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Sección 13.3 Ejercicios

1.

Encuentre todos los grupos abelianos de orden menor o igual a 40.

Pista

Hay tres grupos posibles de orden 40.

2.

Encuentre todos los grupos abelianos de orden 200.

3.

Encuentre todos los grupos abelianos de orden 720.

4.

Encuentre todas las series de composición para cada uno de los siguientes grupos.

  1. \({\mathbb Z}_{12}\)

  2. \({\mathbb Z}_{48}\)

  3. Los cuaterniones, \(Q_8\)

  4. \(D_4\)

  5. \(S_3 \times {\mathbb Z}_4\)

  6. \(S_4\)

  7. \(S_n\text{,}\) \(n \geq 5\)

  8. \({\mathbb Q}\)

Pista

(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (123), (132) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)

5.

Demuestre que el producto directo infinito \(G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots\) no es finitamente generado.

6.

Sea \(G\) un grupo abeliano de orden \(m\text{.}\) Si \(n\) divide a \(m\text{,}\) demuestre que \(G\) tiene un subgrupo de orden \(n\text{.}\)

7.

Un grupo \(G\) es un grupo de torsión si todo elemento de \(G\) tiene orden finito. Demuestre que un grupo de torsión abeliano finitamente generado tiene que ser finito.

Pista

Use el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitamente Generados.

8.

Sean \(G\text{,}\) \(H\text{,}\) y \(K\) grupos abelianos finitamente generados. Muestre que si \(G \times H \cong G \times K\text{,}\) entonces \(H \cong K\text{.}\) Encuentre un contraejemplo para mostrar que esto no es verdadero en general.

9.

Sean \(G\) y \(H\) grupos solubles. Muestre que \(G \times H\) también es soluble.

10.

Si \(G\) tiene una serie de composición (principal) y si \(N\) es un subgrupo normal propio de \(G\text{,}\) muestre que existe una serie de composición (principal) que contiene a \(N\text{.}\)

11.

Demuestre o refute: Sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Si \(N\) y \(G/N\) tienen series de composición, entonces \(G\) también tiene serie de composición.

12.

Sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Si \(N\) y \(G/N\) son grupos solubles, muestre que \(G\) también es un grupo soluble.

Pista

Si \(N\) y \(G/N\) son solubles, entonces tienen series solubles

\begin{gather*} N = N_n \supset N_{n - 1} \supset \cdots \supset N_1 \supset N_0 = \{ e \}\\ G/N = G_n/N \supset G_{n - 1}/N \supset \cdots G_1/N \supset G_0/N = \{ N \}. \end{gather*}
13.

Demuestre que \(G\) es un grupo soluble si y solo si \(G\) tiene una serie de subgrupos

\begin{equation*} G = P_n \supset P_{n - 1} \supset \cdots \supset P_1 \supset P_0 = \{ e \} \end{equation*}

donde \(P_i\) es normal en \(P_{i + 1}\) y el orden de \(P_{i + 1} / P_i\) es primo.

14.

Sea \(G\) un grupo soluble. Demuestre que cualquier subgrupo de \(G\) también es soluble.

15.

Sea \(G\) un grupo soluble y \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Demuestre que \(G/N\) es soluble.

16.

Demuestre que \(D_n\) es soluble para todo entero \(n\text{.}\)

Pista

Use el hecho de que \(D_n\) tiene un subgrupo cíclico de índice 2.

17.

Supongamos que \(G\) tiene una serie de composición. Si \(N\) es un subgrupo normal de \(G\text{,}\) muestre que \(N\) y \(G/N\) también tienen series de composición.

18.

Sea \(G\) un \(p\)-grupo cíclico con subgrupos \(H\) y \(K\text{.}\) Demuestre que ya sea \(H\) está contenido en \(K\) o \(K\) está contenido en \(H\text{.}\)

19.

Supuongamos que \(G\) es un grupo soluble de orden \(n \geq 2\text{.}\) Muestre que \(G\) contiene un subgrupo normal abeliano no trivial.

20.

Recuerde que el subgrupo conmutador \(G'\) de un grupo \(G\) está definido como el subgrupo de \(G\) generado por los elementos de la forma \(a^{-1} b ^{-1} ab\) para \(a, b \in G\text{.}\) Podemos definir una serie de subgrupos de \(G\) como \(G^{(0)} = G\text{,}\) \(G^{(1)} = G'\text{,}\) y \(G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}\)

  1. Demuestre que \(G^{(i+1)}\) es normal en \((G^{(i)})'\text{.}\) La serie de subgrupos

    \begin{equation*} G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \end{equation*}

    se llama serie derivada de \(G\text{.}\)

  2. Muestre que \(G\) es soluble si y solo si \(G^{(n)} = \{ e \}\) para algún entero \(n\text{.}\)

21.

Supongamos que \(G\) es un grupo soluble de orden \(n \geq 2\text{.}\) Muestre que \(G\) tiene un grupo cociente abeliano no trivial.

Pista

\(G/G'\) es abeliano.

22. Lema de Zassenhaus.

Sean \(H\) y \(K\) subgrupos de un grupo \(G\text{.}\) Supongamos admás que \(H^*\) y \(K^*\) son subgrupos normales de \(H\) y \(K\) respectivamente. Entonces

  1. \(H^* ( H \cap K^*)\) es un subgrupo normal de \(H^* ( H \cap K)\text{.}\)

  2. \(K^* ( H^* \cap K)\) es un subgrupo normal de \(K^* ( H \cap K)\text{.}\)

  3. \(H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}\)

23. Teorema de Schreier.

Use el Lema de Zassenhaus para demostrar que dos series subnormales (normales) de un grupo \(G\) tienen refinamientos isomorfos.

24.

Use el Teorema de Schreier para demostrar el Teorema de Jordan-Hölder.