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Sección 20.4 Ejercicios

1.

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que \(F[x]\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde los vectores en \(F[x]\) son polinomios. La suma de vectores es la suma de polinomios, y la multiplicación por escalar está definida por \(\alpha p(x)\) para \(\alpha \in F\text{.}\)

2.

Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) es un espacio vectorial.

3.

Sea \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) el cuerpo de los elementos de la forma \(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) donde \(a, b, c, d\) están en \({\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) es un espacio vectorial de dimensión 4 sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Encuentre una base para \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)

Pista

\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) tiene base \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

4.

Demuestre que los números complejos forman un espacio vectorial de dimensión 2 sobre \({\mathbb R}\text{.}\)

5.

Demuestre que el conjunto \(P_n\) de todos los polinomios de grado menor a \(n\) forma un subespacio del espacio vectorial \(F[x]\text{.}\) Encuentre una base para \(P_n\) y calcule la dimensión de \(P_n\text{.}\)

Pista

El conjunto \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) es una base para \(P_n\text{.}\)

6.

Sea \(F\) un cuerpo y denote por \(F^n\) al conjunto de las \(n\)-tuplas de elementos de \(F\text{.}\) Dados los vectores \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) y \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) en \(F^n\) y \(\alpha\) en \(F\text{,}\) defina la adición de vectores como

\begin{equation*} u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \end{equation*}

y el producto por escalar como

\begin{equation*} \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n). \end{equation*}

Demuestre que \(F^n\) es un espacio vectorial de dimensión \(n\) bajo estas operaciones.

7.

Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de \({\mathbb R}^3\text{?}\) En caso de que el conjunto sea un subespacio, encuentre una base y calcule la dimensión.

  1. \(\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}\)

  2. \(\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}\)

  3. \(\{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}\)

  4. \(\{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}\)

Pista

(a) Subespacio de dimensión 2 con base \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\text{;}\) (d) no es un subespacio

8.

Muestre que el conjunto de todas las posibles soluciones \((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) de las ecuaciones

\begin{align*} Ax + B y + C z & = 0\\ D x + E y + C z & = 0 \end{align*}

forma un subespacio de \({\mathbb R}^3\text{.}\)

9.

Sea \(W\) el subconjunto de las funciones continuas definidas en \([0, 1]\) tales que \(f(0) = 0\text{.}\) Demuestre que \(W\) es un subespacio de \(C[0, 1]\text{.}\)

10.

Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(F\text{.}\) Demuestre que \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) para todo \(\alpha \in F\) y todo \(v \in V\text{.}\)

Pista

Como \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) se concluye que \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)

11.

Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.

  1. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)

  2. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) genera \(V\text{,}\) entonces \(S\) es una base para \(V\text{.}\)

  3. Si \(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en \(V\) con \(k \lt n\text{,}\) entonces existen vectores \(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tales que

    \begin{equation*} \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \end{equation*}

    es una base para \(V\text{.}\)

12.

Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga a \({\mathbf 0}\) es lineamente dependiente.

Pista

Sea \(v_0 = 0, v_1, \ldots, v_n \in V\) y \(\alpha_0 \neq 0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\text{.}\) Entonces \(\alpha_0 v_0 + \cdots + \alpha_n v_n = 0\text{.}\)

13.

Sea \(V\) un espacio vectorial. Muestre que \(\{ {\mathbf 0} \}\) es un subespacio de \(V\) de dimensión cero.

14.

Si un espacio vectorial \(V\) es generado por \(n\) vectores, cualquier conjunto de \(m\) vectores en \(V\text{,}\) con \(m \gt n\text{,}\) es linealmente dependiente.

15. Transformaciones Lineales.

Sean \(V\) y \(W\) espacio s vectoriales sobre un cuerpo \(F\text{,}\) de dimensiones \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente. Si \(T: V \rightarrow W\) es una función que satisface

\begin{align*} T( u+ v ) & = T(u ) + T(v)\\ T( \alpha v ) & = \alpha T(v) \end{align*}

para todo \(\alpha \in F\) y para todo \(u, v \in V\text{,}\) entonces \(T\) es una transformación lineal de \(V\) en \(W\text{.}\)

  1. Demuestre que el núcleo de \(T\text{,}\) \(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) es un subespacio de \(V\text{.}\) El núcleo de \(T\) también se llama espacio nulo de \(T\text{.}\)

  2. Demuestre que el rango o imagen de \(T\text{,}\) \(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}\) es un subespacio de \(W\text{.}\)

  3. Muestre que \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si \(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)

  4. Sea \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) una base para el espacio nulo de \(T\text{.}\) Podemos extender esta base a una base \(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) de \(V\text{.}\) ¿Por qué? Demuestre que \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) es una base para el rango de \(T\text{.}\) Concluya que el rango de \(T\) tiene dimensión \(m-k\text{.}\)

  5. Supongamos que \(\dim V = \dim W\text{.}\) Muestre que una transformación lineal \(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y solo si es epiyectiva.

Pista

(a) Sean \(u, v \in \ker(T)\) y \(\alpha \in F\text{.}\) Entonces

\begin{gather*} T(u +v) = T(u) + T(v) = 0\\ T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha 0 = 0. \end{gather*}

Luego, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) y \(\ker(T)\) es un subespacio de \(V\text{.}\)

(c) \(T(u) = T(v)\) es equivalente a \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) lo que se cumple si y solo si \(u-v = 0\text{,}\) es decir \(u = v\text{.}\)

16.

Sean \(V\) y \(W\) espacio vectoriales de dimensión finita \(n\) sobre un cuerpo \(F\text{.}\) Supongamos que \(T: V \rightarrow W\) es un isomorfismo de espacios vectoriales. Si \(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) es una pase de \(V\text{,}\) muestre que \(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) es una base de \(W\text{.}\) Concluya que cualquier espacio vectorial sobre \(F\) de dimensión \(n\) es isomorfo a \(F^n\text{.}\)

17. Sumas Directas.

Sean \(U\) y \(V\) subespacios de un espacio vectorial \(W\text{.}\) La suma de \(U\) y \(V\text{,}\) denotada por \(U + V\text{,}\) está definida como el conjunto de todos los vectores de la forma \(u + v\text{,}\) con \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)

  1. Demuestre que \(U + V\) y \(U \cap V\) son subespacios de \(W\text{.}\)

  2. Si \(U + V = W\) y \(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) entonces se dice que \(W\) es la suma directa. En este caso, escribimos \(W = U \oplus V\text{.}\) Muestre que cada \(w \in W\) se puede escribir de forma única como \(w = u + v\text{,}\) donde \(u \in U\) y \(v \in V\text{.}\)

  3. Sea \(U\) un subespacio de dimensión \(k\) de un espacio vectorial \(W\) de dimensión \(n\text{.}\) Demuestre que existe un subespacio \(V\) de dimensión \(n-k\) tal que \(W = U \oplus V\text{.}\) ¿Es único el subespacio \(V\text{?}\)

  4. Si \(U\) y \(V\) sin subespacios arbitrarios de un espacio vectorial \(W\text{,}\) muestre que

    \begin{equation*} \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V). \end{equation*}
Pista

(a) Sean \(u, u' \in U\) y sean \(v, v' \in V\text{.}\) Entonces

\begin{align*} (u + v) + (u' + v') & = (u + u') + (v + v') \in U + V\\ \alpha(u + v) & = \alpha u + \alpha v \in U + V. \end{align*}
18. Espacios Duales.

Sean \(V\) y \(W\) espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo \(F\text{.}\)

  1. Muestre que el conjunto de todas las transformaciones lineales de \(V\) en \(W\text{,}\) denotado por \(\Hom(V, W)\text{,}\) es un espacio vectorial sobre \(F\text{,}\) donde definimos la adición de vectores como sigue:

    \begin{align*} (S + T)(v) & = S(v) +T(v)\\ (\alpha S)(v) & = \alpha S(v), \end{align*}

    donde \(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\) \(\alpha \in F\text{,}\) y \(v \in V\text{.}\)

  2. Sea \(V\) un \(F\)-espacio vectorial. Se define el espacio dual de \(V\) como \(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Los elementos en el dual de un espacio \(V\) se llaman funcionales lineales. Sea \(v_1, \ldots, v_n\) una base ordenada para \(V\text{.}\) Si \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) es cualquier vector en \(V\text{,}\) definimos un funcional lineal \(\phi_i : V \rightarrow F\) como \(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Muestre que los \(\phi_i\) forman una base de \(V^*\text{.}\) Esta base se denomina base dual de \(v_1, \ldots, v_n\) (o simplemente la base dual si el contexto deja claro el significado).

  3. Considere la base \(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) de \({\mathbb R}^2\text{.}\) ¿Cuál es la base dual de \(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)

  4. Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\) sobre un cuerpo \(F\) y sea \(V^{* *}\) el espacio dual de \(V^*\text{.}\) Muestre que cada elemento \(v \in V\) define un elemento \(\lambda_v\) en \(V^{**}\) y que la función \(v \mapsto \lambda_v\) es un isomorfismo de \(V\) con \(V^{**}\text{.}\)