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Sección 15.3 Ejercicios

1.

¿Cuáles son los órdenes de todos los \(p\)-subgrupos de Sylow de \(G\) si \(G\) es un grupo de orden 18, 24, 54, 72, y 80?

Pista

Si \(|G| = 18 = 2 \cdot 3^2\text{,}\) entonces el orden de un 2-subgrupo de Sylow es 2, y el orden de on 3-subgrupo de Sylow es 9.

2.

Encuente todos los 3-subgrupos de Sylow de \(S_4\) y muestre que son todos conjugados.

Pista

Los cuatro 3-subgrupos de Sylow de \(S_4\) son \(P_1 = \{ (1), (123), (132) \}\text{,}\) \(P_2 = \{ (1), (124), (142) \}\text{,}\) \(P_3 = \{ (1), (134), (143) \}\text{,}\) \(P_4 = \{ (1), (234), (243) \}\text{.}\)

3.

Muestre que todo grupo de orden 45 tiene un subgrupo normal de orden 9.

4.

Sea \(H\) un \(p\)-subgrupo de Sylow de \(G\text{.}\) Demuestre que \(H\) es el único \(p\)-subgrupo de Sylow de \(G\) contenido en \(N(H)\text{.}\)

5.

Demuestre que ningún grupo de orden 96 es simple.

Pista

Como \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) \(G\) puede tener uno o tres 2-subgrupos de Sylow por el Terecer Teorema de Sylow. Si solo tiene uno, estamos listos. Si hay tres 2-subgrupos de Sylow, sean \(H\) y \(K\) dos de ellos. Por lo tanto, \(|H \cap K| \geq 16\text{;}\) de lo contrario, \(HK\) tendría \((32 \cdot 32)/8 = 128\) elementos, lo que es imposible. Luego, \(H \cap K\) es normal tanto en \(H\) como en \(K\) pues tiene índice 2 en ambos grupos.

6.

Demuestre que ningún grupo de orden 160 es simple.

7.

Si \(H\) es un subgrupo normal de un grupo finito \(G\) y \(|H| = p^k\) para algún primo \(p\text{,}\) muestre que \(H\) está contenido en todo \(p\)-subgrupo de Sylow de \(G\text{.}\)

8.

Sea \(G\) un grupo de orden \(p^2 q^2\text{,}\) donde \(p\) y \(q\) son primos distintos tales que \(q \nmid p^2 - 1\) y \(p \nmid q^2 - 1\text{.}\) Demuestre que \(G\) es abeliano. Encuentre un par de primos para los que se cumpla esto.

Pista

Muestre que \(G\) tiene un \(p\)-subgrupo de Sylow normal de orden \(p^2\) y un \(q\)-subgrupo de Sylow normal de orden \(q^2\text{.}\)

9.

Muestre que un grupo de orden 33 solo tiene un 3-subgrupo de Sylow.

10.

Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\text{.}\) Demuestre o refute que el normalizador de \(H\) es normal en \(G\text{.}\)

Pista

Falso.

11.

Sea \(G\) un grupo finito de orden divisible por un primo \(p\text{.}\) Demuestre que si solo hay un \(p\)-subgrupo de Sylow en \(G\text{,}\) entonces es un subgrupo normal de \(G\text{.}\)

12.

Sea \(G\) un grupo de orden \(p^r\text{,}\) con \(p\) primo. Demuestre que \(G\) contiene un subgrupo normal de orden \(p^{r-1}\text{.}\)

13.

Supongamos que \(G\) es un grupo finito de orden \(p^n k\text{,}\) con \(k \lt p\) y \(p\) primo. Demuestre que \(G\) tiene un subgrupo normal propio no trivial.

14.

Sea \(H\) un subgrupo de un grupo finito \(G\text{.}\) Demuestre que \(g N(H) g^{-1} = N(gHg^{-1})\) para todo \(g \in G\text{.}\)

15.

Demuestre que un grupo de orden 108 tiene un subgrupo normal propio no trivia.

16.

Clasifique todos los grupos de orden 175 salvo isomorfismo.

17.

Muestre que todo grupo de orden \(255\) es cíclico.

Pista

Si \(G\) es abeliano, entonces \(G\) es cíclico, pues \(|G| = 3 \cdot 5 \cdot 17\text{.}\) Ahora vea el Ejemplo 15.2.6.

18.

Sea \(G\) un grupo de orden \(p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}\) y suponga que \(G\) tiene \(n\) \(p\)-subgrupos de Sylow \(P_1, \ldots, P_n\) donde \(|P_i| = p_i^{e_i}\text{.}\) Demuestre que \(G\) es isomorfo a \(P_1 \times \cdots \times P_n\text{.}\)

19.

Sea \(P\) un \(p\)-subgrupo de Sylow normal de \(G\text{.}\) Demuestre que cualquier automorfismo interno de \(G\) fija a \(P\text{.}\)

20.

¿Cuál es el menor orden posible para un grupo \(G\) tal que \(G\) es no-abeliano y \(|G|\) es impar? ¿Puede encontrar tal grupo?

21. Lema de Frattini.

Si \(H\) es un subgrupo normal de un grupo finito \(G\) y \(P\) es un \(p\)-subgrupo de Sylow de \(H\text{,}\) muestre que para cada \(g \in G\) existe \(h\) en \(H\) tal que \(gPg^{-1} = hPh^{-1}\text{.}\) Además, muestre que si \(N\) es el normalizador de \(P\text{,}\) entonces \(G= HN\text{.}\)

22.

Muestre que si el orden de \(G\) es \(p^nq\text{,}\) donde \(p\) y \(q\) son primos con \(p>q\text{,}\) entonces \(G\) contiene un subgrupo normal (propio y no tirivial).

23.

Demuestre que el número de conjugados distintos de un subgrupo \(H\) de un grupo finito \(G\) es \([G : N(H) ]\text{.}\)

Pista

Defina una función entre las clases laterales derechas de \(N(H)\) en \(G\) y los conjugados de \(H\) en \(G\) como \(N(H) g \mapsto g^{-1} H g\text{.}\) Demuestre que esta función es una biyección.

24.

Demuestre que un 2-subgrupo de Sylow de \(S_5\) es isomorfo a \(D_4\text{.}\)

25. Otra demostración de los Teoremas de Sylow.
  1. Supongamos que \(p\) es primo y que \(p\) no divide a \(m\text{.}\) Muestre que

    \begin{equation*} p \nmid \binom{p^k m}{p^k}. \end{equation*}
  2. Sea \({\mathcal S}\) el conjunto de todos los subconjuntos de \(G\) con \(p^k\) elementos. Muestre que \(p\) no divide a \(|{\mathcal S}|\text{.}\)

  3. Defina una acción de \(G\) en \({\mathcal S}\) por multiplicación izquierda, \(aT = \{ at : t \in T \}\) para \(a \in G\) y \(T \in {\mathcal S}\text{.}\) Demuestre que esta es una acción de grupo.

  4. Demuestre que \(p \nmid | {\mathcal O}_T|\) para algún \(T \in {\mathcal S}\text{.}\)

  5. Sea \(\{ T_1, \ldots, T_u \}\) una órbita tal que \(p \nmid u\) y \(H = \{ g \in G : gT_1 = T_1 \}\text{.}\) Demuestre que \(H\) es un subgrupo de \(G\) y muestre que \(|G| = u |H|\text{.}\)

  6. Muestre que \(p^k\) divide a \(|H|\) y \(p^k \leq |H|\text{.}\)

  7. Muestre que \(|H| = |{\mathcal O}_T| \leq p^k\text{;}\) concluya que por lo tanto \(p^k = |H|\text{.}\)

26.

Sea \(G\) un a grupo. Demuestre que \(G' = \langle a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \rangle\) es un subgrupo normal de \(G\) y que \(G/G'\) es abeliano. Encuentre un ejemplo para mostrar que \(\{ a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \}\) no necesariamente es un grupo.

Pista

Sean \(a G', b G' \in G/G'\text{.}\) Entonces \((a G')( b G') = ab G' = ab(b^{-1}a^{-1}ba) G' = (abb^{-1}a^{-1})ba G' = ba G'\text{.}\)