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Sección 10.3 Ejercicios

1.

Para cada uno de los siguientes grupos \(G\text{,}\) determine si es que \(H\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Si \(H\) es un subgrupo normal, escriba una tabla de Cayley para el grupo cociente \(G/H\text{.}\)

  1. \(G = S_4\) y \(H = A_4\)

  2. \(G = A_5\) y \(H = \{ (1), (123), (132) \}\)

  3. \(G = S_4\) y \(H = D_4\)

  4. \(G = Q_8\) y \(H = \{ 1, -1, I, -I \}\)

  5. \(G = {\mathbb Z}\) y \(H = 5 {\mathbb Z}\)

Pista

(a)

\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & A_4 & (12)A_4 \\ \hline A_4 & A_4 & (12) A_4 \\ (12) A_4 & (12) A_4 & A_4 \end{array} \end{equation*}

(c) \(D_4\) no es normal en \(S_4\text{.}\)

2.

Encuentre todos los subgrupos de \(D_4\text{.}\) ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de \(D_4\) salvo isomorfismo?

3.

Encuentre todos los subgrupos del grupo de cuaterniones, \(Q_8\text{.}\) ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de \(Q_8\) salvo isomorfismo?

4.

Sea \(T\) el grupo de matrices triangulares superiores no singulares de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\text{;}\) es decir, matrices de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, \end{equation*}

donde \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c \in {\mathbb R}\) y \(ac \neq 0\text{.}\) Sea \(U\) el conjunto de matrices de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

donde \(x \in {\mathbb R}\text{.}\)

  1. Muestre que \(U\) es un subgrupo de \(T\text{.}\)

  2. Demuestre que \(U\) es abeliano.

  3. Demuestre que \(U\) es normal en \(T\text{.}\)

  4. Muestre que \(T/U\) es abeliano.

  5. ¿Es \(T\) normal en \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)

5.

Muestre que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.

6.

Si \(G\) es abeliano, demuestre que \(G/H\) también es abeliano.

7.

Demuestre o refute: Si \(H\) es un subgrupo normal de \(G\) tal que \(H\) y \(G/H\) son abelianos, entonces \(G\) es abeliano.

8.

Si \(G\) es cíclico, demuestre que \(G/H\) también es cíclico.

Pista

Si \(a \in G\) es un generador para \(G\text{,}\) entonces \(aH\) es un generador para \(G/H\text{.}\)

9.

Demuestre o refute: Si \(H\) y \(G/H\) son cíclicos, entonces \(G\) es cíclico.

10.

Sea \(H\) un subgrupo de índice 2 de un grupo \(G\text{.}\) Demuestre que \(H\) es normal en \(G\text{.}\) Concluya que \(S_n\) no es simple para \(n \geq 3\text{.}\)

11.

Si un grupo \(G\) tiene exactemente un subgrupo \(H\) de orden \(k\text{,}\) demuestre que \(H\) es normal en \(G\text{.}\)

Pista

Para cualquier \(g \in G\text{,}\) muestre que la función \(i_g : G \to G\) definida como \(i_g : x \mapsto gxg^{-1}\) es un isomorfismo de \(G\) en sí mismo. Luego considere \(i_g(H)\text{.}\)

12.

Defina el centralizador de un elemento \(g\) en un grupo \(G\) como el conjunto

\begin{equation*} C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}. \end{equation*}

Muestre que \(C(g)\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Si \(g\) genera un subgrupo normal de \(G\text{,}\) demuestre que \(C(g)\) es normal en \(G\text{.}\)

Pista

Supongamos que \(\langle g \rangle\) es normal en \(G\) y sea \(y\) un elemento arbitrario de \(G\text{.}\) Si \(x \in C(g)\text{,}\) debemos mostrar que \(y x y^{-1}\) también está en \(C(g)\text{.}\) Muestre que \((y x y^{-1}) g = g (y x y^{-1})\text{.}\)

13.

Recuerde que el centro de un grupo \(G\) es el conjunto

\begin{equation*} Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ para todo } g \in G \}. \end{equation*}
  1. Calcule el centro de \(S_3\text{.}\)

  2. Calcule el centro de \(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)

  3. Muestre que el centro de cualquier grupo \(G\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\)

  4. Si \(G / Z(G)\) es cíclico, demuestre que \(G\) es abeliano.

14.

Sea \(G\) un grupo y sea \(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) es decir, \(G'\) es el subgrupo de todos los productos finitos de elementos en \(G\) de la forma \(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) El subgrupo \(G'\) se llama subgrupo conmutador de \(G\text{.}\)

  1. Muestre que \(G'\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\)

  2. Sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Demuestre que \(G/N\) es abeliano si y solo si \(N\) contiene al subgrupo conmutador de \(G\text{.}\)

Pista

(a) Sean \(g \in G\) y \(h \in G'\text{.}\) Si \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) entonces

\begin{align*} ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}. \end{align*}

También debemos demostrar que si \(h = h_1 \cdots h_n\) with \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) entonces \(ghg^{-1}\) es un producto de elementos del mismo tipo. Pero, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)