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Sección 16.6 Ejercicios

1.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son anillos con las operaciones usuales de adición y multiplicación? Si el conjunto es un anillo, ¿es además un cuerpo?

  1. \(7 {\mathbb Z}\)

  2. \({\mathbb Z}_{18}\)

  3. \({\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}\)

  4. \({\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}\)

  5. \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}\)

  6. \(R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\)

  7. \({\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ e } i^2 = -1 \}\)

  8. \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}\)

Pista

(a) \(7 {\mathbb Z}\) es un anillo pero no es un cuerpo; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) es un cuerpo; (f) \(R\) no es un anillo.

2.

Sea \(R\) el anillo de las matrices de \(2 \times 2\) de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

donde \(a, b \in {\mathbb R}\text{.}\) Muestre que si bien \(R\) es un anillo que no tiene identidad, podemos encontrar un subanillo \(S\) de \(R\) con identidad.

3.

Liste o caracterice todas las unidades en cada uno de los siguientes anillos.

  1. \({\mathbb Z}_{10}\)

  2. \({\mathbb Z}_{12}\)

  3. \({\mathbb Z}_{7}\)

  4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb Z}\)

  5. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}\) las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb Z}_2\)

Pista

(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\text{;}\) (e)

\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \right\}. \end{equation*}
4.

Encuentre todos los ideales de cada uno de los anillos siguientes. ¿Cuáles de estos ideales son maximales? ¿Cuáles son primos?

  1. \({\mathbb Z}_{18}\)

  2. \({\mathbb Z}_{25}\)

  3. \({\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}\) las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\)

  4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb Z}\)

  5. \({\mathbb Q}\)

Pista

(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\text{;}\) (c) no hay ideales no triviales.

5.

Para cada uno de los siguientes anillos \(R\) con ideal \(I\text{,}\) escriba una tabla de adición y una tabla de multiciplicación para \(R/I\text{.}\)

  1. \(R = {\mathbb Z}\) e \(I = 6 {\mathbb Z}\)

  2. \(R = {\mathbb Z}_{12}\) e \(I = \{ 0, 3, 6, 9 \}\)

6.

Encuentre todos los homomorfismos \(\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}\)

7.

Demuestre que \({\mathbb R}\) no es isomorfo a \({\mathbb C}\text{.}\)

Pista

Suponga que hay un isomorfismo \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) con \(\phi(i) = a\text{.}\)

8.

Demuestre o refute: El anillo \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) es isomorfo al anillo \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\)

Pista

Falso. Suponga que hay un isomorfismo \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) tal que \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)

9.

¿Cuál es la característica del cuerpo formado por el conjunto de matrices

\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}

con coeficientes en \({\mathbb Z}_2\text{?}\)

10.

Defina una función \(\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\) como

\begin{equation*} \phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. \end{equation*}

Muestre que \(\phi\) es un isomorfismo de \({\mathbb C}\) con su imagen en \({\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}\)

11.

Demuestre que los enteros Gaussianos, \({\mathbb Z}[i ]\text{,}\) forman un dominio integral.

12.

Demuestre que \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}\) es un dominio integral.

13.

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de congruencias.

  1. \begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{5}\\ x & \equiv 6 \pmod{11} \end{align*}
  2. \begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{7}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 5 \pmod{15} \end{align*}
  3. \begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{4}\\ x & \equiv 4 \pmod{7}\\ x & \equiv 7 \pmod{9}\\ x & \equiv 5 \pmod{11} \end{align*}
  4. \begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{5}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 1 \pmod{11}\\ x & \equiv 5 \pmod{13} \end{align*}
Pista

(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\text{;}\) (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)

14.

Use el método de computación paralela descrito en el texto para calcular \(2234 + 4121\) separando el cálculo en cuatro sumas módulo 95, 97, 98, y 99.

15.

Explique por qué el método de computación paralela descrito en el texto falla para \(2134 \cdot 1531\) si intentamos descomponer el cálculo en dos cálculo menores módulo 98 y 99.

16.

Si \(R\) es un cuerpo, muestre que los únicos dos ideales de \(R\) son \(\{ 0 \}\) y \(R\) mismo.

Pista

Si \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) muestre que \(1 \in I\text{.}\)

17.

Sea \(a\) un elemento cualquiera en el anillo \(R\) con identidad. Muestre que \((-1)a = -a\text{.}\)

18.

Sea \(\phi : R \rightarrow S\) un homomorfismo de anillos. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados.

  1. Si \(R\) es un anillo conmutativo, entonces \(\phi(R)\) es un anillo conmutativo.

  2. \(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)

  3. Sean \(1_R\) y \(1_S\) las identidades de \(R\) y \(S\text{,}\) respectivamente. Si \(\phi\) es sobreyectivo, entonces \(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)

  4. Si \(R\) es un cuerpo y \(\phi(R) \neq 0\text{,}\) entonces \(\phi(R)\) es un cuerpo.

Pista

(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)

19.

Demuestre que se satisfacen la asociatividad de la multiplicación y la distributividad en \(R/I\text{.}\)

20.

Demuestre el Segundo Teorema de Isomorfía para anillos: Sea \(I\) un subanillo de un anillo \(R\) y sea \(J\) un ideal en \(R\text{.}\) Entonces \(I \cap J\) es un ideal en \(I\) y

\begin{equation*} I / I \cap J \cong I + J /J. \end{equation*}
21.

Demuestre el Tercer Teorema de Isomorfía para anillos: Sea \(R\) un anillo y sean \(I\) y \(J\) ideales de \(R\text{,}\) donde \(J \subset I\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} R/I \cong \frac{R/J}{I/J}. \end{equation*}
22.

Demuestre el Teorema de Correspondencia: Sea \(I\) un ideal de un anillo \(R\text{.}\) Entonces \(S \rightarrow S/I\) define una correspondencia 1-1 entre a el conjunto de los subanillos \(S\) que contienen a \(I\) y el conjunto de subanillos de \(R/I\text{.}\) Además, los ideales de \(R\) corresponden con ideales de \(R/I\text{.}\)

23.

Sea \(R\) un anillo y sea \(S\) un subconjunto de \(R\text{.}\) Muestre que \(S\) es un subanillo de \(R\) si y solo si se cumplen todas las siguientes condiciones.

  1. \(S \neq \emptyset\text{.}\)

  2. \(rs \in S\) para todo \(r, s \in S\text{.}\)

  3. \(r - s \in S\) para todo \(r, s \in S\text{.}\)

24.

Sea \(R\) un anillo con una colección de subanillos \(\{ R_{\alpha} \}\text{.}\) Demuestre que \(\bigcap R_{\alpha}\) es un subanillo de \(R\text{.}\) Dé un ejemplo para mostrar que la unión de dos subanillos no es necesariamente un subanillo.

25.

Sea \(\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}\) una colección de ideales en un anillo \(R\text{.}\) Demuestre que \(\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}\) también es un ideal en \(R\text{.}\) Dé un ejemplo para mostrar que si \(I_1\) e \(I_2\) son ideales en \(R\text{,}\) entonces \(I_1 \cup I_2\) puede no ser un ideal.

26.

Sea \(R\) un dominio integral. Muestre que si los únicos ideales en \(R\) son \(\{ 0 \}\) y \(R\) mismo, entonces \(R\) es un cuerpo.

Pista

Sea \(a \in R\) con \(a \neq 0\text{.}\) Entonces el ideal principal generado por \(a\) es \(R\text{.}\) Por lo tanto, existe \(b \in R\) tal que \(ab =1\text{.}\)

27.

Sea \(R\) un anillo conmutativo. Un elemento \(a\) en \(R\) es nilpotente si \(a^n = 0\) para algún entero positivo \(n\text{.}\) Muestre que el conjunto de todos los elementos nilpotentes forma un ideal en \(R\text{.}\)

28.

Un anillo \(R\) es un anillo Booleano si para cada \(a \in R\text{,}\) \(a^2 = a\text{.}\) Muestre que todo anillo Booleano es conmutativo.

Pista

Calcule \((a+b)^2\) y \((-ab)^2\text{.}\)

29.

Sea \(R\) un anillo, donde \(a^3 =a\) para todo \(a \in R\text{.}\) Demuestre que \(R\) es commutativo.

30.

Sea \(R\) un anillo con identidad \(1_R\) y \(S\) un subanillo de \(R\) con identidad \(1_S\text{.}\) Demuestre o refute que \(1_R = 1_S\text{.}\)

31.

Si no requerimos que la identidad de un anillo sea distinta de 0, no obtenemos una estructura matemática muy interesante. Sea \(R\) un anillo tal que \(1 = 0\text{.}\) Demuestre que \(R = \{ 0 \}\text{.}\)

32.

Sea \(S\) un subconjunto no vacío de un anillo \(R\text{.}\) Demuestre que hay un subanillo \(R'\) de \(R\) que contiene a \(S\text{.}\)

33.

Sea \(R\) un anillo. Defina el centro de \(R\) como

\begin{equation*} Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ para todo } r \in R \}. \end{equation*}

Demuestre que \(Z(R)\) es un subanillo conmutativo de \(R\text{.}\)

34.

Sea \(p\) un primo. Demuestre que

\begin{equation*} {\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ y } \gcd( b,p) = 1 \} \end{equation*}

es un anillo. El anillo \({\mathbb Z}_{(p)}\) se denomina anillo de enteros localizado en \(p\text{.}\)

Pista

Sean \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Entonces \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) y \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) están ambos en \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) pues \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)

35.

Demuestre o refute: Todo dominio integral finito es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

36.

Sea \(R\) un anillo con identidad.

  1. Sea \(u\) una unidad en \(R\text{.}\) Defina una función \(i_u : R \rightarrow R\) como \(r \mapsto uru^{-1}\text{.}\) Demuestre que \(i_u\) es un automorfismo de \(R\text{.}\) Un automorfismo de \(R\) de este tipo se llama automorfismo interno de \(R\text{.}\) Denote por \(\inn(R)\) al conjunto de todos los automorfismos internos de \(R\text{.}\)

  2. Denote por \(\aut(R)\) al conjunto de todos los automorfismos de \(R\text{.}\) Demuestre que \(\inn(R)\) es un subgrupo normal de \(\aut(R)\text{.}\)

  3. Sea \(U(R)\) el grupo de unidades en \(R\text{.}\) Demuestre que la función

    \begin{equation*} \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \end{equation*}

    definida por \(u \mapsto i_u\) es un homomorfismo. Determine el núcleo de \(\phi\text{.}\)

  4. Calcule \(\aut( {\mathbb Z})\text{,}\) \(\inn( {\mathbb Z})\text{,}\) y \(U( {\mathbb Z})\text{.}\)

37.

Sean \(R\) y \(S\) anillos arbitrarios. Muestre que su producto cartesiano es un anillo si definimos adición y multiplicación en \(R \times S\) como

  1. \((r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')\)

  2. \((r, s)(r', s') = ( rr', ss')\)

38.

Un elemento \(x\) En un anillo se dice idempotente si \(x^2 = x\text{.}\) Demuestre que los únicos idempotentes en un dominio integral son \(0\) y \(1\text{.}\) Encuentre un anillo con un idempotente \(x\) que no sea 0 o 1.

Pista

Supongamos que \(x^2 = x\) y \(x \neq 0\text{.}\) Como \(R\) es un dominio integral, \(x = 1\text{.}\) Para encontrar un idempotente no trivial, examine \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)

39.

Sean \(\gcd(a, n) = d\) y \(\gcd(b, d) \neq 1\text{.}\) Demuestre que \(ax \equiv b \pmod{n}\) no tiene solución.

40. El Teorema Chino de los Restos para Anillos.

Sea \(R\) un anillo y sean \(I\) y \(J\) ideales en \(R\) tales que \(I+J = R\text{.}\)

  1. Muestre que para cualquiera \(r\) y \(s\) en \(R\text{,}\) el sistema de ecuaciones

    \begin{align*} x & \equiv r \pmod{I}\\ x & \equiv s \pmod{J} \end{align*}

    tiene solución.

  2. Además, demuestre que cualquiera dos soluciones del sistema son congruentes módulo \(I \cap J\text{.}\)

  3. Sea \(I\) y \(J\) ideales en un anillo \(R\) tales que \(I + J = R\text{.}\) Muestre que existe un isomorfismo de anillos

    \begin{equation*} R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J. \end{equation*}