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Sección 1.3 Ejercicios

1.

Supongamos que

\begin{align*} A & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ y } x \text{ es par} \},\\ B & = \{x : x \in \mathbb N \text{ y } x \text{ es primo}\},\\ C & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ y } x \text{ es un múltiplo de 5}\}. \end{align*}

Describa cada uno de ls siguientes conjuntos.

  1. \(A \cap B\)

  2. \(B \cap C\)

  3. \(A \cup B\)

  4. \(A \cap (B \cup C)\)

Pista

(a) \(A \cap B = \{ 2 \}\text{;}\) (b) \(B \cap C = \{ 5 \}\text{.}\)

2.

Si \(A = \{ a, b, c \}\text{,}\) \(B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}\) \(C = \{ x \}\text{,}\) y \(D = \emptyset\text{,}\) liste todos los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos.

  1. \(A \times B\)

  2. \(B \times A\)

  3. \(A \times B \times C\)

  4. \(A \times D\)

Pista

(a) \(A \times B = \{ (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) \}\text{;}\) (d) \(A \times D = \emptyset\text{.}\)

3.

Encuentre un ejemplo de dos conjuntos no vacíos \(A\) y \(B\) para los que \(A \times B = B \times A\) es verdadero.

4.

Demuestre que \(A \cup \emptyset = A\) y \(A \cap \emptyset = \emptyset\text{.}\)

5.

Demuestre que \(A \cup B = B \cup A\) y \(A \cap B = B \cap A\text{.}\)

6.

Demuestre que \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\)

Pista

Si \(x \in A \cup (B \cap C)\text{,}\) entonces ya sea \(x \in A\) o \(x \in B \cap C\text{.}\) Luego, \(x \in A \cup B\) y \(A \cup C\text{.}\) Así, \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\) Por lo tanto, \(A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\) Recíprocamente, si \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{,}\) entonces \(x \in A \cup B\) y \(A \cup C\text{.}\) Luego, \(x \in A\) o \(x\) está tanto en \(B\) como en \(C\text{.}\) Así \(x \in A \cup (B \cap C)\) y por lo tanto \((A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)\text{.}\) Luego, \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\)

7.

Demuestre que \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\text{.}\)

8.

Demuestre que \(A \subset B\) si y solo si \(A \cap B = A\text{.}\)

9.

Demuestre que \((A \cap B)' = A' \cup B'\text{.}\)

10.

Demuestre que \(A \cup B = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\text{.}\)

Pista

\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)

11.

Demuestre que \((A \cup B) \times C = (A \times C ) \cup (B \times C)\text{.}\)

12.

Demuestre que \((A \cap B) \setminus B = \emptyset\text{.}\)

13.

Demuestre que \((A \cup B) \setminus B = A \setminus B\text{.}\)

14.

Demuestre que \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)

Pista

\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)

15.

Demuestre que \(A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)\text{.}\)

16.

Demuestre que \((A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\text{.}\)

17.

¿Cuál de las siguientes relaciones \(f: {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Q}\) define una función? En cada caso, justifique por qué \(f\) es o no es una función.

  1. \(\displaystyle f(p/q) = \frac{p+ 1}{p - 2}\)

  2. \(\displaystyle f(p/q) = \frac{3p}{3q}\)

  3. \(\displaystyle f(p/q) = \frac{p+q}{q^2}\)

  4. \(\displaystyle f(p/q) = \frac{3 p^2}{7 q^2} - \frac{p}{q}\)

Pista

(a) No es función pues \(f(2/3)\) no está definido; (b) es una función; (c) no es función, pues \(f(1/2) = 3/4\) pero \(f(2/4)=3/8\text{;}\) (d) es una función.

18.

Determine cuáles de las siguientes funciones son 1-1 y cuáles son sobre. Si la función no es sobre, determine su rango.

  1. \(f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}\) definida por \(f(x) = e^x\)

  2. \(f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\) definida por \(f(n) = n^2 + 3\)

  3. \(f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}\) definida por \(f(x) = \sin x\)

  4. \(f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\) definida por \(f(x) = x^2\)

Pista

(a) \(f\) es 1-1 pero no es sobre. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) no es 1-1 ni es sobre. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)

19.

Sean \(f :A \rightarrow B\) y \(g : B \rightarrow C\) funciones invertibles; es decir, funciones tales que \(f^{-1}\) y \(g^{-1}\) existen. Muestre que \((g \circ f)^{-1} =f^{-1} \circ g^{-1}\text{.}\)

20.
  1. Defina una función \(f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}\) que sea 1-1 pero no sobre.

  2. Defina una función \(f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}\) que sea sobre pero no 1-1.

Pista

(a) \(f(n) = n + 1\text{.}\)

21.

Demuestre que la relación definida en \({\mathbb R}^2\) por \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\) es una relación de equivalencia.

22.

Sean \(f : A \rightarrow B\) y \(g : B \rightarrow C\) funciones.

  1. Si \(f\) y \(g\) son ambas funciones 1-1, muestre que \(g \circ f\) es 1-1.

  2. Si \(g \circ f\) es dobre, muestre que \(g\) es sobre.

  3. Si \(g \circ f\) es 1-1, muestre que \(f\) es 1-1.

  4. Si \(g \circ f\) es 1-1 y \(f\) es sobre, muestre que \(g\) es 1-1.

  5. Si \(g \circ f\) es sobre y \(g\) es 1-1, muestre que \(f\) es sobre.

Pista

(a) Sean \(x, y \in A\text{.}\) Entonces \(g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) = g(f(y))\text{.}\) Luego, \(f(x) = f(y)\) y \(x = y\text{,}\) de manera que \(g \circ f\) es 1-1. (b) Sea \(c \in C\text{,}\) entonces \(c = (g \circ f)(x) = g(f(x))\) para algún \(x \in A\text{.}\) Como \(f(x) \in B\text{,}\) \(g\) es sobre.

23.

Defina una función en los números reales como

\begin{equation*} f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}. \end{equation*}

¿Cuáles son el dominio y el rango de \(f\text{?}\) ¿cuál es la inversa de \(f\text{?}\) Calcule \(f \circ f^{-1}\) y \(f^{-1} \circ f\text{.}\)

Pista

\(f^{-1}(x) = (x+1)/(x-1)\text{.}\)

24.

Sea \(f: X \rightarrow Y\) una función con \(A_1, A_2 \subset X\) y \(B_1, B_2 \subset Y\text{.}\)

  1. Demuestre que \(f( A_1 \cup A_2 ) = f( A_1) \cup f( A_2 )\text{.}\)

  2. Demuestre que \(f( A_1 \cap A_2 ) \subset f( A_1) \cap f( A_2 )\text{.}\) Dé un ejemplo en que la igualdad falle.

  3. Demuestre que \(f^{-1}( B_1 \cup B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cup f^{-1}(B_2 )\text{,}\) donde

    \begin{equation*} f^{-1}(B) = \{ x \in X : f(x) \in B \}. \end{equation*}
  4. Demuestre que \(f^{-1}( B_1 \cap B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cap f^{-1}( B_2 )\text{.}\)

  5. Demuestre que \(f^{-1}( Y \setminus B_1 ) = X \setminus f^{-1}( B_1)\text{.}\)

Pista

(a) Sea \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Entonces existe \(x \in A_1 \cup A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Luego, \(y \in f(A_1)\) o \(f(A_2) \text{.}\) Por lo tanto, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Así, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Recíprocamente, si \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) entonces \(y \in f(A_1)\) o \(f(A_2)\text{.}\) Luego, existe \(x\) en \(A_1\) o \(A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Entonces existe \(x \in A_1 \cup A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Por lo tanto, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) y \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)

25.

Determine si las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia o no. Si la relación es una relación de equivalencia, describa la partición dada por ella. Si no lo es, indique qué es lo que falla.

  1. \(x \sim y\) en \({\mathbb R}\) si \(x \geq y\)

  2. \(m \sim n\) en \({\mathbb Z}\) si \(mn > 0\)

  3. \(x \sim y\) en \({\mathbb R}\) si \(|x - y| \leq 4\)

  4. \(m \sim n\) en \({\mathbb Z}\) si \(m \equiv n \pmod{6}\)

Pista

(a) La relación no es simétrica. (b) La relación no es refleja, pues 0 no es equivalente a sí mismo. (c) La relación no es transitiva.

26.

Defina una relación \(\sim\) en \({\mathbb R}^2\) diciendo que \((a, b) \sim (c, d)\) si y solo si \(a^2 + b^2 \leq c^2 + d^2\text{.}\) Muestre que \(\sim\) es refleja y transitiva pero no simétrica.

27.

Muestre que una matriz de \(m \times n\) da lugar a una función bien-definida de \({\mathbb R}^n\) en \({\mathbb R}^m\text{.}\)

28.

Encuentre el error en el siguiente argumento mostrando un contraejemplo. “La propiedad refleja es redundante entre los axiomas para una relación de equivalencia. Si \(x \sim y\text{,}\) entonces \(y \sim x\) por la propiedad simétrica. Usando la transitividad, podemos deducir que \(x \sim x\text{.}\)”

Pista

Sea \(X = {\mathbb N} \cup \{ \sqrt{2}\, \}\) y defina \(x \sim y\) si \(x + y \in {\mathbb N}\text{.}\)

29. Recta Real Proyectiva.

Defina una relación en \({\mathbb R}^2 \setminus \{ (0,0) \}\) haciendo \((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)\) si existe un número real \(\lambda\) distinto de cero tal que \((x_1, y_1) = ( \lambda x_2, \lambda y_2)\text{.}\) Demuestre que \(\sim\) define una relación de equivalencia en \({\mathbb R}^2 \setminus (0,0)\text{.}\) ¿Cuáles son las correspondientes clases de equivalencia? Esta relación de equivalencia define la recta proyectiva, denotada por \({\mathbb P}({\mathbb R}) \text{,}\) que es muy importante en geometría.