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Sección 5.3 Ejercicios

1.

Escriba las siguientes permutaciones en notación cíclica.

  1. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{equation*}
Pista

(a) \((12453)\text{;}\) (c) \((13)(25)\text{.}\)

2.

Escriba cada una de las siguientes como producto de ciclos disjuntos.

  1. \((1345)(234)\)

  2. \((12)(1253)\)

  3. \((143)(23)(24)\)

  4. \((1423)(34)(56)(1324)\)

  5. \((1254)(13)(25)\)

  6. \((1254) (13)(25)^2\)

  7. \((1254)^{-1} (123)(45) (1254)\)

  8. \((1254)^2 (123)(45)\)

  9. \((123)(45) (1254)^{-2}\)

  10. \((1254)^{100}\)

  11. \(|(1254)|\)

  12. \(|(1254)^2|\)

  13. \((12)^{-1}\)

  14. \((12537)^{-1}\)

  15. \([(12)(34)(12)(47)]^{-1}\)

  16. \([(1235)(467)]^{-1}\)

Pista

(a) \((135)(24)\text{;}\) (c) \((14)(23)\text{;}\) (e) \((1324)\text{;}\) (g) \((134)(25)\text{;}\) (n) \((17352)\text{.}\)

3.

Exprese las siguientes permutaciones como producto de transposiciones e identifíquelas como pares o impares.

  1. \((14356)\)

  2. \((156)(234)\)

  3. \((1426)(142)\)

  4. \((17254)(1423)(154632)\)

  5. \((142637)\)

Pista

(a) \((16)(15)(13)(14)\text{;}\) (c) \((16)(14)(12)\text{.}\)

4.

Encuentre \((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)

Pista

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

5.

Liste todos los subgrupos de \(S_4\text{.}\) Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos.

  1. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)

  2. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)

  3. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\) y \(\sigma(2) = 2 \}\)

¿Es alguno de estos conjuntos un subgrupo de \(S_4\text{?}\)

Pista

(a) \(\{ (13), (13)(24), (132), (134), (1324), (1342) \}\) no es un subgrupo.

6.

Encuentre todos los subgrupos de \(A_4\text{.}\) ¿Cuál es el orden de cada uno de ellos?

7.

Encuentre todos los posibles órdenes de elementos en \(S_7\) y en \(A_7\text{.}\)

8.

Muestre que \(A_{10}\) contiene un elemento de orden 15.

Pista

\((12345)(678)\text{.}\)

9.

¿Contiene \(A_8\) un elemento de orden 26?

10.

Encuentre un elemento de orden maximal en \(S_n\) para \(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)

11.

¿Cuáles son las posibles estructuras de ciclos de los elementos de \(A_5\text{?}\) ¿Y de \(A_6\text{?}\)

Pista

Permutaciones de la forma

\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}

son posibles en \(A_5\text{.}\)

12.

Sea \(\sigma \in S_n\) un elemento de orden \(n\text{.}\) Muestre que para todos los enteros \(i\) y \(j\text{,}\) \(\sigma^i = \sigma^j\) si y solo si \(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)

13.

Sea \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) el producto disjunto de ciclos. Demuestre que el orden de \(\sigma\) es el mínimo común múltiplo de los largos de los ciclos \(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)

14.

Usando notación cíclica, liste los elementos en \(D_5\text{.}\) ¿Cuáles son \(r\) y \(s\text{?}\) Escriba todo elemento como producto de \(r\) y \(s\text{.}\)

15.

Si las diagonales de un cubo están etiquetadas como en la Figura 5.2.8, ¿a qué movimiento del cubo corresponde la permutación \((12)(34)\text{?}\) ¿Y las otras permutaciones de las diagonales?

16.

Encuentre el grupo de movimientos rígidos de un tetraedro. Muestre que este es el mismo grupo que \(A_4\text{.}\)

17.

Demuestre que \(S_n\) es no abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)

Pista

Calcule \((123)(12)\) y \((12)(123)\text{.}\)

18.

Muestre que \(A_n\) es no abeliano para \(n \geq 4\text{.}\)

19.

Demuestre que \(D_n\) es no abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)

20.

Sea \(\sigma \in S_n\) un ciclo. Demuestre que \(\sigma\) puede ser escrito como el producto de a lo más \(n-1\) transposiciones.

21.

Sea \(\sigma \in S_n\text{.}\) Si \(\sigma\) no es un ciclo, demuestre que \(\sigma\) puede ser escrita como el producto de a lo más \(n-2\) transposiciones.

22.

Si \(\sigma\) puede ser expresada como un producto de un número par de transposiciones, muestre que cualquier otro producto de transposiciones que sea igual a \(\sigma\) también debe contener un número impar de estas.

23.

Si \(\sigma\) es un ciclo de largo impar, demuestre que \(\sigma^2\) también es un ciclo.

24.

Muestre que un 3-ciclo es una permutación par.

25.

Demuestre que en \(A_n\) con \(n \geq 3\text{,}\) culaquier permutación es un producto de ciclos de largo 3.

Pista

Considere los casos \((ab)(bc)\) y \((ab)(cd)\text{.}\)

26.

Demuestre que todo elemento en \(S_n\) puede ser escrito como un producto finito de las siguientes permutaciones.

  1. \((1 2), (13), \ldots, (1n)\)

  2. \((1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)\)

  3. \((12), (1 2 \ldots n )\)

27.

Sea \(G\) un grupo y sea \(\lambda_g : G \rightarrow G\) una función definida por \(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Demuestre que \(\lambda_g\) es una permutación de \(G\text{.}\)

28.

Demuestre que existen \(n!\) permutaciones de un conjunto con \(n\) elementos.

29.

Recuerde que el centro de un grupo \(G\) es

\begin{equation*} Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ para todo } x \in G \}. \end{equation*}

Encuentre el centro de \(D_8\text{.}\) ¿Y el centro de \(D_{10}\text{?}\) ¿Cuál es el centro de \(D_n\text{?}\)

30.

Sea \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) un ciclo de largo \(k\text{.}\)

  1. Demuestre que si \(\sigma\) es cualquier permutación, entonces

    \begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}

    es un ciclo de largo \(k\text{.}\)

  2. Sea \(\mu\) un ciclo de largo \(k\text{.}\) Demuestre que existe una permutación \(\sigma\) tal que \(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)

Pista

Para la parte (a), muestre que \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

31.

Para \(\alpha\) y \(\beta\) en \(S_n\text{,}\) defina \(\alpha \sim \beta\) si existe \(\sigma \in S_n\) tal que \(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Muestre que \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(S_n\text{.}\)

32.

Sea \(\sigma \in S_X\text{.}\) Si \(\sigma^n(x) = y\text{,}\) diremos que \(x \sim y\text{.}\)

  1. Muestre que \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(X\text{.}\)

  2. Si \(\sigma \in A_n\) y \(\tau \in S_n\text{,}\) muestre que \(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)

  3. Defina la órbita de \(x \in X\) bajo \(\sigma \in S_X\) como el conjunto

    \begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}. \end{equation*}

    Calcule las órbitas de cada uno de los siguientes elementos en \(S_5\text{:}\)

    \begin{align*} \alpha & = (1254)\\ \beta & = (123)(45)\\ \gamma & = (13)(25). \end{align*}
  4. Si \({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) demuestre que \({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) Las órbitas bajo una permutación \(\sigma\) son las clases de equivalencia correspondientes a la relación \(\sim\text{.}\)

  5. Un subgrupo \(H\) de \(S_X\) es transitivo si para cada \(x, y \in X\text{,}\) existe un \(\sigma \in H\) tal que \(\sigma(x) = y\text{.}\) Demuestre que \(\langle \sigma \rangle\) es transitivo si y solo si \({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) para algún \(x \in X\text{.}\)

33.

Sea \(\alpha \in S_n\) con \(n \geq 3\text{.}\) Si \(\alpha \beta = \beta \alpha\) para todo \(\beta \in S_n\text{,}\) demuestre que \(\alpha\) debe ser la permutación identidad; luego, el centro de \(S_n\) es el subgrupo trivial.

34.

Si \(\alpha\) es par, demuestre que \(\alpha^{-1}\) también es par. ¿Hay un resultado análogo si \(\alpha\) es impar?

35.

Muestre que \(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) es par para todo \(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)

36.

Sean \(r\) y \(s\) los elementos en \(D_n\) descritos en el Teorema 5.2.5.

  1. Muestre que \(srs = r^{-1}\text{.}\)

  2. Muestre que \(r^k s = s r^{-k}\) en \(D_n\text{.}\)

  3. Demuestre que el orden de \(r^k \in D_n\) es \(n / \gcd(k,n)\text{.}\)