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Sección 17.4 Ejercicios

1.

Liste todos los polinomios de grado menor o igual a 3 en \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2.

Calcule cada uno de los siguientes.

  1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

  2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

  3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\) in \({\mathbb Z}_9\)

  4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

  5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

  6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

Pista

(a) \(9x^2 + 2x + 5\text{;}\) (b) \(8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 7x\text{.}\)

3.

Use el algoritmo de división para encontrar \(q(x)\) y \(r(x)\) tales que \(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) con \(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) para cada uno de los siguientes pares de polinomios.

  1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\) y \(b(x) = x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

  2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\) y \(b(x) = x^2 + x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

  3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\) y \(b(x) = x^3 - 2\) in \({\mathbb Z}_5[x]\)

  4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\) y \(b(x) = x^3 + x\) in \({\mathbb Z}_2[x]\)

Pista

(a) \(5 x^3 + 6 x^2 - 3 x + 4 = (5 x^2 + 2x + 1)(x -2) + 6\text{;}\) (c) \(4x^5 - x^3 + x^2 + 4 = (4x^2 + 4)(x^3 + 3) + 4x^2 + 2\text{.}\)

4.

Encuentre el máximo común divisor para cada uno de los siguientes pares \(p(x)\) y \(q(x)\) de polinomios. Si \(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) encuentre dos polinomios \(a(x)\) y \(b(x)\) tales que \(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)

  1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\) y \(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

  2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\) y \(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)

  3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\) y \(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)

  4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\) y \(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5.

Encuentre todos los ceros de cada uno de los polinomios siguientes.

  1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\) en \({\mathbb Z}_{12}\)

  2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\) en \({\mathbb Z}_{5}\)

  3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\) en \({\mathbb Z}_{7}\)

  4. \(x^3 + x + 1\) en \({\mathbb Z}_2\)

Pista

(a) No tiene ceros en \({\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (c) 3, 4.

6.

Encuentre todas las unidades en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7.

Encuentre una unidad \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_4[x]\) tal que \(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)

Pista

Considere \((2x + 1)\text{.}\)

8.

¿Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre \({\mathbb Q}[x]\text{?}\)

  1. \(x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)

  2. \(x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)

  3. \(3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)

  4. \(5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)

Pista

(a) Reducible; (c) irreducible.

9.

Encuentre todos los polinomios irreducibles de grado 2 y 3 en \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10.

Dé dos factorizaciones diferentes de \(x^2 + x + 8\) en \({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)

Pista

Una factorización es \(x^2 + x + 8 = (x + 2)(x + 9)\text{.}\)

11.

Demuestre o refute: Existe un polinomio \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_6[x]\) de grado \(n\) con más de \(n\) ceros distintos.

12.

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que \(F[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

13.

Muestre que el algoritmo de división no se cumple en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) ¿Por qué falla?

Pista

Los enteros \(\mathbb Z\) no forman un cuerpo.

14.

Demuestre o refute: \(x^p + a\) es irreducible para cualquier \(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) donde \(p\) es primo.

Pista

Falso.

15.

Sea \(f(x)\) irreducible en \(F[x]\text{,}\) donde \(F\) es un cuerpo. Si \(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) demuestre que ya sea \(f(x) \mid p(x)\) o \(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16.

Supongamos que \(R\) y \(S\) son anillos isomorfos. Demuestre que \(R[x] \cong S[x]\text{.}\)

Pista

Sea \(\phi : R \rightarrow S\) un isomorfismo. Defina \(\overline{\phi} : R[x] \rightarrow S[x]\) como \(\overline{\phi}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.}\)

17.

Sea \(F\) un cuerpo y \(a \in F\text{.}\) Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) muestre que \(p(a)\) es el resto obtenido al dividir \(p(x)\) por \(x - a\text{.}\)

18. Teorema de la Raíz Racional.

Sea

\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x], \end{equation*}

donde \(a_n \neq 0\text{.}\) Demuestre que si \(p(r/s) = 0\text{,}\) donde \(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) entonces \(r \mid a_0\) y \(s \mid a_n\text{.}\)

19.

Sea \({\mathbb Q}^*\) el grupo multiplicativo de los números racionales positivos. Demuestre que \({\mathbb Q}^*\) es isomorfo a \(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20. Polinomios Ciclotómicos.

El polinomio

\begin{equation*} \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}

se llama polinomio ciclotómico. Muestre que \(\Phi_p(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) para cualquier primo \(p\text{.}\)

Pista

El polinomio \(\Phi_n(x+1)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) si y solo si \(\Phi_n(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

21.

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que existen infinitos polinomios irreducibles en \(F[x]\text{.}\)

22.

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en \(R[x]\) es conmutativa.

23.

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en \(R[x]\) es distributiva.

24.

Demuestre que \(x^p - x\) tiene \(p\) ceros distintos en \({\mathbb Z}_p\text{,}\) para cualquier primo \(p\text{.}\) Concluya que

\begin{equation*} x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1)). \end{equation*}
25.

Sea \(F\) un cuerpo y sea \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) en \(F[x]\text{.}\) Defina \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) como la derivada de \(f(x)\text{.}\)

  1. Demuestre que

    \begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). \end{equation*}

    Concluya que podemos definir un homomorfismo de grupos abelianos \(D : F[x] \rightarrow F[x]\) como \(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)

  2. Calcule el núcleo de \(D\) si \(\chr F = 0\text{.}\)

  3. Calcule el núcleo de \(D\) si \(\chr F = p\text{.}\)

  4. Demuestre que

    \begin{equation*} (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x). \end{equation*}
  5. Supongamos que es posible factorizar un polinomio \(f(x) \in F[x]\) en factores lineales, digamos

    \begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n). \end{equation*}

    Demuestre que \(f(x)\) no tiene factores repetidos si y solo si \(f(x)\) y \(f'(x)\) son relativamente primos.

26.

Sea \(F\) un cuerpo. Muestre que \(F[x]\) nunca es un cuerpo.

Pista

Ecuentre un ideal propio no trivial en \(F[x]\text{.}\)

27.

Sea \(R\) un dominio integral. Demuestre que \(R[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

28.

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Muestre que \(R[x]\) tiene un subanillo \(R'\) isomorfo a \(R\text{.}\)

29.

Sean \(p(x)\) y \(q(x)\) polinomios en \(R[x]\text{,}\) donde \(R\) es un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que \(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)