ejercicio anterior, construya cinco raíces del polinomio \(p(x)\) en este anillo cociente, pero ahora como expresiones en el generador del anillo cociente (que técnicamente es una clase lateral). Use Sage para verificar que de hecho son raíces. Esto ilustra el uso de un anillo cociente para crear un cuerpo de descomposición para un polinomio irreducible sobre un cuerpo finito.

3.

La subsección Elementos Algebraicos se basa en álgebra lineal y contiene el Teorema 21.1.15: toda extensión finita es una extensión algebraica. Este ejercicio le ayudará a entender esa demostración.

El polinomio \(r(x)=x^4+2x+2\) es irreducible sobre los racionales (Criterio de Eisenstein con primo \(p=2\)). Construya un cuerpo de números que contenga una raíz de \(r(x)\text{.}\) Por el Teorema 21.1.15, y la observación que le sigue, todo elemento de esta extensión finita es un número algebraico, y por ende satisface algún polinomio sobre el cuerpo base (es el polinomio que Sage produce con el método .minpoly()). Este ejercicio le mostrará cómo podemos usar álgebra lineal para determinar este polinomio minimal.

Supongamos que a es el generador del cuerpo de números que acaba de crear con \(r(x)\text{.}\) Determinaremos el polinomio minimal de t = 3a + 1 usando solamente álgebra lineal. De acuerdo a la demostración, las primeras cinco potencias de t (empiece contando de cero) serán linealmente dependientes. (¿Por qué?) De esta manera una relación de dependencia lineal de estas potencias entregará los coeficientes de un polinomio con t como raíz. Calcule estas cinco potencias, luego construya el sistema lineal apropiado para determinar los coeficientes del polinomio minimal, resuelva el sistema, e interprete sus soluciones.

Ayudas: Los comandos vector() y matrix() crearán vectores y matrices, y el método .solve_right() para matrices puede ser usado para encontrar soluciones. Dado un elemento del cuerpo de números, que necesariamente corresponderá a un polinomio en el generador a, el método .vector() del elemento, entregará los coeficientes de este polinomio en una lista.

4.

Construya el cuerpo de descomposición de \(s(x)=x^4+x^2+1\) y encuentre una factorización de \(s(x)\) sobre este cuerpo como producto de factores lineales.

5.

Forme el cuerpo de números, \(K\text{,}\) que contenga una raíz del polinomio irreducible \(q(x)=x^3+3x^2+3x-2\text{.}\) Póngale un nombre a su raíz a. Verifique que \(q(x)\) se factoriza, pero no se descompone, sobre \(K\text{.}\) Con \(K\) como cuerpo base, forme una extensión de \(K\) donde el factor cuadrático de \(q(x)\) tiene una raíz. Póngale un nombre a esta raíz b, y llame \(L\) a esta segunda extensión de la torre.

Use M.<c> = L.absolute_field() formar una versión plana de la torre que será el cuerpo de números absoluto M. Encuentre el polinomio que define a M usando el método .polynomial(). A partir de este polinomio, que debe tener al generador c como raíz, debe ser capaz de usar álgebra elemental para escribir el generador como una expresión relativamente simple.

\(M\) debería ser el cuerpo de descomposición de \(q(x)\text{.}\) Para ver esto, vuelve a comenzar, y construya un nuevo cuerpo de números, \(P\text{,}\) usando la expresión simple para c que acaba de encontrar. Use d como el nombre de la raíz usada para construir P. Como d es una raíz del polinomio minimal de c, debería ser capaz de escribir una expresión para d que un alumno de pre-cálculo pueda reconocer.

Ahora factorice el polinomio original \(q(x)\) (con coeficientes racionales) sobre \(P\text{,}\) para verificar que se descompone completamente (como era de esperar). Usando esta factorización, y su expresión simple para d escriba expresiones simplificadas para las tres raíces de \(q(x)\text{.}\) Determine si es capaz de convertir entre las dos versiones de las raíces “a mano”, y sin usar los isomorfismos proveídos por el método .structure() en M.